⼆⼗⼀点 - 一般问题

据我所知，拉斯维加斯绝大多数赌场的21点游戏在软17点时庄家会选择停牌。通常，在单副牌游戏中庄家会抽牌处理软17点，而双副牌游戏则可能采取不同规则。我尝试在我关于算牌的页面上解释为何算牌策略有效。

庄家占优势，因为玩家必须先出牌。如果双方都爆牌，则不算平局，但你输了。

最低投注额因地而异。Unified Gaming赌场最低投注额为 1 美元，Microgaming 为 2 美元，Starnet 和 Cryptologic 为 5 美元。如果您独自一人玩，则可能需要很长时间。我曾经在一手牌中途接到电话，15 分钟后回来继续玩牌，而且没有被注销。您最终会因为不活动而被注销，但这需要相当长的时间。但是，如果您在团体牌桌上玩，每次决策的时间限制约为 30 秒。在 Sands of the Caribbean，您可以看到时间一分一秒地流逝。

如果你玩的时间足够长，你最终只会输光所有钱。不要投入超过你愿意承受损失的金额。

其次，加勒比梭哈扑克的庄家优势是5.22%，所以如果你想尽可能长时间地玩下去，我建议你不要玩这个。如果玩得好，最好的赌桌游戏是掷骰子和二十一点。

假设庄家的牌是10只是一种记忆机制，与基本策略的构建方式毫无关系。当我听到一个玩家对另一个玩家说：“你总是假设庄家的牌是10。” 我无法袖手旁观。如果真是这样，那么玩家面对10就应该拿到19，这显然是不合理的。

问得好。可惜我没有根据具体规则制定的确切标准差数字。我网站上的1.15是基于拉斯维加斯大道的宽松规则。我同意分牌后加倍的规则会增加标准差。投降会降低标准差。抱歉，我帮不上什么忙。

谢谢你的赞美。可惜我手头没有这样的证据。如果我真的要亲自证明，我会用计算机模拟。然而，怀疑论者可能会说一些荒谬的话，比如说坏玩家会破坏游戏的因果报应，而这在计算机中是无法复制的。

您所经历的很可能是一些非常糟糕的连败造成的。也可能是累进投注或策略失误造成的。基本策略平注的玩家应该对大幅上涨和大幅下跌的预期大致对称，由于赌场优势，以及48%的输牌概率和43%的赢牌概率，他们更倾向于大幅下跌。如果我只是为了娱乐而玩，那么当我不再感到乐趣时，我就会离开牌桌。

西班牙 21 点！根据大西洋城的规则，二十一点的庄家优势为 0.43%，西班牙 21 点的庄家优势为 0.40%。

我曾多次说过，没有办法长期赢一场有庄家优势的游戏。如果真的存在一场没有庄家优势的50/50游戏，那么在现实生活中，你根本无法保证自己能赢或输。长期来看，结果总是接近庄家优势。这不仅是计算机模拟的结果，也是概率的基本规律。

关于视频二十一点，这可能是未来的发展方向。我在世界博彩博览会上见过带视频显示屏的全电子赌桌。我还见过一些装有摄像头的赌桌，可以追踪每个玩家的每一次下注和每一次操作。这使得赌场能够准确地补偿玩家，并提醒他们注意算牌者。这些赌桌的外观和感觉与其他二十一点赌桌没什么两样，所以如果这些赌桌赢了，你们这些算牌者可能就没戏了。

克拉里奇酒店 (Claridge) 是最好的。据我所知，他们是大西洋城唯一一家提供延迟投降服务的赌场，这使得赌场优势从 0.43% 降至 0.36%。

根据彼得·格里芬的《额外资料》，玩家因失误造成的平均损失为 1.41%。这高于假设基本策略正确的情况下的赌场优势。不同地方的赌场优势也有所不同，例如，大西洋城的玩家比拉斯维加斯的玩家更胜一筹。您之前关于糟糕策略的问题非常好，我已将其添加到我的二十一点专栏中。请参阅我关于糟糕策略的评论。

别客气！赌场通常会尽量将最高赌注控制在最低赌注的200到500倍左右。为什么？如果赌场在100美元的赌桌上接受1万美元的赌注，为什么不在5美元的赌桌上接受呢？答案似乎是赌场喜欢把大赌客聚集到特定的区域。这些高限额区域往往拥有最优秀的员工和最完善的监管。限制最高赌注与最低赌注的比例也是一种防范作弊和优势行为的措施。

算牌的优势取决于算牌者的水平和积极性。除了我自己对算牌的介绍之外，这个话题我留给其他赌博作家吧。

不会，其他玩家的进出不会对你的胜率产生长期影响。这听起来似乎没错，但我认为你更有可能记住那些进出对你造成伤害的时刻，而不是那些对你有帮助的时刻。从长远来看，牌就是牌，所有其他因素都会相互抵消。

不。如果您想比较预期损失，最好使用赌场优势。我关于赌场优势的部分显示，二十一点的赌场优势为 0.43%（大西洋城规则），加勒比梭哈扑克的赌场优势为 5.22%。在底注 5 美元的情况下，1 手加勒比梭哈扑克的预期损失为 5 美元 * 5.22% = 26.10 美分。在初始下注 15 美元的情况下，6.7 手二十一点的预期损失为 6.7 * 15 美元 * 0.43% = 43.22 美分。因此，有了这两个选项，您在加勒比梭哈扑克中的损失会更少。加勒比梭哈扑克与二十一点的赌场优势之比约为 12。因此，1 美元初始加勒比梭哈扑克赌注的预期损失与 12 美元初始二十一点赌注的预期损失大致相同。

是的，在这种情况下，您可以加倍或分牌。最高限额适用于初始下注。如果限额为 200 美元，您也可以玩多手 200 美元的牌。

虽然很难比较，但我认为二十一点是更好的选择。学习基本策略很容易成为一名优秀的二十一点玩家。但成为一名优秀的扑克玩家却很难。赌场扑克室里通常挤满了非常优秀的玩家，就等着一个没有经验的玩家来敲诈。然而，有些人可能天生就擅长扑克，所以我的回答请谨慎对待。

提前投降是指在庄家确认牌型为黑杰克之前投降。延迟投降是指在庄家确认牌型为黑杰克之后才可以选择投降。提前投降的优势在于，即使庄家确认牌型为黑杰克，你仍然可以保留一半的赌注。据我所知，目前实体赌场或网络赌场均不提供提前投降服务。

因为我们已经知道牌盒里有一张A被拿走了。这样一来，牌盒里剩下的牌就稍微重了10点。牌盒里10点的比例越大，保险投注赢的可能性就越大。牌盒越少，这种效果就越明显。投保20点（A/9除外）会增加保险投注的赌场优势，因为牌盒里少了两张10点。

谢谢你的好观点。我承认错误。

谢谢。考虑到赢钱的几率和保本能力，我认为最终的选择是二十一点（赢钱的可能性更大）和牌九扑克（保本的可能性更大）。如果两种游戏都能找到5美元的赌桌，我会选择二十一点。如果最低下注额是10美元，我会选择牌九扑克。

这取决于玩家的具体技能因素。虽然我不清楚具体情况，但假设玩家的技能水平相同，我会让银行选项在玩家之间轮换。

下表显示了二十一点、掷骰子和轮盘赌每小时的发牌/掷骰次数。表格来源：Jim Kilby 著《赌场运营管理》 。

在掷骰子游戏中，平均而言，总掷骰结果的 29.6% 是 come out 掷骰。

假设你使用正确的基本策略，并且庄家拿到软17（这在5美元的游戏中很常见），那么每手牌的预期亏损为5美元*0.0062 = 3.1美分。假设你每手牌正好输掉这个数字，那么需要玩322,580手牌。然而，由于资金波动，以及你输光后无法继续游戏，实际数字会略低一些。我粗略估计一下，大约需要30万手牌。以每小时60手牌的速度计算，这需要5000个小时，或者说两年半的全职游戏时间。

谢谢。如果你的目标只是赢一个单位，我同意掷骰子是最好的起点。不过，不通过比通过略好一些。但是，如果你输了第一笔赌注，我会换成二十一点。只有当你的赌注和你一开始的赌注完全一样时，我才会回到掷骰子。这是因为你不需要加倍或分牌就能赢一个单位，而且只有要牌/停牌的二十一点游戏的庄家优势约为 2.5%。

你的同事听起来简直没救了。我之前说过，越荒谬的想法越容易被人牢牢抓住。我宁愿放弃他，让他相信自己的妄想。我个人不会主动提出赌博建议，因为很少有人会认真对待。

我说你应该把奖金退还。我从未在任何书里看到过这个问题。然而，真的需要写书吗？这才是你的良心所在。你被要求把事情做好，这样做是正确的。

谢谢。要回答这个问题，你首先得问问自己为什么要赌博。如果你想尽可能少输，那你根本就不应该玩。但是，如果你只是为了赌博的乐趣，我建议你选择10美元、0.2%利润率的游戏。预期损失是一样的，但更大的赌注能让你获得更多的满足感。

谢谢你的赞美。赌场优势低于0.5%的三种游戏是二十一点、掷骰子和视频扑克。在这三种游戏中，我推荐二十一点。我会开始每手下注10美元。一开始玩得保守一点，就不会很快破产，不得不向朋友借钱。假设你想翻倍资金，或者在尝试中破产，那么在接近旅程结束时加大赌注。玩之前一定要记住基本策略，不要接受超过0.4%的赌场优势。

庄家有 1/13 的概率会拿到 A。在六副牌的游戏中，保险的赌场优势平均为 7.395%。不过，这只适用于一半的下注额。因此，总是购买保险的预期损失为 (1/13) × 7.395% × 0.5 = -0.00284。也就是说，赌场优势会增加 0.284%。

在非切牌游戏中，非算牌者的庄家优势始终相同。成堆的大牌或小牌出现在牌盒开头、中间和结尾的概率是一样的。仅仅因为牌盒顶部的点数为零，并不意味着你的大牌和小牌会完全平衡。你似乎是在暗示牌盒末尾的牌更密集。然而，如果真是这样，那么如果荷官按相反的顺序发牌，赔率就会发生变化。这显然是个荒谬的想法。

假设基本策略玩家手中有16点，而牌盒后面有10点，并且要牌。如果点数高，停牌是正确的做法，但这在旁观的算牌者看来似乎是个错误。然而，如果点数为负，那么要牌就更好了。最终，对于基本策略玩家来说，结果会比较平均。

出于我在二十一点附录10中解释的原因，如果基本策略玩家的目标是最小化赌场优势，那么他应该选择具有连续洗牌器的游戏。除此之外，赌场优势不受渗透率的影响。我应该补充一点，如果渗透率较低，洗牌时间会更长，因此每小时的预期损失会更低。

我们先来看看数据。下表显示了内华达州博彩管理局季度统计报告中克拉克县各游戏和年份的赌桌数量。除2009年基于第三季度外，其余年份均基于第四季度，因为在撰写本文时，第四季度的数据尚未公布。体育、赛马、宾果和基诺游戏不包含在内。

下表显示了 1990 年和 2009 年每种游戏占整个桌面游戏市场的百分比。请注意，21 是最大的输家，从 74.0% 跌至 55.6%。

这就引出了一个问题：为什么二十一点的市场份额正在下降？我认为主要原因如下：

1. 扑克游戏的流行正在引起一些玩家的转变。
2. 赌场不像其他游戏那样提供二十一点游戏。
3. 规则越来越糟糕了。我并不是说大多数玩家都知道这一点，但随着时间的推移，玩家会感受到规则的变化，比如庄家拿到软17，他们的钱包就变了。
4. 所有赌场游戏都有其自然的寿命，而二十一点则变得越来越灰暗。

为了其他读者的利益，“十张牌查理”规则意味着如果玩家拿到十张牌而没有爆牌，那么就自动获胜。

根据我的模拟，玩家拿到至少十张牌的概率是六千万分之一。因此，这降低了赌场优势约 0.0000017%。

我表明这些规则的总价值为 0.31%。

他们遵循的二十一点规则似乎是所有 Speilbank 赌场的标准规则，具体如下：

• 六层甲板。
• 庄家在软 17 点时停牌。
• 没有庄家底牌。
• 仅限 9 至 11 的双倍。
• 允许分牌后加倍。
• 重新拆分任意一对牌，包括 A，最多四手。
• 不投降。
• 连续洗牌机。

哎呀！这些规则太糟糕了，我读的时候后颈的汗毛都竖了起来。

使用我的二十一点庄家优势计算器，我计算出的庄家优势为 2.22%，这还不包括无底牌和推 22 点规则。我假设使用的是连续洗牌机，并且玩家可以重新分牌到四手牌。无底牌规则会让玩家损失 0.11%。然而，最令人反感的规则是推 22 点，它会让玩家损失 6.91%。最终，庄家优势高达 9.24%！这简直是游戏的败笔。

我邀请我的读者告诉我是否存在更糟糕的二十一点规则。

很棒的推广！下表显示了每个事件的概率。五张牌21点的概率应该比较粗略。

这个漏洞相当于每次庄家拿到黑杰克且牌面朝上的A时，玩家都会额外获得一个单位。这种情况发生的概率为2.37%。如果没有这个漏洞，赌场优势将是0.72%。如果存在这个漏洞，玩家优势将是2.37% - 0.72% = 1.66%。

有关该问题的进一步讨论，请参阅我在Wizard of Vegas 的论坛。

首先，这是我根据这些规则制定的基本策略：

综合考虑，我根据初始投注给出的赌场优势是 6.01%（哎哟！）。换句话说，如果玩家下注 100 美元（不计 5 美元佣金），那么他预计会损失 6.01 美元。这也解释了为什么在加州我建议远离玩家坐庄的游戏，除非你坐庄。

这个问题是在我的“拉斯维加斯巫师”论坛中提出并讨论的。

哎哟！据Casino Vérità 二十一点软件的开发者Norm Wattenberger说，这些规则下的赌场优势是4.30%。这还没算上六张牌停牌的规则，我觉得这条规则对双方的影响大致相同。可惜的是，其他地方的酒吧也有同样糟糕的规则。

我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。

基于该优势和已玩牌局，预期赢利为2015个单位。假设每手牌的标准差为1.1，则整局游戏的标准差为1,561。您的实际赢利与预期赢利之间的差额为3,490。即3,490/1,561 = 2.24个标准差。出现如此糟糕或更差结果的概率为1.27%。

基于该优势和已玩牌局，预期赢利为2015个单位。假设每手牌的标准差为1.1，则整局游戏的标准差为1,561。您的实际赢利与预期赢利之间的差额为3,490。即3,490/1,561 = 2.24个标准差。出现如此糟糕或更差结果的概率为1.27%。

首先，我们必须计算出任何一手牌的获胜概率，这取决于规则，而这些规则在你最初的问题中并没有明确说明。在我关于二十一点方差的页面上，我给出了在“自由脱衣舞规则”下，净赢、平局和净输的概率。这些规则包括：六副牌，二十一点赔率为3比2，庄家在软17点停牌，分牌后允许加倍，允许投降，允许再次分牌。根据这些规则，以下是必要的概率：

• 胜率：42.43%
• 推动：8.48%
• 亏损：49.09%

你的问题也没有说明如何处理“推牌”。我假设“推牌”算作一手牌，但不会推进或重置一系列的输牌。除去“推牌”，在已结算的赌注下，赢和输的概率如下：

• 胜率：46.36%
• 亏损：53.64%

也就是说，对于这样的问题，一个很好的近似方法是：

n × l × w ^m

在哪里：
n = 玩过的牌数
l = 损失概率
w = 获胜概率
m = 连续输牌的最少手数

在这种情况下，预期亏损次数为 100000 × 46.36% × 63.64% ⁽¹⁰⁾ = 91.4。换句话说，平均每 1,094 手牌至少会出现 10 手连败。随机模拟结果也证实了这一点。

说到这儿，我敢肯定，我那些追求完美的读者们正准备给我发邮件，对马尔可夫链进行一番智力上的鞭策。我想强调一下，我的公式只是一个估算，而且实际上相当不错。

答案很简单，就是你允许下注的最高金额。等到22点，再玩，最后就能带着一个额外的单位离开赌桌。

更严格的答案应该考虑等待这 22 的成本。这是我并不确切知道的，但可以估计。

庄家“全压22”规则对玩家的成本为6.91%。然而，庄家拿到22点的概率会高于这个数字，因为玩家不在乎自己是否先爆牌。根据规则，玩家爆牌的概率约为15.7%。如果我们假设这与庄家爆牌的概率无关（事实并非如此），那么庄家爆牌的概率为6.91%/(1.0-0.157) = 8.2%。

我知道这有点粗略，但我们假设玩家拿到22点的概率相同。我知道庄家爆牌的概率比玩家高，但分牌后这张优惠券也不算数，所以我们就假设这些因素互相抵消了。所以，如果玩家拿到22点的概率是8.2%，那么他平均每1/0.082 = 12.2手牌就会拿到一次22点。

假设基础游戏中的赌场优势为0.75%。以该赌场优势玩12.2手牌的成本为12.2*0.0075 = 0.0915。因此，用一个单位的价值减去这个成本，你得到的票面价值为1.0 - 0.0915，约为票面价值的91%。

这个问题是在我的“拉斯维加斯巫师”论坛中提出并讨论的。

我正在考虑为“push 22”二十一点变体创建一个边注，如果庄家爆牌 22，那么我就能赢。赔率是多少？赌场优势是多少？

假设庄家总是抽出他的牌（即使每个玩家都已经爆牌），那么如果庄家在软 17 点停牌，那么在 22 点爆牌的概率为 7.88%，如果他拿到软 17 点，那么在 22 点爆牌的概率为 8.00%。

假设庄家拿到软17点，赔率为11比1时，赌场优势为4.04%。赔率为10比1时，赌场优势将跃升至12.04%。

我应该警告你并建议玩家这是可数的（闭嘴，Wiz！）。

让我们忽略拆分十，因为即使有此规则，玩家仍然应该在 20 时对抗任何数字。

假设有六副牌，一对 A 的概率为 combin(24,2)/combin(312,2) = 276/48,516 = 0.5689%。

两张 A 牌能够发展成黑杰克的预期数量为 2*(16*6)/(312-2) = 0.619355。

庄家没有黑杰克的概率是 1 - (16*6)*(4*6-2)/combin(52*6-2,2) = 95.590354%。

庄家拿到21点的概率是7.7981%。这其中的数学原理太复杂，难以解释。

该规则有用的概率是 0.5689% * 95.590354% * (1-7.7981%) = 0.3368044%。

每次事件的收益 = Pr(庄家未拿到 21 点) * (0.2) + Pr(庄家拿到 21 点) * 1.2 = (1-0.122077839) * 0.2 + 0.122077839 * 1.2 = 0.3220778。

该规则的总体收益是情况发生的频率与发生时的收益的乘积 = 0.003368044 * 0.322077839 = 0.11%。

这对玩家来说是个好消息！他们的网站没有详细说明，所以我假设它只适用于前两张牌。我从2018年10月的《当代二十一点》简报上看到，大多数牌桌都有以下规则：

• 庄家拿到软17
• 六副甲板
• 二十一点赔率为 3 比 2
• 允许分牌后加倍
• 允许重新分牌

我的二十一点庄家优势计算器显示，这些规则的庄家优势在连续洗牌的情况下为 0.55%，在切牌的情况下为 0.57%。

无论规则如何，前两张牌出现硬16的概率是6.51%。如果以6.51%的概率赢得16美元，那么每手牌价值1.04美元。我假设最低下注额为25美元，因为在新冠疫情期间，大多数赌场都提高了最低下注额。不计奖金，25美元下注，每手牌预期亏损为0.14美元。这意味着每手牌预期盈利为1.04美元 - 0.14美元 = 0.90美元。相对于下注金额，这意味着玩家优势为3.59%！

如果我们假设一个好的情况，即以每小时 80 轮的速度玩三手 25 美元的牌，那么预计每小时赢利将达到 216 美元！

我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。

根据我的二十一点页面中的方差，基于自由的脱衣舞规则，以下是净赢、平或输的概率：

• 胜率 — 42.43%
• 推动 — 8.48%
• 亏损——49.09%

让我们忽略平局，考虑到这手牌最终是净赢还是净输，我们获胜的概率是 46.36%。

我们以每小时100手作为游戏速度。

我们可以近似地计算出连续看到至少 60 手牌的概率为：

作为比较的基础，如果您购买了一张强力球彩票和一张百万大奖彩票，那么同时中奖的概率是 88,412,922,115,818,300 分之一。

因此，两次彩票都中奖的可能性比 12 小时内连续中 60 次彩票的可能性要大一些。

游戏中确实出现了大量可疑的大牌，不是吗？以下是我能辨认出的牌。请注意，在某些情况下，牌可能看不清楚。

你说得对，邦德最初的15手牌一手都没要到。他分了一次8，但分完之后也没要到。以下是他最初15手牌的行动统计：

• 双倍 — 1
• 分裂 — 1
• 站立 — 13

以下是每个初始行动的基本策略概率，假设有六副牌，允许分牌后加倍，发牌人偷看底牌，并且发牌人在软 17 点停牌。

如果允许投降，那么这个概率就是 4.14%，这是从站立的概率中得出的。

值得注意的是，邦德曾经在16对10的情况下停牌。基本策略是击中它，但可能性很小。考虑到那手牌中出现了大量的10，邦德可能知道点数很高，这会触发基本策略例外，在这种情况下停牌。

一手牌没中概率是 60.22%。假设每手牌都是独立的，那么 15 手牌中 15 手牌没中概率是 0.602162 ¹⁵ = 0.000496253 = 大约 2015 年的 1 手牌。

哎哟！我在澳门美高梅也看到了同样可怕又无知的规定。

底牌为A且明牌为10的概率为(6*4)/(6*52-1) = 7.717%。预期收益为0.077170×2 + 0.922830×-1 = -0.768489。换句话说，庄家优势为76.85%。

要回答你的问题，我们必须先了解一些二十一点游戏的规则。我将采用所谓的“自由脱衣规则”，具体如下：

• 六副甲板
• 庄家在软 17 点停牌
• 允许分牌后加倍
• 允许重新分牌
• 允许投降

根据这些规则，假设基本策略完美，净赢/输的概率如下：

• 净赢率：42.43%
• 净推：8.48%
• 净亏损：49.09%

我询问了这起事件的目击者，他说这60手牌不包括平局。换句话说，60手牌已经解决了。我还假设，如果玩家分牌，它仍然只算一手牌，并且玩家分牌的所有牌中都有净赢。

正如在关于连续 18 次总数为 11 的问题中所解释的那样，预计等待时间的公式是：

预期等待时间 = [(1/p)^(n+1) - 1] / [(1/p) - 1] - 1，其中：
n = 连续获胜次数
p = 获胜概率

在这种情况下，如果一手牌已解决，那么每手牌净赢的概率为 42.43%/ (43.43% + 49.09%) = 46.36%。更具体地说，是 0.46359564。

使用上述公式，观察该事件的预期等待时间为 (1/0.46359564)^61 - 1]/[(1/0.46359564) - 1] - 1 = 200,941,772,393,648,000,000 手。

相比之下，在掷骰子游戏中，连续18次掷出11点需要等待41,660,902,667,961,000,000,000次，是11点的207倍。所以，据我所知，18岁的故事仍然是拉斯维加斯巫师论坛上讲述的最高故事。

在我的免费 A 牌价值页面中，我声明它的价值是 3-2 二十一点赌注金额的 50.1844%。

在六副牌的二十一点中，假设第一张牌是A，那么赢得二十一点的概率是29.3139%。在这种情况下，你在6-5二十一点中赢得的单位比3-2少0.3个。

因此，6-5 六副牌二十一点中免费 A 的价值为初始赌注的 50.1844% × 29.3139 × 0.3 = 41.3902%。

我的二十一点手持计算器显示，在六副牌的情况下，庄家在软 17 点停牌，玩家 6+5 对抗庄家 A，每种玩法的预期值如下：

• 命中 = +0.147596
• 双倍 = +0.129710
• 立场 = -0.661883

由于要牌限制为一张牌，因此相当于加倍，但赌注不会翻倍。因此，预期价值将是加倍的一半，即 +0.129710/2 = +0.064855。这小于加倍的预期价值 +0.129710。因此，如果要牌后你只能下一张牌，那么你应该加倍。