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火注
简介
火注（Fire Bet）是掷骰子游戏中一种流行的附加投注，其赔付金额取决于掷骰者获得的点数。我知道有三种火注赔付表，如下所示。每张赔付表的底行都标明了庄家优势。赔付表 1 最为常见。赔付以“1 比 1”表示。负 1 表示输。
火注赔率表
| 提出的观点 | 薪资表 A | 薪资表 B | 薪资表 C |
|---|---|---|---|
| 6 | 999 | 2000 | 299 |
| 5 | 249 | 200 | 149 |
| 4 | 24 | 10 | 29 |
| 3 | -1 | -1 | 6 |
| 2 | -1 | -1 | -1 |
| 1 | -1 | -1 | -1 |
| 0 | -1 | -1 | -1 |
| 庄家优势 | 20.76% | 24.86% | 20.73% |
以下是我对赔率表 A 的分析。右下角单元格显示庄家优势为 20.76%。
火之赌注 — 赔率表 A
| 提出的观点 | 支付 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|
| 0 | -1 | 0.593939 | -0.593939 |
| 1 | -1 | 0.260750 | -0.26075 |
| 2 | -1 | 0.101275 | -0.101275 |
| 3 | -1 | 0.033434 | -0.033434 |
| 4 | 24 | 0.008798 | 0.211156 |
| 5 | 249 | 0.001640 | 0.408343 |
| 6 | 999 | 0.000162 | 0.162272 |
| 全部的 | 1 | -0.207628 |
以下是我对赔率表 B 的分析。右下角单元格显示庄家优势为 24.86%。
火注 — 赔率表 B
| 提出的观点 | 支付 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|
| 0 | -1 | 0.593939 | -0.593939 |
| 1 | -1 | 0.260750 | -0.26075 |
| 2 | -1 | 0.101275 | -0.101275 |
| 3 | -1 | 0.033434 | -0.033434 |
| 4 | 10 | 0.008798 | 0.087982 |
| 5 | 200 | 0.001640 | 0.327987 |
| 6 | 2000 | 0.000162 | 0.324869 |
| 全部的 | 1 | -0.248562 |
以下是我对赔率表 C 的分析。右下角单元格显示庄家优势为 20.73%。
火注 — 赔率表 C
| 提出的观点 | 支付 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|
| 0 | -1 | 0.593939 | -0.593939 |
| 1 | -1 | 0.260750 | -0.26075 |
| 2 | -1 | 0.101275 | -0.101275 |
| 3 | 6 | 0.033434 | 0.200605 |
| 4 | 29 | 0.008798 | 0.255147 |
| 5 | 149 | 0.001640 | 0.244350 |
| 6 | 299 | 0.000162 | 0.048568 |
| 全部的 | 1 | -0.207295 |
下表显示了获得 0 到 6 分的概率，有效数字位数以 Excel 能够处理的数量为准。
火注概率
| 提出的观点 | 可能性 |
|---|---|
| 0 | 0.593939393939394 |
| 1 | 0.260750492003903 |
| 2 | 0.101275355549231 |
| 3 | 0.0334342121788456 |
| 4 | 0.00879817844040312 |
| 5 | 0.00163993313895325 |
| 6 | 0.000162434749269826 |
我经常被问到如何计算上述概率。这的确是一个颇具挑战性的数学问题。下面，我列出了三种计算得0到6分之间任意分数的概率的方法。
随机模拟
随机模拟是分析“火注”最简便的方法。凭借现代计算机的运算速度，它也极其精确。只有像我这样的数学纯粹主义者才会追求精确解。下表显示了根据赔率表 A 计算的近 400 亿次“火注”模拟结果。右下角单元格显示赌场优势为 20.7531%。实际赌场优势为 20.7628%，因此模拟结果的误差在 0.01% 以内。
火灾投注模拟
| 提出的观点 | 支付 | 胜利 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|
| 6 | 999 | 6,452,452 | 0.000162 | 0.162257 |
| 5 | 249 | 65,165,019 | 0.001640 | 0.408438 |
| 4 | 24 | 349,553,690 | 0.008799 | 0.211173 |
| 3 | -1 | 1,328,267,592 | 0.033435 | -0.033435 |
| 2 | -1 | 4,023,371,732 | 0.101275 | -0.101275 |
| 1 | -1 | 10,358,742,102 | 0.260747 | -0.260747 |
| 0 | -1 | 23,595,605,529 | 0.593941 | -0.593941 |
| 全部的 | 39,727,158,116 | 1.000000 | -0.207531 |
马尔可夫链
要精确计算“火之赌注”的概率，可以使用马尔可夫链。这意味着要计算在已知 64 种已完成分数的情况下，完成任意未来分数的概率。计算过程在最后阶段相当简单，只需再得一分即可完成全部六分。然后，再逐步推算到第一次掷骰的初始状态。
表格的第一行（不包括列标题）代表第一种状态。它显示了完成 0 到 6 个任意数量的分数时，上述概率的对应关系。
火赌注马尔可夫链
| 积分 已经 制成 | 可能性 0 分 | 可能性 1 分 | 可能性 2 分 | 可能性 3 分 | 可能性 4 分 | 可能性 5 分 | 可能性 6 分 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 没有任何 | 0.593939 | 0.260750 | 0.101275 | 0.033434 | 0.008798 | 0.001640 | 0.000162 |
| 10 | 0.000000 | 0.619763 | 0.256759 | 0.091331 | 0.026183 | 0.005375 | 0.000589 |
| 9 | 0.000000 | 0.636364 | 0.252138 | 0.084540 | 0.022402 | 0.004153 | 0.000404 |
| 9,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.666100 | 0.244772 | 0.072316 | 0.015152 | 0.001660 |
| 8 | 0.000000 | 0.656067 | 0.244255 | 0.076831 | 0.019163 | 0.003370 | 0.000314 |
| 8,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.687719 | 0.234612 | 0.063990 | 0.012405 | 0.001274 |
| 8,9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.708220 | 0.225365 | 0.055933 | 0.009618 | 0.000864 |
| 8、9、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.745247 | 0.209635 | 0.041004 | 0.004114 |
| 6 | 0.000000 | 0.656067 | 0.244255 | 0.076831 | 0.019163 | 0.003370 | 0.000314 |
| 6,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.687719 | 0.234612 | 0.063990 | 0.012405 | 0.001274 |
| 6,9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.708220 | 0.225365 | 0.055933 | 0.009618 | 0.000864 |
| 6、9、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.745247 | 0.209635 | 0.041004 | 0.004114 |
| 6,8 | 0.000000 | 0.000000 | 0.732710 | 0.210728 | 0.048135 | 0.007762 | 0.000665 |
| 6、8、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.772414 | 0.190903 | 0.033563 | 0.003120 |
| 6、8、9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.798371 | 0.173323 | 0.026215 | 0.002091 |
| 6、8、9、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.845739 | 0.142050 | 0.012211 |
| 5 | 0.000000 | 0.636364 | 0.252138 | 0.084540 | 0.022402 | 0.004153 | 0.000404 |
| 5,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.666100 | 0.244772 | 0.072316 | 0.015152 | 0.001660 |
| 5,9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.685315 | 0.237358 | 0.064328 | 0.011875 | 0.001124 |
| 5、9、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.719927 | 0.224997 | 0.049645 | 0.005432 |
| 5.8 | 0.000000 | 0.000000 | 0.708220 | 0.225365 | 0.055933 | 0.009618 | 0.000864 |
| 5、8、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.745247 | 0.209635 | 0.041004 | 0.004114 |
| 5,8,9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.769382 | 0.195368 | 0.032496 | 0.002754 |
| 5、8、9、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.813278 | 0.170376 | 0.016346 |
| 5,6 | 0.000000 | 0.000000 | 0.708220 | 0.225365 | 0.055933 | 0.009618 | 0.000864 |
| 5、6、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.745247 | 0.209635 | 0.041004 | 0.004114 |
| 5,6,9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.769382 | 0.195368 | 0.032496 | 0.002754 |
| 5、6、9、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.813278 | 0.170376 | 0.016346 |
| 5、6、8 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.798371 | 0.173323 | 0.026215 | 0.002091 |
| 5、6、8、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.845739 | 0.142050 | 0.012211 |
| 5、6、8、9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.876957 | 0.114977 | 0.008066 |
| 5、6、8、9、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.934446 | 0.065554 |
| 4 | 0.000000 | 0.619763 | 0.256759 | 0.091331 | 0.026183 | 0.005375 | 0.000589 |
| 4,10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.647934 | 0.250930 | 0.079930 | 0.018752 | 0.002454 |
| 4,9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.666100 | 0.244772 | 0.072316 | 0.015152 | 0.001660 |
| 4、9、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.698752 | 0.234682 | 0.058434 | 0.008131 |
| 4.8 | 0.000000 | 0.000000 | 0.687719 | 0.234612 | 0.063990 | 0.012405 | 0.001274 |
| 4、8、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.722581 | 0.221643 | 0.049624 | 0.006153 |
| 4,8,9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.745247 | 0.209635 | 0.041004 | 0.004114 |
| 4、8、9、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.786359 | 0.188851 | 0.024790 |
| 4.6 | 0.000000 | 0.000000 | 0.687719 | 0.234612 | 0.063990 | 0.012405 | 0.001274 |
| 4、6、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.722581 | 0.221643 | 0.049624 | 0.006153 |
| 4,6,9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.745247 | 0.209635 | 0.041004 | 0.004114 |
| 4、6、9、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.786359 | 0.188851 | 0.024790 |
| 4,6,8 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.772414 | 0.190903 | 0.033563 | 0.003120 |
| 4、6、8、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.816667 | 0.164832 | 0.018502 |
| 4、6、8、9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.845739 | 0.142050 | 0.012211 |
| 4、6、8、9、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.899083 | 0.100917 |
| 4.5 | 0.000000 | 0.000000 | 0.666100 | 0.244772 | 0.072316 | 0.015152 | 0.001660 |
| 4、5、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.698752 | 0.234682 | 0.058434 | 0.008131 |
| 4,5,9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.719927 | 0.224997 | 0.049645 | 0.005432 |
| 4、5、9、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.758221 | 0.208531 | 0.033248 |
| 4、5、8 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.745247 | 0.209635 | 0.041004 | 0.004114 |
| 4、5、8、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.786359 | 0.188851 | 0.024790 |
| 4、5、8、9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.813278 | 0.170376 | 0.016346 |
| 4、5、8、9、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.862486 | 0.137514 |
| 4、5、6 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.745247 | 0.209635 | 0.041004 | 0.004114 |
| 4、5、6、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.786359 | 0.188851 | 0.024790 |
| 4、5、6、9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.813278 | 0.170376 | 0.016346 |
| 4、5、6、9、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.862486 | 0.137514 |
| 4、5、6、8 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.845739 | 0.142050 | 0.012211 |
| 4、5、6、8、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.899083 | 0.100917 |
| 4、5、6、8、9 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.934446 | 0.065554 |
| 4、5、6、8、9、10 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 1.000000 |
如果您打算尝试复现我的工作，以下是一些关于如何从一个状态过渡到另一个状态的建议。从接近结束的状态开始，也就是投掷者已经获得 5 分的状态。例如，如果投掷者只需要 4 分，那么可能会发生三种情况：（1）他投中并获得了 4 分；（2）他投中并获得了他已经获得过的一个分数；（3）他投中了 7 分。情况 (1) 的概率为 (3/24)*(1/3) = 1/24 = 0.041667。情况 (2) 的概率为 (4/24)*(2/5) + (5/24)*(5/11) + (5/24)*(5/11) + (4/24)*(2/5) + (3/24)*(1/3) = 0.364394。事件 (3) 发生的概率为 1 - 0.041667 - 0.364394 = 0.593939。最终事件 (1) 或 (3) 会发生。事件 (1) 先于事件 (3) 发生的概率为 0.041667 / (0.041667 + 0.593939) = 0.065554。递归地推导至起点。这要么耗时、重复且枯燥，要么你可以使用电子表格自动完成。
结石
该方法的第一步是计算点数确定后，过线投注所有7种可能结果的概率。我们可以忽略玩家在开局掷骰中立即获胜或失败的12种组合（即1/3的概率），因为这些事件对火线投注并不重要。因此，第一次掷骰基于24种可能的组合，而不是36种。
- 得4分并获胜 = (3/24) × (3/9) = 1/24 ≈ 4.17%
- 5分中获胜的1分 = (4/24) × (4/10) = 1/15 ≈ 6.67%
- 6分得分并获胜 = (5/24) × (5/11) = 25/264 ≈ 9.47%
- 8分中得分并获胜 = (5/24) × (5/11) = 25/264 ≈ 9.47%
- 9分中得分并获胜 = (4/24) × (4/10) = 1/15 ≈ 6.67%
- 10分中得分并获胜的概率 = (3/24) × (3/9) = 1/24 ≈ 4.17%
- 任何得分和7出局 = 2×((3/24) × (6/9))+ 2× ((4/24) × (6/10)) + 2×((5/24) × (6/11)) = 98/165 ≈ 59.39%
请注意，这些概率之和等于 1。
接下来，我们不再让“火注”由每次掷一次两颗骰子来决定，而是假设事件之间的时间间隔是随机的，服从均值为1的指数分布。如果某个事件发生，那么该事件的发生概率将遵循我们刚才计算的掷骰子概率。
例如，0.4 胜的概率是 1/24。因此，两次 0.4 胜之间的平均时间间隔为 24 个单位。连续 x 个单位时间没有 0.10 胜的概率是 exp(-x/24)。反过来，在 x 个单位时间内至少取得一次 0.10 胜的概率是 1-exp(-x/24)。
判定“火之赌局”胜负时，事件之间的时间间隔并不重要，重要的是事件本身。因此，我们可以按如下方式对所有事件进行积分，从而得出最终的胜负结果：
让我解释一下这个积分的含义。它表示经过 x 个时间单位后，除 7 点以外，其他点数至少出现过一次的概率。由于 0.4 和 0.10 的概率相同，我们可以将 0.4 的概率平方。5 和 9、6 和 8 的情况也类似。最后，我们将整个结果乘以 98/165（即出现 7 点的概率），从而结束投注。如果我们不这样做，玩家可能会因为多次重叠的获胜而获得赔付。
手动计算这个积分非常繁琐且容易出错。幸运的是，有积分计算器可以使用。要使用积分计算器解决这个问题，请点击链接，并在顶部的文本框中输入以下内容：(1-exp(-x/24))^2*(1-exp(-x/15))^2*(1-exp(-25x/264))^2*exp(-98x/165)/(165/98)。然后点击“选项”，将下限设置为 0，上限设置为无穷大。最后点击“计算”。
在考虑积分限之前，答案是 (98*(-(165*e^(-(98*x)/165))/98+(2640*e^(-(839*x)/1320))/839+(330*e^(-(109*x)/165))/109-(220*e^(-(149*x)/220))/149+(880*e^(-(303*x)/440))/303-(1760*e^(-(309*x)/440))/309-(11* e^(-(8*x)/11))/8-(1320*e^(-(241*x)/330))/241+(1320*e^(-(491*x)/660))/491-(5280*e^(-(99) 7*x)/1320))/997+(528*e^(-(203*x)/264))/203+(2640*e^(-(1019*x)/1320))/1019-(60*e^(-(47*x) )/60))/47+(2640*e^(-(263*x)/330))/263-(132*e^(-(107*x)/132))/107+(528*e^(-(217*x)/264) )/217+(80*e^(-(33*x)/40))/33-(1760*e^(-(369*x)/440))/369+(40*e^(-(17*x)/20))/17-(88*e^( -(19*x)/22))/19-(15*e^(-(13*x)/15))/13-(480*e^(-(107*x)/120))/107+(528*e^(-(239*x)/264) )/239-(12*e^(-(11*x)/12))/11+(15*e^(-(14*x)/15))/7+(48*e^(-(23*x)/24))/23-e^(-x)))/165。
幸运的是，该计算器允许积分边界，并给出了 3700403899126040038831518494284887738125 / 22780863797678919004236184338193605974839452 的解，这大约等于 0.0001624347492698264。
当然，这只是全部六分的概率，但同样的逻辑也可以用来计算任意分数的概率。这留给读者作为练习吧 ;-)。
外部链接
- 关于火注数学的讨论，请访问我的姊妹网站Wizard of Vegas。
- 请查看我自己的电子表格，我已将其发布在 Google Docs 上，供任何人下载。
- 《机会论：赌博的概率方面》 （作者：Stwart N. Ethier）一书中讨论了火注数学。
致谢
我要感谢 Wizard of Vegas 论坛成员 Ace2，感谢他孜孜不倦地指导我使用积分法求解火注的概率。