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扑克数学
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五张牌梭哈的衍生游戏
我被问过很多次如何推导出每手牌的概率，因此我特意创建了本节来解释计算过程。这部分内容需要一定的数学基础；任何高中数学基础扎实的人都应该能够理解。这里运用的技巧可以应用于各种概率问题。
阶乘函数
如果你已经了解阶乘函数，可以跳过这一步。如果你认为“5！”的意思是喊出数字“5”，那就继续阅读吧。
客厅沙发的说明书可能会建议您定期重新排列垫子。假设您的沙发有四个垫子。您可以用多少种组合来排列它们？答案是 4!，即 24。显然，第一个垫子有 4 个位置可以放，然后剩下 3 个位置可以放第二个垫子，2 个位置可以放第三个垫子，最后一个垫子只有 1 个位置，即 4*3*2*1 = 24。如果您有 n 个垫子，则有 n*(n-1)*(n-2)* ... * 1 = n! 种排列方式。任何科学计算器都应该有一个阶乘按钮，通常表示为 x!，Excel 中的 fact(x) 函数将给出 x 的阶乘。排列 52 张卡片的总方法数为 52! = 8.065818 * 10 67 。
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组合函数
假设您想从办公室的 10 个人中选出 4 个人组成一个委员会。有多少种不同的人员组合可供选择？答案是 10!/(4!*(10-4)!) = 210。一般情况是，如果您必须从 x 个人中选出 y 个人组成一个委员会，那么就有 x!/(y!*(xy)!) 种组合可供选择。为什么？对于给出的例子，有 10! = 3,628,800 种方法可以按顺序排列办公室中的 10 个人。您可以将前四个人视为委员会成员，将其他六个人视为幸运儿。但是，您不必为委员会中的人或不在委员会中的人确定顺序。有 4! = 24 种方法来安排委员会中的人员，有 6! = 720 种方法来安排其他人。通过将 10! 除以 4! 和 6! 的乘积您将划分出委员会内和委员会外人员的顺序，只剩下组合数，具体来说是 (1*2*3*4*5*6*7*8*9*10)/((1*2*3*4)*(1*2*3*4*5*6)) = 210。Excel 中的combin (x,y) 函数将告诉您可以从 x 中排列一组 y 的方式数。
现在我们可以确定一副 52 张牌中五张牌可能的组合数。答案是 combin(52,5)，即 52!/(5!*47!) = 2,598,960。如果您的计算器没有阶乘按钮，并且您没有 Excel 软件，而您手动计算，那么请注意，47! 的所有因数都可以抵消 52! 的所有因数，结果为 (52*51*50*49*48)/(1*2*3*4*5)。任何给定组合的概率等于该组合的排列方式数除以 2,598.960 的总组合数。以下是每种组合的组合数。只需除以 2,598,960 即可得到概率。
扑克数学
下一节将介绍如何推导出五张牌梭哈中每手牌的组合数。
皇家同花顺
抽取同花大顺有四种不同的方法（每种花色一种）。
同花顺
同花顺中最大的牌可以是 5、6、7、8、9、10、J、Q 或 K。因此，一共有 9 张可能的高牌和 4 种可能的花色，从而形成 9 * 4 = 36 种不同的同花顺组合。
四条
四条有13种不同的可能点数。第五张牌可能是其余48张牌中的任何一张。因此，四条共有13 * 48 = 624种不同的点数。
客满
三条有 13 种不同的可能点数，两条有 12 种不同的点数。三张同点牌有 4 种排列方式（可以省略 4 张不同的牌），两张同点牌有 combin(4,2) = 6 种排列方式。因此，一共有 13 * 12 * 4 * 6 = 3,744 种组合方式来凑成葫芦。
冲洗
有四种花色可供选择，组合(13,5) = 1,287 种方法可以将五张牌排列成同花色。从 1,287 种方法中减去 10，即可以组成顺子的十张高牌，从而得到同花顺，剩下 1,277 种方法。然后乘以 4，即四种花色，得出 5,108 种方法可以组成同花。
直的
顺子中最大的牌可以是5、6、7、8、9、10、J、Q、K或A。因此，一共有10张可能的高牌。每张牌可能有四种不同的花色。五张四种花色的牌的排列方式共有 4 × 5 = 1024 种。接下来，用 1024 种方式减去 4，得到同花的四种排列方式，即同花顺，剩下 1020 种。所以，组成顺子的方式总数为 10*1020=10,200 种。
三张同点牌
三条有 13 种排列方式，其中 3 张牌有 4 种排列方式。另外两张牌有 combin(12,2) = 66 种排列方式。每张牌都有 4 张牌可供选择。因此，三条的排列方式总数为 13 * 4 * 66 * 4 2 = 54,912。
两对
两种牌型共有 (13:2) = 78 种排列方式。两种牌型的两张牌共有 (4:2) = 6 种排列方式。第五张牌剩下 44 张。因此，两对牌共有 78 * 6 2 * 44 = 123,552 种排列方式。
一对
一对牌共有 13 种排列方式，其中两张牌的排列方式有 combin(4,2) = 6 种。另外三张牌的排列方式有 combin(12,3) = 220 种，每张牌有四张可供选择。因此，一对牌共有 13 * 6 * 220 * 4 3 = 1,098,240 种排列方式。
没有什么
首先，计算从 13 张牌中选择 5 种不同点数的组合方式数，即 combin(13,5) = 1287。然后，将 10 张不同的高牌（可以组成顺子）减去 10，剩下 1277 种组合方式。每张牌可以是 4 种花色中的一种，因此 1277 种组合方式中，每种花色都有 4 × 5 = 1024 种不同的组合方式。但是，我们必须从 4 种组合方式（组成同花）中减去 4，剩下 1020 种。因此，最终的高牌组合方式数为 1277*1020=1,302,540。
特定高牌
例如，让我们计算抽到J高的概率。手中必须有四张不同的牌，且都小于J，而J共有9张。从9张牌中排列出4个点数的方式数为combin(9,4) = 126。然后，对于10-9-8-7的组合，我们必须减去1，这样才能组成顺子，剩余的方式数为125。从上式可知，花色的排列方式有1020种。将125乘以1020，得出127,500，这就是J高牌的组合方式数。对于A高牌，请记住从排列方式总数中减去2而不是1，因为AKQJ-10和5-4-3-2-A都是有效的顺子。这是一个很好的网站，它还解释了如何计算扑克概率。
五张牌抽牌 — 高牌
| 手 | 组合 | 可能性 |
|---|---|---|
| A 高 | 502,860 | 0.19341583 |
| 国王高 | 335,580 | 0.12912088 |
| 女王高 | 213,180 | 0.08202512 |
| 杰克高 | 127,500 | 0.04905808 |
| 10高 | 70,380 | 0.02708006 |
| 9高 | 34,680 | 0.01334380 |
| 8高 | 14,280 | 0.00549451 |
| 7高 | 4,080 | 0.00156986 |
| 全部的 | 1,302,540 | 0.501177394 |
Ace/King High
为了方便对加勒比梭哈扑克感兴趣的朋友，我将计算一下用第二大牌K抽到A的概率。其他三张牌必须各不相同，且大小从Q到2不等。从11个点数中抽出3张，组合方式有(11:3) = 165种。QJ-10减1，形成顺子，剩下164种组合方式。如上所述，有1020种组合方式来排列花色，避免同花。最终，A/K的排列方式有164*1020=167,280种。内部链接
有关扑克中的许多其他概率，请参阅我的“扑克中的概率”部分。