在这一页
二十一点中的方差
简介
本附录提供与二十一点标准差相关的信息。本附录假设玩家在切牌游戏中遵循基本策略。每张牌桌均基于约一百亿手牌的单独模拟。
提醒一下，如果一手牌的方差为 v，协方差为 c，一次玩的手数为 n，则总方差为 n×v + n×(n-1)×c。
下表是多次模拟和大量编程工作的成果。它显示了不同规则集的方差和协方差。
摘要表
| 甲板 | 软17 | 双倍的 后 分裂 | 投降 允许 | 重新分割 王牌 允许 | 预期的 价值 | 方差 | 协方差 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 6 | 站立 | 是的 | 是的 | 是的 | -0.00281 | 1.303 | 0.479 |
| 6 | 站立 | 不 | 不 | 不 | -0.00573 | 1.295 | 0.478 |
| 6 | 打 | 是的 | 是的 | 是的 | -0.00473 | 1.312 | 0.487 |
| 6 | 打 | 不 | 不 | 不 | -0.00787 | 1.308 | 0.488 |
| 6 | 打 | 是的 | 不 | 不 | -0.00628 | 1.346 | 0.499 |
| 6 | 打 | 不 | 是的 | 不 | -0.00699 | 1.272 | 0.475 |
| 6 | 打 | 不 | 不 | 是的 | -0.00717 | 1.311 | 0.488 |
| 8 | 打 | 不 | 不 | 不 | -0.00812 | 1.309 | 0.489 |
| 2 | 打 | 是的 | 不 | 不 | -0.00398 | 1.341 | 0.495 |
相比之下，斯坦福·黄（Stanford Wong）在其著作《职业二十一点》（第203页）中表示，他的基准规则（即六副牌，庄家在软17点停牌，分牌后不加倍，不重新分牌A，不投降）的方差为1.28，协方差为0.47。我的表格第二行显示，对于同样的规则，我分别得到了1.295和0.478的方差和0.478的协方差，对我来说已经足够接近了。
规则变化对方差的影响
下表显示了与黄氏基准规则相比，各种规则变化对预期值、方差和协方差的影响。
规则变化的影响
| 规则 | 预期的 价值 | 方差 | 协方差 |
|---|---|---|---|
| 站在软 17 | 0.00191 | -0.00838 | -0.00764 |
| 允许分牌后加倍 | 0.00159 | 0.03753 | 0.01091 |
| 允许投降 | 0.00088 | -0.03629 | -0.01247 |
| 允许重新分牌 Ace | 0.00070 | 0.00207 | 0.00037 |
| 八副甲板 | -0.00025 | 0.00071 | 0.00063 |
| 两层甲板 | 0.00230 | -0.00530 | -0.00422 |
下表显示了根据上述自由脱衣舞规则，一至三手牌的净赢概率。
自由脱衣规则——一次玩一手牌
第一个表格显示了根据我所谓的“自由脱衣规则”玩一手牌时每个净结果的概率，如下所示：
- 六副甲板
- 庄家在软 17 点（S17）停牌
- 前两张牌加倍（DA2）
- 允许分牌后加倍 (DAS)
- 允许延迟投降（LS）
- 允许重新分割 A 牌 (RSA)
- 玩家最多可以重新分牌三次（P3X）
6 副牌 S17 DA2 DAS LS RSA P3X — 单手
| 净赢 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|
| -8 | 0.00000019 | -0.00000154 |
| -7 | 0.00000235 | -0.00001643 |
| -6 | 0.00001785 | -0.00010709 |
| -5 | 0.00008947 | -0.00044736 |
| -4 | 0.00048248 | -0.00192993 |
| -3 | 0.00207909 | -0.00623728 |
| -2 | 0.04180923 | -0.08361847 |
| -1 | 0.40171191 | -0.40171191 |
| -0.5 | 0.04470705 | -0.02235353 |
| 0 | 0.08483290 | 0.00000000 |
| 1 | 0.31697909 | 0.31697909 |
| 1.5 | 0.04529632 | 0.06794448 |
| 2 | 0.05844299 | 0.11688598 |
| 3 | 0.00259645 | 0.00778935 |
| 4 | 0.00076323 | 0.00305292 |
| 5 | 0.00014491 | 0.00072453 |
| 6 | 0.00003774 | 0.00022646 |
| 7 | 0.00000609 | 0.00004263 |
| 8 | 0.00000066 | 0.00000526 |
| 全部的 | 1.00000000 | -0.00277282 |
上表反映以下内容：
- 庄家优势 = 0.28%
- 方差 = 1.303
- 标准差 = 1.142
净赢概率
我经常被问到在二十一点游戏中净赢的概率是多少。下表回答了这个问题。
总结二十一点的净赢利
| 事件 | 可能性 |
|---|---|
| 赢 | 42.43% |
| 推 | 8.48% |
| 损失 | 49.09% |
接下来的三个表格根据第一个动作是拿牌、停牌或投降；加倍；还是分牌来细分可能发生的事件。
首次行动时击中、停牌或投降的净胜
| 事件 | 全部的 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|
| 1.5 | 77147473 | 0.05144768 | 0.07717152 |
| 1 | 537410636 | 0.35838544 | 0.35838544 |
| 0 | 127597398 | 0.08509145 | 0 |
| -0.5 | 76163623 | 0.05079158 | -0.02539579 |
| -1 | 681213441 | 0.45428386 | -0.45428386 |
| 全部的 | 1499532571 | 1 | -0.04412269 |
首次行动加倍时的净赢额
| 事件 | 全部的 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|
| 2 | 89463603 | 0.54980265 | 1.09960529 |
| 0 | 11301274 | 0.06945249 | 0 |
| -2 | 61954607 | 0.38074486 | -0.76148972 |
| 全部的 | 162719484 | 1 | 0.33811558 |
首次分牌时的净赢额
| 事件 | 全部的 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|
| 8 | 1079 | 0.00002554 | 0.00020428 |
| 7 | 10440 | 0.00024707 | 0.00172948 |
| 6 | 64099 | 0.00151694 | 0.00910166 |
| 5 | 247638 | 0.00586051 | 0.02930255 |
| 4 | 1307719 | 0.030948 | 0.123792 |
| 3 | 4437365 | 0.10501306 | 0.31503917 |
| 2 | 10222578 | 0.24192379 | 0.48384758 |
| 1 | 2822458 | 0.06679526 | 0.06679526 |
| 0 | 5621675 | 0.1330405 | 0 |
| -1 | 3520209 | 0.08330798 | -0.08330798 |
| -2 | 9425393 | 0.2230579 | -0.4461158 |
| -3 | 3559202 | 0.08423077 | -0.25269231 |
| -4 | 828010 | 0.01959538 | -0.07838153 |
| -5 | 152687 | 0.00361343 | -0.01806717 |
| -6 | 30536 | 0.00072265 | -0.00433592 |
| -7 | 3972 | 0.000094 | -0.000658 |
| -8 | 305 | 0.00000722 | -0.00005774 |
| 全部的 | 42255365 | 1 | 0.14619552 |
自由脱衣舞规则——同时玩两手牌
下表显示了根据上述自由脱衣舞规则，同时玩两手牌的净结果。“回报”栏显示两手牌的净赢额。
6 副 S17 DA2 DAS LS RSA P3X — 双手
| 净赢 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|
| -14 | 0.00000000 | 0.00000000 |
| -13 | 0.00000000 | -0.00000001 |
| -12 | 0.00000001 | -0.00000006 |
| -11 | 0.00000003 | -0.00000035 |
| -10 | 0.00000023 | -0.00000228 |
| -9 | 0.00000163 | -0.00001464 |
| -8 | 0.00001040 | -0.00008324 |
| -7.5 | 0.00000000 | -0.00000003 |
| -7 | 0.00005327 | -0.00037288 |
| -6.5 | 0.00000009 | -0.00000061 |
| -6 | 0.00024527 | -0.00147159 |
| -5.5 | 0.00000114 | -0.00000629 |
| -5 | 0.00106847 | -0.00534234 |
| -4.5 | 0.00000967 | -0.00004352 |
| -4 | 0.00654661 | -0.02618644 |
| -3.5 | 0.00005733 | -0.00020065 |
| -3 | 0.04607814 | -0.13823442 |
| -2.5 | 0.00214887 | -0.00537218 |
| -2 | 0.23285866 | -0.46571732 |
| -1.5 | 0.03547663 | -0.05321495 |
| -1 | 0.09903321 | -0.09903321 |
| -0.5 | 0.01386072 | -0.00693036 |
| 0 | 0.14677504 | 0.00000000 |
| 0.5 | 0.05888290 | 0.02944145 |
| 1 | 0.06026238 | 0.06026238 |
| 1.5 | 0.01030563 | 0.01545845 |
| 2 | 0.17250085 | 0.34500170 |
| 2.5 | 0.03020186 | 0.07550465 |
| 3 | 0.06443204 | 0.19329612 |
| 3.5 | 0.00559850 | 0.01959474 |
| 4 | 0.01072401 | 0.04289604 |
| 4.5 | 0.00024927 | 0.00112171 |
| 5 | 0.00187139 | 0.00935695 |
| 5.5 | 0.00007341 | 0.00040373 |
| 6 | 0.00049405 | 0.00296428 |
| 6.5 | 0.00001414 | 0.00009193 |
| 7 | 0.00012404 | 0.00086825 |
| 7.5 | 0.00000369 | 0.00002767 |
| 8 | 0.00002933 | 0.00023466 |
| 8.5 | 0.00000060 | 0.00000508 |
| 9 | 0.00000543 | 0.00004888 |
| 9.5 | 0.00000007 | 0.00000063 |
| 10 | 0.00000083 | 0.00000834 |
| 11 | 0.00000013 | 0.00000141 |
| 12 | 0.00000002 | 0.00000028 |
| 十三 | 0.00000000 | 0.00000005 |
| 14 | 0.00000000 | 0.00000001 |
| 全部的 | 1.00000000 | -0.00563798 |
上表反映以下内容：
- 庄家优势 = 0.28%
- 每轮差异 = 3.565
- 每手波动 = 1.782
- 每手标准差= 1.335
自由脱衣规则——一次玩三手牌
下表显示了根据上述自由脱衣舞规则，每局三手牌的净结果。“回报”栏显示三手牌的净赢利。
6 副牌 S17 DA2 DAS LS RSA P3X — 三手牌
| 净赢 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|
| -16 | 0.00000000 | -0.00000001 |
| -15 | 0.00000000 | -0.00000001 |
| -14 | 0.00000001 | -0.00000007 |
| -13 | 0.00000003 | -0.00000041 |
| -12 | 0.00000018 | -0.00000218 |
| -11 | 0.00000100 | -0.00001099 |
| -10.5 | 0.00000000 | 0.00000000 |
| -10 | 0.00000531 | -0.00005309 |
| -9.5 | 0.00000001 | -0.00000006 |
| -9 | 0.00002581 | -0.00023228 |
| -8.5 | 0.00000005 | -0.00000047 |
| -8 | 0.00011292 | -0.00090339 |
| -7.5 | 0.00000049 | -0.00000370 |
| -7 | 0.00046097 | -0.00322680 |
| -6.5 | 0.00000397 | -0.00002581 |
| -6 | 0.00197390 | -0.01184341 |
| -5.5 | 0.00002622 | -0.00014419 |
| -5 | 0.00969361 | -0.04846807 |
| -4.5 | 0.00022638 | -0.00101870 |
| -4 | 0.04183392 | -0.16733566 |
| -3.5 | 0.00319799 | -0.01119297 |
| -3 | 0.15826947 | -0.47480842 |
| -2.5 | 0.02641456 | -0.06603640 |
| -2 | 0.08893658 | -0.17787317 |
| -1.5 | 0.02183548 | -0.03275322 |
| -1 | 0.09681697 | -0.09681697 |
| -0.5 | 0.04992545 | -0.02496273 |
| 0 | 0.06712076 | 0.00000000 |
| 0.5 | 0.02111145 | 0.01055572 |
| 1 | 0.08978272 | 0.08978272 |
| 1.5 | 0.03789943 | 0.05684914 |
| 2 | 0.04349592 | 0.08699183 |
| 2.5 | 0.01123447 | 0.02808618 |
| 3 | 0.10813504 | 0.32440511 |
| 3.5 | 0.02489093 | 0.08711825 |
| 4 | 0.06196736 | 0.24786943 |
| 4.5 | 0.00906613 | 0.04079759 |
| 5 | 0.01805409 | 0.09027044 |
| 5.5 | 0.00154269 | 0.00848480 |
| 6 | 0.00409323 | 0.02455940 |
| 6.5 | 0.00027059 | 0.00175885 |
| 7 | 0.00107315 | 0.00751203 |
| 7.5 | 0.00007208 | 0.00054062 |
| 8 | 0.00030105 | 0.00240840 |
| 8.5 | 0.00001824 | 0.00015505 |
| 9 | 0.00008014 | 0.00072126 |
| 9.5 | 0.00000431 | 0.00004096 |
| 10 | 0.00001901 | 0.00019010 |
| 10.5 | 0.00000081 | 0.00000846 |
| 11 | 0.00000398 | 0.00004379 |
| 11.5 | 0.00000013 | 0.00000144 |
| 12 | 0.00000078 | 0.00000939 |
| 12.5 | 0.00000002 | 0.00000023 |
| 十三 | 0.00000016 | 0.00000214 |
| 13.5 | 0.00000001 | 0.00000008 |
| 14 | 0.00000003 | 0.00000045 |
| 14.5 | 0.00000000 | 0.00000001 |
| 15 | 0.00000001 | 0.00000009 |
| 15.5 | 0.00000000 | 0.00000000 |
| 16 | 0.00000000 | 0.00000002 |
| 17 | 0.00000000 | 0.00000001 |
| 全部的 | 1.00000000 | -0.00854917 |
上表反映以下内容：
- 庄家优势 = 0.285%
- 每轮差异 = 6.785
- 每手波动 = 2.262
- 每手标准差= 1.504