宾果概率：Station Casinos 巨额累积奖金分析

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自从我写了第一份报告后，Station 的赌场显然又改变了赔率和双数的分配，大概是在十月份的某个时候。下表显示了我最近拿到的牌以及另一张我暂且称之为“L”的牌的分配情况。

虽然赔率范围保持不变，但概率现在严重偏向14，而不是之前的更均匀分布。赔率越高，赢得累积奖金就越难。基于此样本，如果您想要获得正的预期值，我现在建议等到巨球达到54。

下表将我的总样本与相同样本大小下的预期总数进行比较，并假设采用 Stephen L. Cavallaro（Station Casinos 执行副总裁兼首席运营官）之前向我解释的相同抽牌方法，假设每个总数的概率相同。

显而易见，我的结果与预期不符。对该分布的偏度与预期进行比较的统计检验结果显示，卡方统计量为 330.71，自由度为 5。出现如此或更大偏度结果的概率为 402,433,741,048,496,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000。换个角度来看，连续八次中强力球的概率更大。

为了进一步论证抽牌方式确实发生了变化，下表展示了我所谓的更改前后的样本结果。样本1采集于8月，样本2采集于10月30日和11月1日。

下图比较了上表中两个概率列与预期概率的关系。

这表明，尽管样本1与预期结果不太吻合，但偏差仍有可能是由于样本倾斜造成的（这种概率为4844分之一）。然而，新的样本无疑既不符合预期，也不符合旧样本。

我向Station Casinos管理层咨询了新牌的抽奖方式，他们说抽牌方式没有任何变化。他们对我提出的相反证据没有做出任何评论，并且由于我的“负面报道”，拒绝了进一步的合作。

注：“迈克的样本”于11月1日下午3点在日落站采集。“L的样本”于10月30日上午9点和11点在博尔德站采集。

以下是我的初步研究，但现在已经过时了。

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以下是我的证据，证明以下拉斯维加斯赌场出售的累积宾果卡并非完全随机创建。

• 皇宫站
• 圣达菲站
• 德克萨斯站
• 博尔德站
• 日落站
• 嘉年华牧场
• 嘉年华亨德森
• 山姆小镇

拉斯维加斯的Station赌场运营着一款名为“巨无霸宾果”（Jumbo Bingo）的连线宾果累积奖金游戏。累积奖金的起步价为10万美元。玩家必须在47次叫牌中全中（即卡牌上所有24个号码全部覆盖）才能中奖。如果第一周五家宾果店中无人中奖，则累积奖金（称为巨无霸球）的叫牌次数将增加一次，达到48次。同样，巨无霸球的叫牌次数也会每周增加一次，直到有人中奖为止。

显然，为了节省时间，前37个被叫出的数字都是2到74之间的偶数。巨型宾果卡上预先标记了所有偶数，非常方便。游戏开始时，主持人会询问是否有人凭借全是偶数的卡牌获胜。然后，在无人认领中奖卡后，主持人将随机抽取球，不考虑偶数球。如果在巨型球被叫出时无人获得连体衣，则在52次叫牌后，将获得5000美元的安慰奖，奖品是连体衣。如果没有人认领，则无论叫牌次数多少，第一个获得连体衣的人都将获得1199美元的奖金。与宾果游戏一样，如果多名玩家同时获胜，奖金将平分。

Fiesta 赌场也有类似的游戏，只是规模较小。累积奖金起奖金额为 25,000 美元，安慰奖金额较小。所有双数号码都提前叫出。Sam's Town 赌场则相反，奇数号码提前叫出。

下表显示了公平牌中，根据牌上奇数总数的概率分布。我对公平牌的定义是，5 个“B”数字从 1 到 15 中随机选择，5 个“I”数字从 16 到 30 中随机选择，以此类推。另一种实现相同结果的方法是，从 1 到 75 中抽取数字，按所选数字填满牌面，如果相应列已经填满，则忽略这些数字。

显然，赔率极低的牌比赔率大多为奇数的牌更有优势，中奖几率也更高。在2002年7月的《拉斯维加斯顾问》杂志上，我写了一篇关于巨型宾果游戏的文章，文章基于一个假设：这些牌是随机产生的。那篇专栏的一位读者告诉我，他相信这些牌不是随机产生的，证据是他购买了1500张牌，这些牌的赔率总数都在9到14之间。

为了证实所有卡牌的赔率都在9到14之间的指控，我的助手Rob Feldheim在Palace Station收集了259张巨型宾果卡。然后我们计算了每张卡上的赔率，不出我所料，总赔率始终在9到14之间。下表显示了每种赔率对应的总赔率，以及公平游戏中的预期总赔率。

赔率总数在9到14之间的概率是0.834524756。样本中42.858088个赔率本应落在9到14的范围之外，但实际上没有一个落在这个范围之外。在公平游戏中发生这种情况的概率是0.834524756 ²⁵⁹ = 4.4953 * 10 ^-21 ，即222,454,364,282,805,000,000分之一。

以下是对 2002 年 8 月 22 日上午 11:00 在 Fiesta Rancho 举行的游戏后获得的 Grande 宾果卡进行同类测试的结果。

预计落在 9 到 14 范围之外的数字是 14.396346，但实际上没有一个落在这个范围之外。这个概率是 1.46289 * 10 ^-7 ，即 6,835,771 分之一。

接下来是我从 Sams Town 抽取的累积奖金卡样本的结果。

根据与 Station Casinos 的 Stephen L. Cavallaro 的交谈，我原本预计 Sam's Town 的赔率范围是 10 到 15，或者 9 到 14 个双数。然而，我拿到了一张 8 个双数的牌，也只拿到了一张 9 个双数的牌。任何一张牌出现 8 到 14 个双数的概率是 0.881703。102 张牌出现在这个范围内的概率是 2.647786 * 10 ^-6 ，也就是 377,674 分之一。

此外，我还对 Suncoast 的普通宾果卡进行了类似的测试。129 张样本的实际结果和预期结果如下。

在129张牌中，超出9到14范围的牌有21张，预期数字是21.34630654。这些牌很容易就通过了奇偶检验。它们应该如此，因为没有提前宣布奇数或偶数的游戏。

下表显示了公平游戏中获胜的概率，假设玩家必须获得 50 个数字以内的所有数字。

下图右侧显示，总中奖概率为 0.000006053319，即 1/165199。如果在公平游戏中出现中奖，请注意，中奖概率最有可能出现在赔率 6 的牌上。在赔率低于 9 的公平游戏中，中奖牌的概率为 94.15%。

当我计划撰写调查报告的消息传开后，我被安排与Stephen L. Cavallaro（Station Casinos执行副总裁兼首席运营官）和Jonathan Swain（Palace Station副总裁兼总经理）见面。Stephen坦言，这些牌的赔率是预先选定的，每张牌的赔率在9到14之间。他说，这样做是为了创造公平的竞争环境，让每张牌和每一位顾客都有获胜的希望。他还表示，最初的赔率范围要广得多，第一位获胜者牌上的赔率一开始只有3个。此外，他还表示，Sam's Town和Fiesta Casinos也在做同样的事情，而且Station游戏已获得内华达州博彩管理委员会的完全批准。

在后续的电话采访中，Stephen Cavallaro 告诉我，卡片的生成方式是计算机随机选择一组公平的数字。如果总赔率在 9 到 14 之间，计算机就会打印这张卡片；否则，计算机会丢弃这组数字，并继续处理下一组。下表显示了这种卡片生成方法下每个赔率数字的调整概率。

总的来说，从组合中剔除最佳牌型的结果是，任何一张牌中奖的概率都会大幅降低。剔除最差的牌型并不能弥补这一缺陷。这种预选牌型的策略会导致累积奖金不断增加。与此同时，赌场也减少了重新播种计量器的频率。最终结果是累积奖金的赢家数量减少，总奖金也随之减少。下表显示了根据叫出的球数，公平牌型和站牌型中奖的预期概率。

比率栏显示使用 Station 赌场卡赢钱的难度是使用普通卡的多少倍。例如，如果必须在 50 个或更少的球内中奖，那么赢钱的难度是普通卡的 14.28 倍。

我认为所有宾果卡都应该按照上述建议的方式真正随机生成。除此之外，我认为如果一张卡不是随机生成的，就应该公开其生成方式及其对玩家的影响。我强烈支持所有形式的赌博，公平且公开。但我发现内华达州的宾果游戏并没有做到这两点。所以，宾果玩家要谨慎行事。

我感谢 Stephen Cavallaro 和 Jonathan Swaim 与我会面并对此事持开放态度。

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迈克尔·沙克尔福德，ASA

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撰写者: Michael Shackleford