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Criss Cross Poker纵横交叉扑克
简介
照⽚摄于2014年Global Gaming Expo全球博弈展场
「Criss Cross Poker纵横交叉扑克」是由 In Bet Gaming 所创制的poker扑 克变体改版游戏。在2014年, 我开始听到美国东部好⼏家赌场关于这个游 戏的报告。游戏的卖点是玩家押注两⼿牌⾯, 在某种程度上使⽤五张交叉 排列的community cards公牌。
规则
- 游戏开始于玩家押注相同⾦额在「Ante Across横向进场注」与「Ante Down纵向进场注」上⾯。玩家也可以押注⼀种选择性的「Five Card Bonus五张牌红利」边注。
- 荷官发给玩家两张hole cards洞牌、还有五张牌⾯朝下的community cards公牌、排列成纵横交叉的形式。
- 玩家可以押注⼀笔「Across Bet横向注」在「Across Hand横向牌 ⾯」、⾦额等于 1x 到 3x倍于「Ante Across横向进场注」的⾦额, 或者 fold弃牌不玩。
- 荷官翻开横向左右两边的两张公牌。
- 玩家可以押注⼀笔「Down Bet纵向注」在「Down Hand纵向牌⾯」、 ⾦额等于 1x 到 3x倍于「Ante Down纵向进场注」的⾦额, 或者fold弃牌不 玩。
- 荷官翻开纵向上下两边的两张公牌。
- 玩家可以押注⼀笔「Middle Bet中央注」、⾦额等于 1x 到 3x倍于Ante bet进场注的⾦额, 或者fold弃牌不玩。
- 荷官翻开中央那张公牌。
- 玩家运⽤他⼿中的两张hole cards洞牌、再加上横向的三张公牌去形成 「Across Hand横向牌⾯」。
- 同理, 玩家运⽤他⼿中的两张hole cards洞牌、再加上纵向的三张公牌 去形成「Down Hand纵向牌⾯」。
- 「Middle Bet中央注」根据「Across Hand横向牌⾯」与「Down Hand纵向牌⾯」的排⾏较⾼牌⾯来⽀付赔率。
- 所有的押注根据以下的⽀付列表来⽀付赔率。赢注的表⽰以「to one ⽐⼀」为基准。
Criss Cross Poker纵横交叉扑克 ⽀付列表
牌⾯ 进场注赔率 横向, 纵向 & 中央注 ⽀付赔率 同花⼤顺 1 500 同花顺 1 100 四条 1 40 葫芦 1 12 同花 1 8 顺⼦ 1 5 三条 1 3 两对 1 2 ⾼牌 (J-A) 1 1 低牌 (6-10) 0 0 所有其他 -1 -1 - 「Five Card Bonus五张牌红利」的边注是根据交叉排列的五张公牌⽽ 定、依照以下的⽀付赔率表。
Five Card Bonus五张牌红利 ⽀付列表
牌⾯ ⽀付赔率 同花⼤顺 250 同花顺 100 四条 40 葫芦 15 同花 10 顺⼦ 6 三条 4 两对 3 6点或更好对⼦ 1 输家 -1
分析
在两组可能的牌⾯、四种raise提⾼赌注的组合、加上在游戏的不同阶段 folding弃牌, 总共有975种可能的结果。我将它们全部的机率标⽰在我的 Criss Cross Poker纵横交叉扑克 Full Expected Value Table完整期望值列 表 专⻚中。不过, 我并不想在这⾥拿出偌⼤惊⼈的数据列表来吓跑你。反 之, 我在以下总结出每⼀种牌⾯的结果。
以下的列表显⽰「Ante Across横向进场注」与「Across Bet横向注」的可 能结果。其中的「PAYS⽀付赔率」栏位显⽰合并两种押注的总和。右下 ⽅的栏位显⽰出玩家在两种押注的期望输值为0.600581个单位。
Ante Across横向进场注 与 Across Bet横向注
| 牌⾯ | 横向注 | ⽀付赔率 | 排列组合总数 | 机率 | 回报率 |
|---|---|---|---|---|---|
| 同花⼤顺 | 3 | 1501 | 12,972 | 0.000000 | 0.000231 |
| 同花⼤顺 | 1 | 501 | 116,748 | 0.000001 | 0.000694 |
| 同花顺 | 3 | 301 | 25,944 | 0.000000 | 0.000093 |
| 同花顺 | 1 | 101 | 1,141,536 | 0.000014 | 0.001368 |
| 四条 | 3 | 121 | 12,167,736 | 0.000144 | 0.017468 |
| 四条 | 1 | 41 | 7,601,592 | 0.000090 | 0.003698 |
| 葫芦 | 3 | 37 | 48,800,664 | 0.000579 | 0.021423 |
| 葫芦 | 1 | 13 | 68,414,328 | 0.000812 | 0.010552 |
| 同花 | 3 | 25 | 2,101,464 | 0.000025 | 0.000623 |
| 同花 | 1 | 9 | 163,550,976 | 0.001940 | 0.017464 |
| 顺⼦ | 3 | 16 | 2,451,708 | 0.000029 | 0.000465 |
| 顺⼦ | 1 | 6 | 288,484,308 | 0.003423 | 0.020537 |
| 三条 | 3 | 10 | 538,234,224 | 0.006386 | 0.063859 |
| 三条 | 1 | 4 | 1,170,645,168 | 0.013889 | 0.055557 |
| 两对 | 3 | 7 | 811,632,096 | 0.009630 | 0.067408 |
| 两对 | 1 | 3 | 3,010,230,432 | 0.035715 | 0.107146 |
| ⾼牌对⼦ | 3 | 4 | 1,170,593,280 | 0.013889 | 0.055555 |
| ⾼牌对⼦ | 1 | 2 | 9,458,722,620 | 0.112224 | 0.224448 |
| 中牌对⼦ | 3 | 0 | 1,385,409,600 | 0.016437 | 0.000000 |
| 中牌对⼦ | 1 | 0 | 11,610,887,160 | 0.137759 | 0.000000 |
| 输家 | 3 | -4 | 1,240,719,912 | 0.014721 | -0.058883 |
| 输家 | 1 | -2 | 44,512,795,932 | 0.528127 | -1.056254 |
| 弃牌1个单位 | 0 | -1 | 4,576,521,600 | 0.054299 | -0.054299 |
| 弃牌2个单位 | 0 | -2 | 4,203,010,800 | 0.049867 | -0.099734 |
| 弃牌4个单位 | 0 | -4 | 0 | 0.000000 | 0.000000 |
| 总计 | 84,284,272,800 | 1.000000 | -0.600581 |
以下的列表显⽰「Ante Down纵向进场注」与「Down Bet纵向注」的可 能结果。其中的「PAYS⽀付赔率」栏位显⽰合并两种押注的总和。右下 ⽅的栏位显⽰出玩家在两种押注的期望输值为0.597666个单位。
Ante Down纵向进场注 与 Down Bet纵向注
| 牌⾯ | 纵向注 | ⽀付赔率 | 排列组合总数 | 机率 | 回报率 |
|---|---|---|---|---|---|
| 同花⼤顺 | 3 | 1501 | 45,792 | 0.000001 | 0.000815 |
| 同花⼤顺 | 1 | 501 | 83,928 | 0.000001 | 0.000499 |
| 同花顺 | 3 | 301 | 37,116 | 0.000000 | 0.000133 |
| 同花顺 | 1 | 101 | 1,118,700 | 0.000013 | 0.001341 |
| 四条 | 3 | 121 | 12,233,808 | 0.000145 | 0.017563 |
| 四条 | 1 | 41 | 7,485,048 | 0.000089 | 0.003641 |
| 葫芦 | 3 | 37 | 48,603,888 | 0.000577 | 0.021337 |
| 葫芦 | 1 | 13 | 68,156,856 | 0.000809 | 0.010513 |
| 同花 | 3 | 25 | 6,951,456 | 0.000082 | 0.002062 |
| 同花 | 1 | 9 | 157,641,288 | 0.001870 | 0.016833 |
| 顺⼦ | 3 | 16 | 4,780,980 | 0.000057 | 0.000908 |
| 顺⼦ | 1 | 6 | 285,297,516 | 0.003385 | 0.020310 |
| 三条 | 3 | 10 | 540,593,136 | 0.006414 | 0.064139 |
| 三条 | 1 | 4 | 1,160,967,816 | 0.013774 | 0.055098 |
| 两对 | 3 | 7 | 814,576,176 | 0.009665 | 0.067652 |
| 两对 | 1 | 3 | 2,988,662,184 | 0.035459 | 0.106378 |
| ⾼牌对⼦ | 3 | 4 | 1,336,724,496 | 0.015860 | 0.063439 |
| ⾼牌对⼦ | 1 | 2 | 9,281,584,656 | 0.110122 | 0.220245 |
| 中牌对⼦ | 3 | 0 | 1,417,841,568 | 0.016822 | 0.000000 |
| 中牌对⼦ | 1 | 0 | 11,550,329,616 | 0.137040 | 0.000000 |
| 输家 | 3 | -4 | 1,450,469,088 | 0.017209 | -0.068837 |
| 输家 | 1 | -2 | 44,370,555,288 | 0.526439 | -1.052879 |
| 弃牌1个单位 | 0 | -1 | 5,013,003,456 | 0.059477 | -0.059477 |
| 弃牌2个单位 | 0 | -2 | 3,766,528,944 | 0.044688 | -0.089377 |
| 弃牌4个单位 | 0 | -4 | 0 | 0.000000 | 0.000000 |
| 总计 | 84,284,272,800 | 1.000000 | -0.597666 |
以下的列表显⽰「Middle bet中央注」的可能结果。右下⽅的栏位显⽰出 玩家的期望赢值为1.111675个单位。
Middle Bet中央注
| 牌⾯ | 中央注 | ⽀付赔率 | 排列组合总数 | 机率 | 回报率 |
|---|---|---|---|---|---|
| 同花⼤顺 | 3 | 1500 | 259,440 | 0.000003 | 0.004617 |
| 同花⼤顺 | 1 | 500 | 0 | 0.000000 | 0.000000 |
| 同花顺 | 3 | 300 | 2,323,104 | 0.000028 | 0.008269 |
| 同花顺 | 1 | 100 | 0 | 0.000000 | 0.000000 |
| 四条 | 3 | 120 | 39,488,184 | 0.000469 | 0.056221 |
| 四条 | 1 | 40 | 0 | 0.000000 | 0.000000 |
| 葫芦 | 3 | 36 | 231,865,848 | 0.002751 | 0.099036 |
| 葫芦 | 1 | 12 | 0 | 0.000000 | 0.000000 |
| 同花 | 3 | 24 | 325,921,056 | 0.003867 | 0.092806 |
| 同花 | 1 | 8 | 0 | 0.000000 | 0.000000 |
| 顺⼦ | 3 | 15 | 375,011,412 | 0.004449 | 0.066740 |
| 顺⼦ | 1 | 5 | 199,154,268 | 0.002363 | 0.011814 |
| 三条 | 3 | 9 | 2,751,292,188 | 0.032643 | 0.293787 |
| 三条 | 1 | 3 | 399,927,564 | 0.004745 | 0.014235 |
| 两对 | 3 | 6 | 5,494,091,328 | 0.065185 | 0.391111 |
| 两对 | 1 | 2 | 1,329,787,368 | 0.015777 | 0.031555 |
| ⾼牌对⼦ | 3 | 3 | 11,485,872,240 | 0.136275 | 0.408826 |
| ⾼牌对⼦ | 1 | 1 | 4,170,202,716 | 0.049478 | 0.049478 |
| 中牌对⼦ | 3 | 0 | 12,309,204,636 | 0.146044 | 0.000000 |
| 中牌对⼦ | 1 | 0 | 4,837,617,228 | 0.057396 | 0.000000 |
| 输家 | 3 | -3 | 1,789,381,740 | 0.021230 | -0.063691 |
| 输家 | 1 | -1 | 29,763,340,080 | 0.353130 | -0.353130 |
| 弃牌 | 0 | 0 | 8,779,532,400 | 0.104166 | 0.000000 |
| 总计 | 84,284,272,800 | 1.000000 | 1.111675 |
下个列表总结所有三种押注群类的期望赢值。
总结
| 押注类别 | 期望赢值 |
|---|---|
| 横向进场注 & 横向注 | -0.600581 |
| 纵向进场注 & 纵向注 | -0.597666 |
| 中央注 | 1.111675 |
| 总计 | -0.086571 |
右下⽅的栏位显⽰其期望输值为0.086571个单位。因为玩家⾄少必须押注 两个单位, 我将这个数值除以⼆来得出house edge赌场优势为4.33%.
考量raise提⾼赌注的部分, 每⼿牌⾯最后的平均总押注值为5.86529个单 位。那么其element of risk危险元素、期望输值对⽐于总押注值的⽐率值, 为 8.6571/5.8629 = 1.48%, 这样的数值对于⼀种poker扑克的变体改版游 戏⽽⾔还算不错。
其standard deviation标准均⽅差、相对于合并的原初赌注, 为4.802.
策略
在所有的决策点当中, 唯⼀可实⾏的选项是 fold弃牌、最低1x倍的raise提 ⾼赌注、最⾼3x倍的raise提⾼赌注。提⾼赌注的倍数绝对不要在1x与3x 之间。
Across横向注的策略
- 如果两张hole cards洞牌没有同花⾊、没有成对、⽽且最⼤的牌为5点或 更⼩, 则fold弃牌不玩。
- 如果两张hole cards洞牌为同花⾊J/Q、或是任何对⼦, 则押注最⼤倍数 的raise提⾼赌注。
- 若是其他牌⾯的hole cards洞牌, 则押注最⼩倍数的raise提⾼赌注。
Down纵向注的策略
这个决策类似于Across横向注的策略。不过, 玩家此时可以多看到额外两 张牌的优势。这样对于含糊不清的状况会有所助益。我并没有暗⽰这会更 动Across横向注的策略。然⽽, 我可以说, ⽆论额外得知的两张牌是什么, 将会提⾼「Ante Down纵向进场注」的期望回报率达到0.29%、或是降低 0.15%的赌场优势。
Middle中央注的策略
在额外⻅过四张牌之后, Middle bet中央注的策略会有数千种可能的状况。 然⽽, 完美的决策可以根据剩下的所有可能46张牌组、在最低与最⾼倍数 的Middle bet中央注之下, 来决定平均的赢值。我可以说, 如果玩家押注了 3x倍的赌注、那他就不会fold弃牌。我也可以说, 在4.5%的时候, 玩家会在 Across横向注与Down纵向注押注了⼩倍数的赌注、接着却⼜在Middle bet中央注fold弃牌不玩。
Five Card Bonus五张牌红利 押注
以下列表显⽰「Five Card Bonus五张牌红利」押注的可能结果。右下⽅ 的栏位显⽰其赌场优势为3.53%, 这个数值对于⼀种side bet边注⽽⾔还算 不错。
Five Card Bonus五张牌红利 押注
| 牌⾯ | ⽀付赔率 | 排列组合总数 | 机率 | 回报率 |
|---|---|---|---|---|
| 同花⼤顺 | 250 | 4 | 0.000002 | 0.000385 |
| 同花顺 | 100 | 36 | 0.000014 | 0.001385 |
| 四条 | 40 | 624 | 0.000240 | 0.009604 |
| 葫芦 | 15 | 3,744 | 0.001441 | 0.021609 |
| 同花 | 10 | 5,108 | 0.001965 | 0.019654 |
| 顺⼦ | 6 | 10,200 | 0.003925 | 0.023548 |
| 三条 | 4 | 54,912 | 0.021128 | 0.084514 |
| 两对 | 3 | 123,552 | 0.047539 | 0.142617 |
| 6点或更好对⼦ | 1 | 760,320 | 0.292548 | 0.292548 |
| 输家 | -1 | 1,640,460 | 0.631199 | -0.631199 |
| 总计 | 2,598,960 | 1.000000 | -0.035336 |
⽅法
这个游戏是由我分析的、在C++递回运算透过 combin(52,2)*combin(50,2)*combin(48,2)*46 = 84,284,272,800种可能的 组合。这个程式包含了⼤约600条程式码、耗费⼤约六个⼩时去完成运 算。
内部连结
Full expected value table完整期望值列表 这个专⻚显⽰所有974种可能结 果的机率与回报率。