为什么二十一点中牌组数量很重要

简介

任何可靠的二十一点资料来源都会指出，在其他条件相同的情况下，二十一点中使用的牌组数量与赌场优势呈正相关。换句话说，牌组越少，休闲玩家的胜率就越高。对于至少具备一定知识水平，能够货比三家选择规则合理的二十一点游戏的玩家来说，这是常识。然而，我从未见过深入探讨这一现象的资料。本文旨在阐明这个问题。

在开始之前，我先来制定一些基本规则。考虑到2020年撰写本文时的二十一点游戏情况，这些规则尽可能贴近现实：

• 庄家拿到软 17。
• 二十一点的赔率为 3 比 2。
• 发牌人以 10 或 A 为点数查看是否有黑杰克。
• 玩家可以用任意两张牌加倍。
• 玩家不得投降。
• 玩家分牌后可以加倍。
• 玩家最多可以将任意一对牌（包括 A）重新拆分三次。
• 使用连续洗牌机（每手牌后洗牌）。
• 玩家使用基本策略。

我的二十一点庄家优势计算器表明，根据这些规则，根据牌组数量，庄家优势如下：

这些数字可能与其他关于二十一点的可靠资料并不完全一致。我认为任何差异都可能是由于玩家使用了切牌或使用了基于牌型的最佳策略。相比之下，我假设每手牌后都会洗牌，并且玩家始终遵循基于牌型的策略。

请注意，八副牌和一副牌的赌场优势相差0.563%。本文将尝试解答为何牌组数量对赔率有如此显著的影响。

平衡的游戏

首先，我考虑一个简化的二十一点游戏，其中玩家和庄家的规则完全相同，无论牌堆数量多少，赌场优势均为 0%。然后，我逐步添加实际的二十一点规则，并研究它们如何随着牌堆数量的变化而影响赌场优势。

最初假设的简化二十一点游戏应具有与前面所述的相同规则，但以下情况除外：

• 玩家遵循“模仿庄家”策略。
• 赢了二十一点，赔付等额的钱。
• 如果玩家和庄家都爆牌，则结果为平局。

这个平衡游戏中的庄家优势显然正好是 0.000%，因为每条规则对双方都同样有利。

经销商地位优势

在二十一点游戏中，如果玩家和庄家都爆牌，谁会赢？庄家赢。换句话说，庄家享有位置优势，因为先爆牌的一方输，玩家必须先行动。这就是庄家占据优势的原因，尽管许多规则对玩家不利。将此规则添加到平衡游戏中，并在一副和八副牌的模拟中运行，玩家的预期收益如下。

上表显示，在这款假设的游戏中，玩家使用一副牌的胜率比使用八副牌的胜率更低。这是因为随着牌组数量的减少，爆牌的概率会上升。以下是这款“模拟庄家”游戏中爆牌的概率，假设即使玩家先爆牌，庄家也会出牌。

• 一副牌=27.333%
• 八副牌 = 27.209%

以上数据表明，一副牌游戏中双方爆牌的概率比八副牌游戏中高0.124%。双方爆牌之间存在一定的相关性，因此，我们来分别分析一下玩家和庄家爆牌的四种组合：

概率之和不等于 100% 的原因是表格不计算双方都有黑杰克且牌局尚未结束的情况。“是是”这一行显示双方都爆牌，导致庄家获胜的情况。它表明，与八副牌相比，在单副牌游戏中，这种情况发生的频率高 0.080%。为什么？如果任何一方爆牌，那一定是在拿到 12 到 16 点的硬牌之后。这手牌必须至少包含两张牌。同时，如果任何一方有两张大牌，它就会停牌。换句话说，要牌通常发生在牌面值小于平均数值的牌中。在要牌情况下，这种小牌被拿走会导致剩余的牌中大牌过多。在爆牌前拿走小牌的这种影响在单副牌游戏中更为显著。

二十一点赔率为 3 比 2

我们将添加到平衡游戏中的下一条规则是，赢得二十一点的玩家支付 3 比 2。将该规则添加到我的模拟中将产生以下累积玩家预期回报。

• 一副牌 = -5.912%
• 八副牌 = -5.894%

为添加该规则添加一行的模拟结果表为：

计算两行之间的差异，可以显示赢得二十一点的玩家获得的收益为 3 比 2：

• 一副牌=2.325%
• 八副牌=2.263%
• 差异=0.062%

这很容易用数学方法验证，如下所示。设 d = 牌组数量。使用 Excel 符号，赢得二十一点的概率为：概率（玩家二十一点）*（1-概率（庄家二十一点））= (16*d)*(4*d)/combin(52*d,2) * [1-(16*d-1)*(4*d-1)/combin(52*d-2,2)

如上所示，随着牌堆数量的减少，赢得二十一点的概率会增加。这仅仅是由于移除的影响。例如，假设第一张玩家牌是任意 10 点牌。无论牌堆数量多少，这个概率都是 4/13。很容易看出，在单副牌游戏中，第二张牌是 A 的概率是 4/51 = 7.843%。在八副牌游戏中，这个概率是 32/415 = 7.711%，比单副牌游戏低 0.123%。简单来说，在单副牌游戏中获得 A 的概率更高的原因是，从牌堆中移除 10 后，牌堆中的 A 会更多。如果第一张牌是 A，情况也是如此；在单副牌游戏中，剩余牌中的 10 会更多。

此外，如果玩家拿到黑杰克，庄家拿到黑杰克的概率会随着牌堆数量的减少而下降。这是因为，在单副牌游戏中，玩家从牌堆中移除一张 A 和一张 10，这使得庄家拿到黑杰克的难度远高于八副牌游戏。具体来说，假设玩家已经拿到黑杰克，那么庄家拿到黑杰克的概率在单副牌中为 3.673%，在八副牌中为 4.605%。玩家每赢得一张黑杰克，就能额外赢得半个单位。要计算一张黑杰克在我们假设的平衡游戏中以 3-2 赔付的价值，只需将赢得黑杰克的概率乘以 0.5，每次乘以额外的半个单位即可。这样，玩家在牌堆数量上的优势如下：

请注意，获胜玩家二十一点支付额外半个单位的数学计算收益与之前显示的单副牌和八副牌的模拟结果相符。

下表列出了目前为止所分析的规则列表，以及这些规则对于单副牌玩家相对于八副牌玩家的优势：

接下来，让我们分析一下，当玩家被允许在 12 到 16 的硬总数上停牌时，他们会得到什么好处。在这个范围内，依赖于总数的基本策略对于任何数量的牌组都是相同的，如下所示：

• 总数为 12 时，对庄家 4 到 6 的牌停牌，否则要牌。
• 总点数为 13 到 16 时，对庄家 2 到 6 的牌停牌，否则要牌。

将此策略添加到模拟结果中将产生以下玩家预期回报：

• 一副牌 = -2.209%
• 八副牌 = -2.625%

下面的模拟结果表包含添加此规则的一行：

通过第二行和第三行之间的差异可以看出，玩家在 12 到 16 的硬数字上自由选择站立的效果。

• 一副牌=3.703%
• 八副牌=3.270%
• 差异 = 0.433%

将这两个数字相加，可以看出，这项规则变化对单副牌游戏玩家的影响比对八副牌游戏玩家的影响高出0.433%。与普遍的看法相反，这解释了为什么单副牌游戏比八副牌游戏对玩家的影响高出0.563%的大部分原因。

更深入地观察当玩家在 12 到 16 的僵局总数上停牌而庄家不能停牌时会发生什么情况，此表显示了由于玩家击中较少的僵局总数而导致的各种事件给玩家带来的好处，从而导致玩家爆牌的次数减少，庄家爆牌的次数增加，以及庄家输掉更多对决的情况：

相同的表格已被简化，以显示由于庄家爆牌次数更多和输掉更多对决而赢得更多的好处：

简而言之，在单副牌游戏中，如果玩家遵循基本策略，硬牌点数为12到16，爆牌的概率会比庄家低14.738%。然而，在这些牌型中，75%的情况下庄家不会爆牌，因此庄家在与16点或更少的玩家进行对决时，即使玩家无法获胜，也能获胜。相对于所有牌型，玩家爆牌较少可以节省14.738%，但同时会以更多对决输钱的方式损失11.035%，因此在单副牌游戏中，玩家的净收益为3.703%。

在八副牌的游戏中，这个收益只有3.270%。综合考虑，在单副牌游戏中，策略性地停在12到16点的收益比在八副牌游戏中高出0.433%。

为什么在一副牌中策略性停牌比在八副牌中更有价值？答案类似于为什么在单副牌游戏中庄家的位置优势更大。在单副牌游戏中爆牌的情况更多。虽然爆牌越多对双方都有利，但对玩家越不利，因为双方都爆牌时玩家就输了。玩家停牌时，总数为 12 到 16 的牌可能由小牌组成而不是大牌。这使得牌堆中剩余的大牌更多，有可能使玩家爆牌。在单副牌游戏中，玩家需要拿走这些小牌来改善手牌，其代价比在八副牌游戏中更大。换句话说，在单副牌游戏中，拿硬牌更危险。相反，在单副牌游戏中停牌更有利。

以下是每项规则变更的成本/收益的更新表：

玩家可以加倍

接下来，让我们分析一下允许加倍给玩家带来的好处。为了研究其效果，我让模拟根据给定的牌组数量，采用相应的加倍策略，这将在本文后面介绍。将此策略添加到模拟中，玩家的预期收益如下：

• 一副牌 = -0.556%
• 八副牌 = -1.245%

这个模拟结果表包含一行用于添加此规则：

第三行和第四行的区别体现了玩家有自由意志加倍的效果，如下：

• 一副牌=1.653%
• 八副牌 = 1.380%
• 差异 = 0.273%

将这两个数字相加，可以看出，这项规则变化对单副牌游戏玩家的影响比对八副牌游戏玩家的影响高出0.273%。这也解释了为什么单副牌游戏比八副牌游戏对玩家的影响高出0.563%的另一个重要原因。

为什么在单副牌游戏中加倍更有价值？大多数情况下，玩家加倍时，硬点数在9到11点之间。加倍需要两张牌，因此必须用两张小于平均点数的牌才能达到9到11点的低点数。如果从一副牌中取出两张小牌，下一张牌有32.00%的概率是10，这在硬点数加倍时显然是有利的。然而，如果从八副牌中取出两张小牌，取出的效果就没那么强了，下一张牌是10的概率会降低到30.92%。

以下是每项规则变更的成本/收益更新表。请注意，0.689% 的总收益超过了最终的赌场优势差额。这是因为我们尚未考虑分牌的影响。

玩家可以分牌

接下来，我分析了允许玩家分牌的好处。为了研究其效果，我让模拟根据给定的牌堆数量，采用相应的分牌策略，这将在文章后面介绍。添加此策略后，我们就得到了完整的基本策略。添加分牌后，玩家和发牌人之间没有其他需要研究的规则差异。完整的基本策略中，玩家的预期收益为：

• 一副牌 = -0.012%
• 八副牌 = -0.575%

添加此规则的模拟结果表为：

第四行和第五行的区别体现了玩家有自由分牌意愿的影响。

• 一副牌=0.544%
• 八副牌 = 0.669%
• 差异 = -0.125%

这两个数字的差异表明，与八副牌游戏相比，此规则变化对单副牌游戏玩家的影响要低 0.125%。

在八副牌的游戏中，分牌比一副牌更有利，因为前两张牌组成对子的概率更大。具体来说，用Excel术语来说，八副牌的概率是13*combin(4*8,2)/combin(52*8,2) = 7.470%。一副牌的概率是13*combin(4*1,2)/combin(52*1,2) = 5.882%。

还记得，基本游戏规则允许最多重新分牌三次或四手牌。如果从一副牌中取出两张相同点数的牌，那么下一张牌出现该点数的概率为2/50 = 4.000%。而对于八副牌的牌盒来说，这个概率为30/414 = 7.246%。由于在单副牌游戏中分牌和重新分牌的次数较少，分牌的整体价值较低。这解释了为什么从八副牌到一副牌，分牌的收益会降低。

将分牌的负面影响添加到单副牌游戏中，完善了我们的表格，其中列出了各种规则对单副牌游戏相对于八副牌游戏的收益的影响。

规则 单副牌 优势 庄家位置优势 -0.079% 获胜玩家黑杰克赔率为 3 比 2 0.061% 玩家可以在 12 到 16 点停牌 0.433% 玩家可以加倍 0.273% 玩家可以分牌 -0.125% 总计 0.563%

请注意，右下角单元格中的 0.563% 的和与文章开头引用的赌场优势计算器给出的差值相符。以下是按影响顺序排列的同一张表格：

基本策略表

下表显示了给定规则和一副牌的适当基本策略。

下表显示了给定规则和八副牌的适当基本策略。

预期值表

下表显示了单副牌游戏中每手初始牌的预期值。最上面一行显示庄家的明牌。预期值是在庄家检查是否有黑杰克之前测量的。总计列显示了根据拿到该牌的概率，每行预期值的加权平均值。右下角单元格显示整个游戏的预期值。

单副牌游戏中的期望值

八副牌游戏中的期望值

预期值的差异（%）

下表以百分比形式显示了单副牌游戏的预期值减去八副牌游戏的预期值。

进一步阅读

彼得·格里芬 (Peter Griffin) 的《二十一点理论》(The Theory of Blackjack) 是我见过对本文主题最精彩的阐述。他在第八章“多副牌和不同规则”中探讨了这个问题，该章使用了一套不同的基准规则，并计算了一副牌和无限副牌之间的差异。他并不总是给出所有细节的确切数字，但他根据自己的假设，将 0.69% 的差异细分如下：

• 加倍下注：几乎是 0.69% 的一半
• 玩家黑杰克：0.07%
• 分牌：超过二十一点的收益
• 站在12到16的位置：“大概是剩下的差异。”

格里芬继续列举了单卡牌和无限卡牌下各种规则变化的好处。

致谢

我要感谢唐·施莱辛格 (Don Schlesinger) 对本文的分析和校对提出的明智建议。

撰写者: Michael Shackleford