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火注
简介
火注（Fire Bet）是掷骰子游戏中一种很受欢迎的附加投注，赔率取决于掷骰者赢得的点数。我知道有三种赔率表，如下所示。每种赔率的赌场优势都列在表格的最下面一行。赔率表1是最常见的。赔率以“一比一”为基数。负一表示输。
火注赔率表
| 要点 | 支付表A | 支付表B | 支付表C |
|---|---|---|---|
| 6 | 999 | 2000 | 299 |
| 5 | 249 | 200 | 149 |
| 4 | 24 | 10 | 二十九 |
| 3 | -1 | -1 | 6 |
| 2 | -1 | -1 | -1 |
| 1 | -1 | -1 | -1 |
| 0 | -1 | -1 | -1 |
| 庄家优势 | 20.76% | 24.86% | 20.73% |
以下是我对赔率表 A 的分析。右下角单元格显示庄家优势为 20.76%。
火注 — 赔率表 A
| 要点 | 支付 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|
| 0 | -1 | 0.593939 | -0.593939 |
| 1 | -1 | 0.260750 | -0.26075 |
| 2 | -1 | 0.101275 | -0.101275 |
| 3 | -1 | 0.033434 | -0.033434 |
| 4 | 24 | 0.008798 | 0.211156 |
| 5 | 249 | 0.001640 | 0.408343 |
| 6 | 999 | 0.000162 | 0.162272 |
| 全部的 | 1 | -0.207628 |
以下是我对赔率表 B 的分析。右下角单元格显示庄家优势为 24.86%。
火注 — 赔率表 B
| 要点 | 支付 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|
| 0 | -1 | 0.593939 | -0.593939 |
| 1 | -1 | 0.260750 | -0.26075 |
| 2 | -1 | 0.101275 | -0.101275 |
| 3 | -1 | 0.033434 | -0.033434 |
| 4 | 10 | 0.008798 | 0.087982 |
| 5 | 200 | 0.001640 | 0.327987 |
| 6 | 2000 | 0.000162 | 0.324869 |
| 全部的 | 1 | -0.248562 |
以下是我对赔付表 C 的分析。右下角单元格显示庄家优势为 20.73%。
火注 — 赔率表 C
| 要点 | 支付 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|
| 0 | -1 | 0.593939 | -0.593939 |
| 1 | -1 | 0.260750 | -0.26075 |
| 2 | -1 | 0.101275 | -0.101275 |
| 3 | 6 | 0.033434 | 0.200605 |
| 4 | 二十九 | 0.008798 | 0.255147 |
| 5 | 149 | 0.001640 | 0.244350 |
| 6 | 299 | 0.000162 | 0.048568 |
| 全部的 | 1 | -0.207295 |
下表显示了得分为 0 到 6 分的概率，其中的有效数字个数为 Excel 可以处理的数。
火投注概率
| 要点 | 可能性 |
|---|---|
| 0 | 0.593939393939394 |
| 1 | 0.260750492003903 |
| 2 | 0.101275355549231 |
| 3 | 0.0334342121788456 |
| 4 | 0.00879817844040312 |
| 5 | 0.00163993313895325 |
| 6 | 0.000162434749269826 |
我经常被问到如何计算上述概率。这是一个很有挑战性的数学问题。下面，我列出了三种方法来计算从0到6任意点数的概率。
随机模拟
随机模拟是分析Fire Bet最简单的方法。凭借现代计算机的速度，它也极其精确。只有最纯粹的数学家（比如我）才会追求精确的解决方案。下表显示了根据赔付表A结算的近400亿个Fire Bet的模拟结果。右下角单元格显示赌场优势为20.7531%。实际赌场优势为20.7628%，因此模拟结果的精确度达到了0.01%。
模拟投注
| 要点 | 支付 | 胜利 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|
| 6 | 999 | 6,452,452 | 0.000162 | 0.162257 |
| 5 | 249 | 65,165,019 | 0.001640 | 0.408438 |
| 4 | 24 | 349,553,690 | 0.008799 | 0.211173 |
| 3 | -1 | 1,328,267,592 | 0.033435 | -0.033435 |
| 2 | -1 | 4,023,371,732 | 0.101275 | -0.101275 |
| 1 | -1 | 10,358,742,102 | 0.260747 | -0.260747 |
| 0 | -1 | 23,595,605,529 | 0.593941 | -0.593941 |
| 全部的 | 39,727,158,116 | 1.000000 | -0.207531 |
马尔可夫链
精确计算“火注”赔率的方法是使用马尔可夫链。这意味着，给定已完成的64种可能点数状态中的任意一种，计算未来完成任意点数的概率。最后阶段的数学计算相当简单，只需再完成一个点数即可完成所有六个点数。然后，回到第一次掷骰子的起始状态。
第一个状态表示为表格中的第一行（不包括列标题）。它显示了完成 0 到 6 之间任意点数的概率。
火注马尔可夫链
| 积分 已经 制成 | 可能性 0 分 | 可能性 1 分 | 可能性 2 分 | 可能性 3 分 | 可能性 4 分 | 可能性 5 分 | 可能性 6 分 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 没有任何 | 0.593939 | 0.260750 | 0.101275 | 0.033434 | 0.008798 | 0.001640 | 0.000162 |
| 10 | 0.000000 | 0.619763 | 0.256759 | 0.091331 | 0.026183 | 0.005375 | 0.000589 |
| 9 | 0.000000 | 0.636364 | 0.252138 | 0.084540 | 0.022402 | 0.004153 | 0.000404 |
| 9,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.666100 | 0.244772 | 0.072316 | 0.015152 | 0.001660 |
| 8 | 0.000000 | 0.656067 | 0.244255 | 0.076831 | 0.019163 | 0.003370 | 0.000314 |
| 8,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.687719 | 0.234612 | 0.063990 | 0.012405 | 0.001274 |
| 8,9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.708220 | 0.225365 | 0.055933 | 0.009618 | 0.000864 |
| 8,9,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.745247 | 0.209635 | 0.041004 | 0.004114 |
| 6 | 0.000000 | 0.656067 | 0.244255 | 0.076831 | 0.019163 | 0.003370 | 0.000314 |
| 6,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.687719 | 0.234612 | 0.063990 | 0.012405 | 0.001274 |
| 6,9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.708220 | 0.225365 | 0.055933 | 0.009618 | 0.000864 |
| 6,9,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.745247 | 0.209635 | 0.041004 | 0.004114 |
| 6,8 | 0.000000 | 0.000000 | 0.732710 | 0.210728 | 0.048135 | 0.007762 | 0.000665 |
| 6,8,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.772414 | 0.190903 | 0.033563 | 0.003120 |
| 6,8,9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.798371 | 0.173323 | 0.026215 | 0.002091 |
| 6,8,9,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.845739 | 0.142050 | 0.012211 |
| 5 | 0.000000 | 0.636364 | 0.252138 | 0.084540 | 0.022402 | 0.004153 | 0.000404 |
| 5,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.666100 | 0.244772 | 0.072316 | 0.015152 | 0.001660 |
| 5,9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.685315 | 0.237358 | 0.064328 | 0.011875 | 0.001124 |
| 5,9,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.719927 | 0.224997 | 0.049645 | 0.005432 |
| 5,8 | 0.000000 | 0.000000 | 0.708220 | 0.225365 | 0.055933 | 0.009618 | 0.000864 |
| 5,8,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.745247 | 0.209635 | 0.041004 | 0.004114 |
| 5,8,9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.769382 | 0.195368 | 0.032496 | 0.002754 |
| 5,8,9,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.813278 | 0.170376 | 0.016346 |
| 5,6 | 0.000000 | 0.000000 | 0.708220 | 0.225365 | 0.055933 | 0.009618 | 0.000864 |
| 5,6,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.745247 | 0.209635 | 0.041004 | 0.004114 |
| 5,6,9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.769382 | 0.195368 | 0.032496 | 0.002754 |
| 5,6,9,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.813278 | 0.170376 | 0.016346 |
| 5,6,8 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.798371 | 0.173323 | 0.026215 | 0.002091 |
| 5,6,8,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.845739 | 0.142050 | 0.012211 |
| 5,6,8,9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.876957 | 0.114977 | 0.008066 |
| 5,6,8,9,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.934446 | 0.065554 |
| 4 | 0.000000 | 0.619763 | 0.256759 | 0.091331 | 0.026183 | 0.005375 | 0.000589 |
| 4,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.647934 | 0.250930 | 0.079930 | 0.018752 | 0.002454 |
| 4,9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.666100 | 0.244772 | 0.072316 | 0.015152 | 0.001660 |
| 4,9,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.698752 | 0.234682 | 0.058434 | 0.008131 |
| 4,8 | 0.000000 | 0.000000 | 0.687719 | 0.234612 | 0.063990 | 0.012405 | 0.001274 |
| 4,8,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.722581 | 0.221643 | 0.049624 | 0.006153 |
| 4,8,9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.745247 | 0.209635 | 0.041004 | 0.004114 |
| 4,8,9,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.786359 | 0.188851 | 0.024790 |
| 4,6 | 0.000000 | 0.000000 | 0.687719 | 0.234612 | 0.063990 | 0.012405 | 0.001274 |
| 4,6,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.722581 | 0.221643 | 0.049624 | 0.006153 |
| 4,6,9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.745247 | 0.209635 | 0.041004 | 0.004114 |
| 4,6,9,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.786359 | 0.188851 | 0.024790 |
| 4,6,8 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.772414 | 0.190903 | 0.033563 | 0.003120 |
| 4,6,8,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.816667 | 0.164832 | 0.018502 |
| 4,6,8,9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.845739 | 0.142050 | 0.012211 |
| 4,6,8,9,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.899083 | 0.100917 |
| 4,5 | 0.000000 | 0.000000 | 0.666100 | 0.244772 | 0.072316 | 0.015152 | 0.001660 |
| 4,5,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.698752 | 0.234682 | 0.058434 | 0.008131 |
| 4,5,9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.719927 | 0.224997 | 0.049645 | 0.005432 |
| 4,5,9,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.758221 | 0.208531 | 0.033248 |
| 4,5,8 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.745247 | 0.209635 | 0.041004 | 0.004114 |
| 4,5,8,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.786359 | 0.188851 | 0.024790 |
| 4,5,8,9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.813278 | 0.170376 | 0.016346 |
| 4,5,8,9,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.862486 | 0.137514 |
| 4,5,6 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.745247 | 0.209635 | 0.041004 | 0.004114 |
| 4,5,6,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.786359 | 0.188851 | 0.024790 |
| 4,5,6,9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.813278 | 0.170376 | 0.016346 |
| 4,5,6,9,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.862486 | 0.137514 |
| 4,5,6,8 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.845739 | 0.142050 | 0.012211 |
| 4,5,6,8,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.899083 | 0.100917 |
| 4,5,6,8,9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.934446 | 0.065554 |
| 4,5,6,8,9,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 1.000000 |
如果您打算尝试重现我的工作，这里有一些关于如何从一个状态过渡到另一个状态的建议。从接近尾声的状态开始，在这些状态下，投手已经得到5分。例如，如果投手只需要4分，那么可能会发生三种情况：(1) 他确定并得到4分；(2) 他确定并得到他已经得到的一个分；(3) 他得到7分。(1) 的概率为 (3/24)*(1/3) = 1/24 = 0.041667。(2) 的概率为 (4/24)*(2/5) + (5/24)*(5/11) + (5/24)*(5/11) + (4/24)*(2/5) + (3/24)*(1/3) = 0.364394。 (3) 的概率是 1 - 0.041667 - 0.364394 = 0.593939。最终事件 (1) 或 (3) 都会发生。(1) 先于 (3) 发生的概率是 0.041667/(0.041667+0.593939) = 0.065554。递归地回到起点。这要么耗时、冗长、枯燥，要么你可以在电子表格中以自动化的方式完成。
结石
该方法的第一步是计算在确定点数后，过线投注所有7种可能相关结果的概率。我们可以忽略玩家在“come out”掷骰中立即获胜或输掉的12种组合（即1/3的概率），因为这些事件对Fire Bet投注来说并不重要。因此，第一次掷骰基于24种可能的组合，而不是36种。
- 得分 4 分并获胜 = (3/24) × (3/9) = 1/24 = 约 4.17%
- 赢得 5 分 = (4/24) × (4/10) = 1/15 = 约 6.67%
- 6分得分并获胜=（5/24）×（5/11）= 25/264 = 约9.47%
- 8分得分并获胜=（5/24）×（5/11）= 25/264 = 约9.47%
- 得分 9 分并获胜 = (4/24) × (4/10) = 1/15 = 约 6.67%
- 赢得 10 分 = (3/24) × (3/9) = 1/24 = 约 4.17%
- 任何得分且 7 出局 = 2×((3/24) × (6/9))+ 2× ((4/24) × (6/10)) + 2×((5/24) × (6/11)) = 98/165 = 约 59.39%
请注意，这些概率的总和等于 1。
接下来，Fire Bet 的投注结果并非由两次掷骰子决定，而是考虑事件发生间隔的随机性，事件间隔服从指数分布，平均间隔时间为一个单位时间。如果某个事件确实发生，该事件将遵循我们刚刚计算的掷骰子概率。
例如，点数为4的胜利概率为1/24。因此，点数为4的胜利之间的时间间隔平均为24个单位。在x个单位的时间内没有点数为10的胜利的概率为exp(-x/24)。顺便提一句，在x个单位的时间内至少有一次点数为10的胜利的概率为1-exp(-x/24)。
判定“火注”投注结果时，事件间隔多久并不重要，重要的是事件本身。因此，我们可以将整个投注时间的积分结果整合如下：
让我解释一下这个积分的含义。它指的是在 x 个单位时间内，除 7 点外，所有点数至少有一次获胜的概率。由于 4 点和 10 点获胜的概率相同，我们可以将 4 点获胜的概率平方。5 点和 9 点，以及 6 点和 8 点的概率也一样。最后，我们将整数乘以 98/165（即七点出局的概率），以结束投注。如果我们不这样做，玩家可能会因多次重叠获胜而获得赔付。
手动积分非常繁琐，而且容易出错。幸运的是，现在有积分计算器。要使用积分计算器来解决这个问题，请点击链接，并在顶部的文本框中输入以下内容：(1-exp(-x/24))^2*(1-exp(-x/15))^2*(1-exp(-25x/264))^2*exp(-98x/165)/(165/98)。然后点击“选项”，将下限设置为 0，上限设置为无穷大。然后点击“开始”。
在考虑积分界限之前，答案是 (98*(-(165*e^(-(98*x)/165))/98+(2640*e^(-(839*x)/1320))/839+(330*e^(-(109*x)/165))/109-(220*e^(-(149*x)/220))/149+(880*e^(-(303*x)/440))/303-(1760*e^(-(309*x)/440))/309-(11* e^(-(8*x)/11))/8-(1320*e^(-(241*x)/330))/241+(1320*e^(-(491*x)/660))/491-(5280*e^(-(99) 7*x)/1320))/997+(528*e^(-(203*x)/264))/203+(2640*e^(-(1019*x)/1320))/1019-(60*e^(-(47*x) )/60))/47+(2640*e^(-(263*x)/330))/263-(132*e^(-(107*x)/132))/107+(528*e^(-(217*x)/264) )/217+(80*e^(-(33*x)/40))/33-(1760*e^(-(369*x)/440))/369+(40*e^(-(17*x)/20))/17-(88*e^( -(19*x)/22))/19-(15*e^(-(13*x)/15))/13-(480*e^(-(107*x)/120))/107+(528*e^(-(239*x)/264) )/239-(12*e^(-(11*x)/12))/11+(15*e^(-(14*x)/15))/7+(48*e^(-(23*x)/24))/23-e^(-x)))/165。
幸运的是，该计算器确实允许积分界限，并给出解决方案为 3700403899126040038831518494284887738125 / 22780863797678919004236184338193605974839452，约等于 0.0001624347492698264。
当然，这只是命中全部六个点的概率，但同样的逻辑可以用来计算任意数量的点的概率。这个就留给读者练习吧 ;-)。
外部链接
- 在我的同伴网站Wizard of Vegas上讨论了 Fire Bet 数学
- 请参阅我自己的电子表格，我将其发布在 GoogleDocs 上，供任何人下载。
- Stwart N. Ethier 所著的《机会主义：赌博的概率方面》对 Fire Bet 数学进行了讨论。
致谢
我要感谢维加斯巫师论坛成员 Ace2 对我使用积分解决 Fire Bet 概率问题的不懈建议。