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多手视频扑克的标准差

简介

本文介绍了多人视频扑克中牌局间的协方差以及如何使用这些信息。除非另有说明，“牌局”指的是抽牌的牌局，而非发牌的牌局。

n 次视频扑克中的总方差等于 n×v + n×(n-1)×c，其中每手牌的方差为 v，任意两手牌之间的协方差为 c。

下表显示了六种常见视频扑克游戏中的基本信息，包括任意两手牌之间的协方差。

基本统计

游戏赔率表返回方差协方差
奖金 Deuces 9-4-4-3 0.994502 32.662818 3.806094
红利扑克8-5 0.991660 20.904082 2.120027
两局狂野25-15-10-4-4-3 0.994179 25.679180 3.024385
双倍奖金9-7-5 0.991065 28.547130 3.350788
双倍双倍奖金9-6 0.989808 41.984981 4.809024
杰克或更好9-6 0.995439 19.514676 1.966389

杰克或更好

下表显示了 9-6 J 或更好的所有牌型以及每手牌的方差和标准差

9-6 J或更好

戏剧全部的
方差		全部的
标准
偏差		每次游戏
方差		每次游戏
标准
偏差
1 19.514676 4.417542 19.514676 4.417542
3 70.342362 8.387035 23.447454 4.842257
5 136.901160 11.700477 27.380232 5.232612
10 372.121770 19.290458 37.212177 6.100178
二十五1667.700300 40.837486 66.708012 8.167497
50 5793.386850 76.114301 115.867737 10.764188
100 21418.718700 146.351354 214.187187 14.635135

红利扑克

下表显示了 8-5 Bonus Poker 所有牌局以及每手牌的方差和标准差

8-5 红利扑克

戏剧全部的
方差		全部的
标准
偏差		每次游戏
方差		每次游戏
标准
偏差
1 20.904082 4.572098 20.904082 4.572098
3 75.432408 8.685183 25.144136 5.014393
5 146.920950 12.121095 29.384190 5.420719
10 399.843250 19.996081 39.984325 6.323316
二十五1794.618250 42.362935 71.784730 8.472587
50 6239.270250 78.989051 124.785405 11.170739
100 23078.675500 151.916673 230.786755 15.191667

双倍红利扑克

下表显示了 9-7-5 双倍红利扑克的所有牌局以及每手牌的方差和标准差

9-7-5 双倍红利扑克

戏剧全部的
方差		全部的
标准
偏差		每次游戏
方差		每次游戏
标准
偏差
1 28.547130 5.342951 28.547130 5.342951
3 105.746118 10.283293 35.248706 5.937062
5 209.751410 14.482797 41.950282 6.476904
10 587.042220 24.228954 58.704222 7.661868
二十五2724.151050 52.193400 108.966042 10.438680
50 9636.787100 98.167139 192.735742 13.882930
100 36027.514200 189.809152 360.275142 18.980915

双倍双倍奖金扑克

下表显示了 9-6 Double Double Bonus Poker 的所有牌局以及每手牌的方差和标准差

9-6 双倍红利扑克

戏剧全部的
方差		全部的
标准
偏差		每次游戏
方差		每次游戏
标准
偏差
1 41.984981 6.479582 41.984981 6.479582
3 154.809087 12.442230 51.603029 7.183525
5 306.105385 17.495868 61.221077 7.824390
10 852.661970 29.200376 85.266197 9.233970
二十五3935.038925 62.729889 157.401557 12.545978
50 13881.357850 117.819174 277.627157 16.662147
100 51807.835700 227.613347 518.078357 22.761335

两局狂野

下表显示了 25-15-10-4-4-3 Deuces Wild 的所有牌局以及每手牌的方差和标准差

25-15-10-4-4-3 双鬼牌

戏剧全部的
方差		全部的
标准
偏差		每次游戏
方差		每次游戏
标准
偏差
1 25.679180 5.067463 25.679180 5.067463
3 95.183850 9.756221 31.727950 5.632757
5 188.883600 13.743493 37.776720 6.146277
10 528.986450 22.999705 52.898645 7.273145
二十五2456.610500 49.564206 98.264420 9.912841
50 8693.702250 93.240025 173.874045 13.186131
100 32509.329500 180.303437 325.093295 18.030344

双鬼牌奖金

下表显示了 9-4-4-3 Bonus Deuces Wild 的所有牌局以及每手牌的方差和标准差

9-4-4-3 红利 Deuces Wild

戏剧全部的
方差		全部的
标准
偏差		每次游戏
方差		每次游戏
标准
偏差
1 32.662818 5.715139 32.662818 5.715139
3 120.825018 10.992043 40.275006 6.346259
5 239.435970 15.473719 47.887194 6.920057
10 669.176640 25.868449 66.917664 8.180322
二十五3100.226850 55.679681 124.009074 11.135936
50 10958.071200 104.680806 219.161424 14.804102
100 40946.612400 202.352693 409.466124 20.235269

概率对

下表显示了假设发牌手牌相同，且策略为 9-6 J 或更好时，任意两手特定牌型在抽牌时出现的概率。左侧一行显示“牌型 1”，顶部一列显示“牌型 2”。由于某些字段的概率非常小，我使用了科学计数法。

概率对表 1 — 9-6 J 或更好

手牌 1没有什么工作2对3种直的冲洗跳频4种旧金山射频
没有什么3.77E-01 7.93E-02 4.53E-02 2.85E-02 5.42E-03 6.66E-03 2.40E-03 6.11E-04 6.99E-05 1.42E-05
杰克或更好7.93E-02 9.92E-02 2.01E-02 1.28E-02 9.38E-04 9.26E-04 1.09E-03 2.78E-04 6.93E-06 5.68E-06
两对4.53E-02 2.01E-02 5.12E-02 7.92E-03 1.08E-04 8.13E-05 4.40E-03 1.87E-04 1.21E-06 4.98E-07
三条2.85E-02 1.28E-02 7.92E-03 2.25E-02 4.33E-05 3.13E-05 1.65E-03 9.38E-04 4.25E-07 1.85E-07
直的5.42E-03 9.38E-04 1.08E-04 4.33E-05 4.65E-03 6.03E-05 2.45E-06 3.34E-07 5.52E-06 7.96E-07
冲洗6.66E-03 9.26E-04 8.13E-05 3.13E-05 6.03E-05 3.25E-03 1.38E-06 1.93E-07 9.94E-06 1.66E-06
客满2.40E-03 1.09E-03 4.40E-03 1.65E-03 2.45E-06 1.38E-06 1.91E-03 6.66E-05 7.41E-09 6.85E-09
四条6.11E-04 2.78E-04 1.87E-04 9.38E-04 3.34E-07 1.93E-07 6.66E-05 2.82E-04 9.86E-10 8.61E-10
同花顺6.99E-05 6.93E-06 1.21E-06 4.25E-07 5.52E-06 9.94E-06 7.41E-09 9.86E-10 1.54E-05 3.69E-08
皇家同花顺1.42E-05 5.68E-06 4.98E-07 1.85E-07 7.96E-07 1.66E-06 6.85E-09 8.61E-10 3.69E-08 1.71E-06

下表提供相同的信息，但位数更高。它显示了每对牌的组合数，精确到15位（Excel的最大值），不考虑顺序。请注意，两手牌组合的总收益等于一手牌收益的两倍。

概率对表 2 — 9-6 J 或更好

手牌 1手牌 2组合可能性支付返回
没有什么没有什么57,664,992,337,108,000,000 0.377187 0 0.000000
没有什么杰克或更好24,232,729,458,658,400,000 0.158506 1 0.158506
没有什么两对13,845,304,964,002,300,000 0.090562 2 0.181124
没有什么三条8,726,039,157,387,020,000 0.057077 3 0.171231
没有什么直的1,657,016,578,993,360,000 0.010839 4 0.043354
没有什么冲洗2,035,490,553,224,720,000 0.013314 6 0.079885
没有什么客满734,942,598,554,528,000 0.004807 9 0.043265
没有什么四条186,860,795,577,763,000 0.001222二十五0.030556
没有什么同花顺21,359,122,264,576,200 0.000140 50 0.006986
没有什么皇家同花顺4,338,415,760,266,080 0.000028 800 0.022702
杰克或更好杰克或更好15,165,995,951,987,900,000 0.099201 2 0.198402
杰克或更好两对6,140,587,770,092,040,000 0.040166 3 0.120497
杰克或更好三条3,915,849,147,073,900,000 0.025614 4 0.102454
杰克或更好直的286,715,798,957,348,000 0.001875 5 0.009377
杰克或更好冲洗283,137,319,731,984,000 0.001852 7 0.012964
杰克或更好客满332,470,711,745,820,000 0.002175 10 0.021747
杰克或更好四条84,953,934,410,987,400 0.000556二十六0.014448
杰克或更好同花顺2,119,322,635,042,600 0.000014 51 0.000707
杰克或更好皇家同花顺1,735,582,704,176,590 0.000011 801 0.009093
两对两对7,831,401,262,721,210,000 0.051225 4 0.204901
两对三条2,420,196,605,329,560,000 0.015831 5 0.079153
两对直的33,016,723,781,798,200 0.000216 6 0.001296
两对冲洗24,847,188,037,349,400 0.000163 8 0.001300
两对客满1,344,465,032,419,130,000 0.008794 11 0.096736
两对四条57,039,536,401,736,600 0.000373二十七0.010074
两对同花顺369,632,440,017,432 0.000002 52 0.000126
两对皇家同花顺152,242,916,946,336 0.000001 802 0.000799
三条三条3,444,111,124,875,160,000 0.022528 6 0.135168
三条直的13,253,848,139,056,700 0.000087 7 0.000607
三条冲洗9,579,178,876,536,860 0.000063 9 0.000564
三条客满503,473,320,786,464,000 0.003293 12 0.039519
三条四条286,901,966,781,062,000 0.001877二十八0.052546
三条同花顺129,844,380,330,888 0.000001 53 0.000045
三条皇家同花顺56,538,398,938,368 0.000000 803 0.000297
直的直的711,149,591,709,176,000 0.004652 8 0.037213
直的冲洗18,447,113,220,812,200 0.000121 10 0.001207
直的客满750,203,629,122,672 0.000005十三0.000064
直的四条102,194,252,051,088 0.000001二十九0.000019
直的同花顺1,686,711,113,699,520 0.000011 54 0.000596
直的皇家同花顺243,362,705,981,664 0.000002 804 0.001280
冲洗冲洗496,154,126,958,398,000 0.003245 12 0.038944
冲洗客满421,220,447,825,760 0.000003 15 0.000041
冲洗四条58,944,675,640,320 0.000000 31 0.000012
冲洗同花顺3,039,629,528,763,520 0.000020 56 0.001113
冲洗皇家同花顺507,089,614,448,808 0.000003 806 0.002673
客满客满291,555,196,668,645,000 0.001907 18 0.034327
客满四条20,376,082,044,866,200 0.000133三十四0.004532
客满同花顺2,265,084,537,408 0.000000 59 0.000001
客满皇家同花顺2,094,928,008,912 0.000000 809 0.000011
四条四条43,043,223,890,517,600 0.000282 50 0.014077
四条同花顺301,525,772,352 0.000000 75 0.000000
四条皇家同花顺263,216,361,648 0.000000 825 0.000001
同花顺同花顺2,352,314,821,359,550 0.000015 100 0.001539
同花顺皇家同花顺11,282,026,370,328 0.000000 850 0.000063
皇家同花顺皇家同花顺261,652,407,890,112 0.000002 1600 0.002738
全部的0 152,881,798,431,626,000,000 1.000000 1.990878

示例问题

玛丽在发牌时玩了800手10次的“Jacks or Better”。游戏机的投注额为25美分，玛丽每手下注5个硬币。她所有游戏的标准差是多少？

答案是 682.02 美元

[剧透=解决方案#1]

首先，我们来计算一下每手牌的单位方差。如第一个表格所示，Jacks or Better 的方差为 19.514676，协方差为 1.966389。

每手牌的总方差为 10*19.514676 + 10*9*1.966389 = 372.121770 个单位。此数字也可在上方“Jacks or Better”表格中找到。

其次，将每手牌的方差乘以玩过的手牌数量（每手牌），即 800。这样我们就得到了 800*372.121770 = 297697。

第三，将总方差（单位）乘以每局投注金额的平方。结果为 297697 * 1.25 2 = 465,152.21 美元。

最后，对方差的平方根求出标准差：$465,152.21 0.5 = $682.02。

[剧透]

[剧透=解决方案 #2]

请注意，在 Jacks or Better 表中，10 局游戏中每手牌的标准差为 6.100178。

总共玩了 800×10 = 8000 手牌。

标准差的一般公式为 b × s × sqrt(n)，其中：
b = 投注金额
s = 每手的标准差
n = 手的数量。

使用该公式，我们得到总标准差为 1.25 美元 × 6.100178 × sqrt(8000) = 682.02 美元。

[剧透]

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撰写者: Michael Shackleford