⼆⼗⼀点 - 一般问题

在掷骰子游戏中，平均而言，总掷骰结果的 29.6% 是 come out 掷骰。

假设基本策略玩家手中有16点，而牌盒后面有10点，并且要牌。如果点数高，停牌是正确的做法，但这在旁观的算牌者看来似乎是个错误。然而，如果点数为负，那么要牌就更好了。最终，对于基本策略玩家来说，结果会比较平均。

出于我在二十一点附录10中解释的原因，如果基本策略玩家的目标是最小化赌场优势，那么他应该选择具有连续洗牌器的游戏。除此之外，赌场优势不受渗透率的影响。我应该补充一点，如果渗透率较低，洗牌时间会更长，因此每小时的预期损失会更低。

下表显示了 1990 年和 2009 年每种游戏占整个桌面游戏市场的百分比。请注意，21 是最大的输家，从 74.0% 跌至 55.6%。

这就引出了一个问题：为什么二十一点的市场份额正在下降？我认为主要原因如下：

1. 扑克游戏的流行正在引起一些玩家的转变。
2. 赌场不像其他游戏那样提供二十一点游戏。
3. 规则越来越糟糕了。我并不是说大多数玩家都知道这一点，但随着时间的推移，玩家会感受到规则的变化，比如庄家拿到软17，他们的钱包就变了。
4. 所有赌场游戏都有其自然的寿命，而二十一点则变得越来越灰暗。

• 六层甲板。
• 庄家在软 17 点时停牌。
• 没有庄家底牌。
• 仅限 9 至 11 的双倍。
• 允许分牌后加倍。
• 重新拆分任意一对牌，包括 A，最多四手。
• 不投降。
• 连续洗牌机。

很棒的推广！下表显示了每个事件的概率。五张牌21点的概率应该比较粗略。

首先，这是我根据这些规则制定的基本策略：

综合考虑，我根据初始投注给出的赌场优势是 6.01%（哎哟！）。换句话说，如果玩家下注 100 美元（不计 5 美元佣金），那么他预计会损失 6.01 美元。这也解释了为什么在加州我建议远离玩家坐庄的游戏，除非你坐庄。

这个问题是在我的“拉斯维加斯巫师”论坛中提出并讨论的。

哎哟！据Casino Vérità 二十一点软件的开发者Norm Wattenberger说，这些规则下的赌场优势是4.30%。这还没算上六张牌停牌的规则，我觉得这条规则对双方的影响大致相同。可惜的是，其他地方的酒吧也有同样糟糕的规则。

我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。

首先，我们必须计算出任何一手牌的获胜概率，这取决于规则，而这些规则在你最初的问题中并没有明确说明。在我关于二十一点方差的页面上，我给出了在“自由脱衣舞规则”下，净赢、平局和净输的概率。这些规则包括：六副牌，二十一点赔率为3比2，庄家在软17点停牌，分牌后允许加倍，允许投降，允许再次分牌。根据这些规则，以下是必要的概率：

• 胜率：42.43%
• 推动：8.48%
• 亏损：49.09%

你的问题也没有说明如何处理“推牌”。我假设“推牌”算作一手牌，但不会推进或重置一系列的输牌。除去“推牌”，在已结算的赌注下，赢和输的概率如下：

• 胜率：46.36%
• 亏损：53.64%

也就是说，对于这样的问题，一个很好的近似方法是：

n × l × w ^m

在哪里：
n = 玩过的牌数
l = 损失概率
w = 获胜概率
m = 连续输牌的最少手数

在这种情况下，预期亏损次数为 100000 × 46.36% × 63.64% ⁽¹⁰⁾ = 91.4。换句话说，平均每 1,094 手牌至少会出现 10 手连败。随机模拟结果也证实了这一点。

说到这儿，我敢肯定，我那些追求完美的读者们正准备给我发邮件，对马尔可夫链进行一番智力上的鞭策。我想强调一下，我的公式只是一个估算，而且实际上相当不错。

答案很简单，就是你允许下注的最高金额。等到22点，再玩，最后就能带着一个额外的单位离开赌桌。

更严格的答案应该考虑等待这 22 的成本。这是我并不确切知道的，但可以估计。

庄家“全压22”规则对玩家的成本为6.91%。然而，庄家拿到22点的概率会高于这个数字，因为玩家不在乎自己是否先爆牌。根据规则，玩家爆牌的概率约为15.7%。如果我们假设这与庄家爆牌的概率无关（事实并非如此），那么庄家爆牌的概率为6.91%/(1.0-0.157) = 8.2%。

我知道这有点粗略，但我们假设玩家拿到22点的概率相同。我知道庄家爆牌的概率比玩家高，但分牌后这张优惠券也不算数，所以我们就假设这些因素互相抵消了。所以，如果玩家拿到22点的概率是8.2%，那么他平均每1/0.082 = 12.2手牌就会拿到一次22点。

假设基础游戏中的赌场优势为0.75%。以该赌场优势玩12.2手牌的成本为12.2*0.0075 = 0.0915。因此，用一个单位的价值减去这个成本，你得到的票面价值为1.0 - 0.0915，约为票面价值的91%。

这个问题是在我的“拉斯维加斯巫师”论坛中提出并讨论的。

我正在考虑为“push 22”二十一点变体创建一个边注，如果庄家爆牌 22，那么我就能赢。赔率是多少？赌场优势是多少？

假设庄家总是抽出他的牌（即使每个玩家都已经爆牌），那么如果庄家在软 17 点停牌，那么在 22 点爆牌的概率为 7.88%，如果他拿到软 17 点，那么在 22 点爆牌的概率为 8.00%。

假设庄家拿到软17点，赔率为11比1时，赌场优势为4.04%。赔率为10比1时，赌场优势将跃升至12.04%。

我应该警告你并建议玩家这是可数的（闭嘴，Wiz！）。

让我们忽略拆分十，因为即使有此规则，玩家仍然应该在 20 时对抗任何数字。

假设有六副牌，一对 A 的概率为 combin(24,2)/combin(312,2) = 276/48,516 = 0.5689%。

两张 A 牌能够发展成黑杰克的预期数量为 2*(16*6)/(312-2) = 0.619355。

庄家没有黑杰克的概率是 1 - (16*6)*(4*6-2)/combin(52*6-2,2) = 95.590354%。

庄家拿到21点的概率是7.7981%。这其中的数学原理太复杂，难以解释。

该规则有用的概率是 0.5689% * 95.590354% * (1-7.7981%) = 0.3368044%。

每次事件的收益 = Pr(庄家未拿到 21 点) * (0.2) + Pr(庄家拿到 21 点) * 1.2 = (1-0.122077839) * 0.2 + 0.122077839 * 1.2 = 0.3220778。

该规则的总体收益是情况发生的频率与发生时的收益的乘积 = 0.003368044 * 0.322077839 = 0.11%。

这对玩家来说是个好消息！他们的网站没有详细说明，所以我假设它只适用于前两张牌。我从2018年10月的《当代二十一点》简报上看到，大多数牌桌都有以下规则：

• 庄家拿到软17
• 六副甲板
• 二十一点赔率为 3 比 2
• 允许分牌后加倍
• 允许重新分牌

我的二十一点庄家优势计算器显示，这些规则的庄家优势在连续洗牌的情况下为 0.55%，在切牌的情况下为 0.57%。

无论规则如何，前两张牌出现硬16的概率是6.51%。如果以6.51%的概率赢得16美元，那么每手牌价值1.04美元。我假设最低下注额为25美元，因为在新冠疫情期间，大多数赌场都提高了最低下注额。不计奖金，25美元下注，每手牌预期亏损为0.14美元。这意味着每手牌预期盈利为1.04美元 - 0.14美元 = 0.90美元。相对于下注金额，这意味着玩家优势为3.59%！

如果我们假设一个好的情况，即以每小时 80 轮的速度玩三手 25 美元的牌，那么预计每小时赢利将达到 216 美元！

我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。

根据我的二十一点页面中的方差，基于自由的脱衣舞规则，以下是净赢、平或输的概率：

• 胜率 — 42.43%
• 推动 — 8.48%
• 亏损——49.09%

让我们忽略平局，考虑到这手牌最终是净赢还是净输，我们获胜的概率是 46.36%。

我们以每小时100手作为游戏速度。

我们可以近似地计算出连续看到至少 60 手牌的概率为：

作为比较的基础，如果您购买了一张强力球彩票和一张百万大奖彩票，那么同时中奖的概率是 88,412,922,115,818,300 分之一。

因此，两次彩票都中奖的可能性比 12 小时内连续中 60 次彩票的可能性要大一些。

游戏中确实出现了大量可疑的大牌，不是吗？以下是我能辨认出的牌。请注意，在某些情况下，牌可能看不清楚。

你说得对，邦德最初的15手牌一手都没要到。他分了一次8，但分完之后也没要到。以下是他最初15手牌的行动统计：

• 双倍 — 1
• 分裂 — 1
• 站立 — 13

以下是每个初始行动的基本策略概率，假设有六副牌，允许分牌后加倍，发牌人偷看底牌，并且发牌人在软 17 点停牌。

如果允许投降，那么这个概率就是 4.14%，这是从站立的概率中得出的。

值得注意的是，邦德曾经在16对10的情况下停牌。基本策略是击中它，但可能性很小。考虑到那手牌中出现了大量的10，邦德可能知道点数很高，这会触发基本策略例外，在这种情况下停牌。

一手牌没中概率是 60.22%。假设每手牌都是独立的，那么 15 手牌中 15 手牌没中概率是 0.602162 ¹⁵ = 0.000496253 = 大约 2015 年的 1 手牌。

哎哟！我在澳门美高梅也看到了同样可怕又无知的规定。

底牌为A且明牌为10的概率为(6*4)/(6*52-1) = 7.717%。预期收益为0.077170×2 + 0.922830×-1 = -0.768489。换句话说，庄家优势为76.85%。

要回答你的问题，我们必须先了解一些二十一点游戏的规则。我将采用所谓的“自由脱衣规则”，具体如下：

• 六副甲板
• 庄家在软 17 点停牌
• 允许分牌后加倍
• 允许重新分牌
• 允许投降

根据这些规则，假设基本策略完美，净赢/输的概率如下：

• 净赢率：42.43%
• 净推：8.48%
• 净亏损：49.09%

我询问了这起事件的目击者，他说这60手牌不包括平局。换句话说，60手牌已经解决了。我还假设，如果玩家分牌，它仍然只算一手牌，并且玩家分牌的所有牌中都有净赢。

正如在关于连续 18 次总数为 11 的问题中所解释的那样，预计等待时间的公式是：

预期等待时间 = [(1/p)^(n+1) - 1] / [(1/p) - 1] - 1，其中：
n = 连续获胜次数
p = 获胜概率

在这种情况下，如果一手牌已解决，那么每手牌净赢的概率为 42.43%/ (43.43% + 49.09%) = 46.36%。更具体地说，是 0.46359564。

使用上述公式，观察该事件的预期等待时间为 (1/0.46359564)^61 - 1]/[(1/0.46359564) - 1] - 1 = 200,941,772,393,648,000,000 手。

相比之下，在掷骰子游戏中，连续18次掷出11点需要等待41,660,902,667,961,000,000,000次，是11点的207倍。所以，据我所知，18岁的故事仍然是拉斯维加斯巫师论坛上讲述的最高故事。

在我的免费 A 牌价值页面中，我声明它的价值是 3-2 二十一点赌注金额的 50.1844%。

在六副牌的二十一点中，假设第一张牌是A，那么赢得二十一点的概率是29.3139%。在这种情况下，你在6-5二十一点中赢得的单位比3-2少0.3个。

因此，6-5 六副牌二十一点中免费 A 的价值为初始赌注的 50.1844% × 29.3139 × 0.3 = 41.3902%。

我的二十一点手持计算器显示，在六副牌的情况下，庄家在软 17 点停牌，玩家 6+5 对抗庄家 A，每种玩法的预期值如下：

• 命中 = +0.147596
• 双倍 = +0.129710
• 立场 = -0.661883

由于要牌限制为一张牌，因此相当于加倍，但赌注不会翻倍。因此，预期价值将是加倍的一半，即 +0.129710/2 = +0.064855。这小于加倍的预期价值 +0.129710。因此，如果要牌后你只能下一张牌，那么你应该加倍。