西克曼骰子

本周，我将暂停我的北方之路之旅。取而代之的是，我准备了一个谜题，我觉得它值得单独写一篇简报。谜题如下：

如何给两个骰子编号，使得任意点数总和出现的概率与两个普通六面骰子出现的概率相同？其中一个骰子每面必须有 1 到 4 个点。另一个骰子每面可以有任意数量的点。

首先，让我们回顾一下用两个普通骰子掷出每种点数总和的组合数量。

以下是 2 到 12 之间每个总数出现的次数。

假设骰子 1 只能掷出 1 到 4 之间的数字。可以肯定的是，至少有一个 1 和一个 4。否则，给出的范围可能会更窄。

为了得到总共为 2 的一种组合，骰子 2 上必须恰好有一个 1。

第一个骰子上不能同时出现一个 1 和一个 4，否则总点数 2 或 12 就会不止出现一次。目前的情况是：

如果骰子1有四个2，那么至少有4种方法可以掷出总共3点。我们需要两种方法。所以，至少有一个面必须有3。

如果骰子 2 的点数是 1-2-2-2-3-4，那么至少有 3 种方法可以掷出总点数为 3。同样，我们需要正好有两种方法。

所以，第二个骰子一定是 1-2-2-3-3-4。到目前为止，我们得到了 3 种掷出 3 的方法。

鉴于骰子 1 的点数组合，骰子 2 不能出现 2。否则，掷出总和为 3 的方法就太多了。我们尝试让骰子 2 的下一个点数为 3。这样，两个骰子的总和如下：

注意，掷出总点数为 5 有三种方法。我们需要总共四种方法。回想一下，用两个骰子，我们可以掷出总点数为 5 的方法有 1+4、4+1、2+3 或 3+2。

如果第二个骰子再掷出 3，那么掷出总和为 5 的方法就有五种，这太多了。所以，第二个骰子的下一个点数必须是 4，才能与第一个骰子的 1 匹配，使总和再次为 5。因此，现在的情况是：

注意，我们有四种方法可以凑出总共 6 点。我们需要五种方法。如果我们再给第二个骰子加上 4，那么凑出总共 5 点的方法就太多了。所以，凑出总共 5 点的另一种方法必须来自第二个骰子上的 5，与第一个骰子上的 1 组合。这样我们就得到了：

接下来要看的是总数 7。目前我们有五种方法，还需要六种。这只能通过在第二个骰子上掷出 6 来实现。这将与第一个骰子上的 1 结合，使我们得到总数 7。这样我们就得到了：

每个总和的组合数都与两个传统骰子的组合数相同。所以，我们完成了。顺便说一下，这些骰子叫做西克曼骰子。

信用

几十年来，我见过好几次这个问题。我觉得如果不给提示说骰子点数范围是1到4，这个问题就太难了。

我在 Ted-Ed YouTube 频道上看到一个名为“你能解开诅咒骰子之谜吗？ - Dan Finkel ”的视频，从中获得了这个解决方案的逻辑。