视频扑克 - 机率

根据我关于连续皇家视频扑克的页面，获胜的几率仅为四百万分之一。

从牌堆剩余的47张牌中抽出3张牌的概率为(47,3)=16,215。其中一种概率是抽出皇家牌所需的3张牌，因此概率为1/16,215。

假设支付表相同，三重播放机和单手机的预期回报是相同的。

假设你采用的是传统的8/5策略，那么你例子中的回报率将是99.68%。然而，如果你采用的是最佳策略，那么这个累积奖金的回报率将是100.08%。所以，Wong说得没错。

我的理解是，剩下的47张牌会不断洗牌，直到玩家决定抽什么牌为止。所以，抽到的牌根本就不是预先决定的。从数学上来说，这没什么区别。

回报率为99.9367%。

不用客气，谢谢你的好意！

一般公式为 combin(X,Z) × p ^Z × (1-p) ^XZ ，其中 p = 1/combin(47,5-Y)。

Combin 是一个 Excel 公式，其等于 X!/[Z! × (XZ)!]。

让我们看一个 10 次玩的视频扑克的例子，其中玩家持有 4 张皇家牌。

谢谢你的赞美。是的，三条的概率取决于赔率表，这会影响玩家的策略。我的视频扑克程序总是会循环遍历所有可能的牌，从而为每一手牌做出最佳的打法。然而，制定书面策略非常耗时。

在任何 52 张牌的视频扑克游戏中，获得同花大顺的概率是 649,740 分之一。

希望你满意，我花了一整天时间思考这个问题。请访问我的新视频扑克附录1获取答案。仅凭方差很难计算出破产风险值。这取决于每手牌的收益及其概率。

不，并非如此。与普遍的误解相反，不存在周期。每手牌都是独立的。需要无数手牌，并且玩得完美，才能保证达到理论上99.54%的回报率。

这里有一些数据供您参考。在9-6 J或更好的牌型中，皇家牌对回报率的贡献率为1.98%。这意味着您可以预期皇家牌之间的回报率为97.56%。一手牌的标准差为4.42。40,391手牌（皇家牌之间的平均值）回报率的标准差为2.20%。因此，即使经历了完整的皇家牌循环，您距离99.54%的回报率仍然很远。您有95%的机会获得95.24%到103.85%之间的回报率。

关于弹窗，我也讨厌它们。不过，总得有个说法。把它们当成你获取信息的代价吧。

前五张牌有 combin(52,5)=2598960 种可能的组合。您不必分析所有组合。我个人将它们分为 191659 种不同的类型，并用相似牌型的数量对每种类型进行加权。例如，无论 K 是什么花色，四张 A 和一张 K 的概率都是一样的。您不必为 K 的每种可能花色分析四种牌型，只需分析其中一种并乘以四即可。一旦您拿到一手牌，就有 2 ⁵ =32 种玩法。我会分析每一种方式并采用预期值最大的玩法。要确定一种玩法的预期值，您必须分析所有可能掉落的替换牌的方式并对每手牌进行评分。在丢弃所有五张牌的情况下，有 combin(47,5)= 1533939 种可能的替换牌型。要确定特定手牌的最佳玩法，必须分析的手牌总数为 combin(47,5)+5*combin(47,4)+10*combin(47,3)+10*combin(47,2)+5*47+1，碰巧也等于 2598960。因此，如果我们不走捷径，就必须分析 2598960 ² = 6,754,593,081,600 手牌。即使将初始手牌减少到 191659 手，我们仍然有 498,114,074,640 手牌需要分析。显然需要更多捷径。处理这么多手牌至少需要台式计算机几个小时。我个人实际上不会对任何手牌进行评分，而是使用精心选择的公式来确定改进手牌的概率。例如，对于任何对子和 3 个单张，将手牌改进为两对的概率始终相同。顺子和同花的情况会更复杂，但仍然可以控制。我的程序可以在大约一分钟内计算出一场J或更好的牌局的预期回报。考虑到我以前要花一天多的时间才能完成，我对此感到相当自豪。希望这能解答你的问题。

假设你手中拿着黑桃A，并丢掉四张非A的单张牌。那么，一共有44种方法可以凑成四条。44是你在抽牌时，加上其他三张A，可能凑成单张牌的数量（52张牌减去4张A和你丢掉的4张单张牌）。除了A和你丢掉的四张牌之外，你还可能在其他8张牌中凑成四条。因此，凑成四条的方法总数为44+8=52。组合数为combin(47,4)=178365。因此，凑成四条的概率为52/178365 = 3430分之一。

1. 1/47
2. 1/合并(47,2) = 1/1081
3. 1/合并（47,3）= 1/16215
4. 1/合并（47,4）= 1/178365
5. 4/合并（52,5）= 1/2598960

从剩下的 47 张牌中抽出 4 张，一共有 combin(47,4) = 178365 种方法。只有一种方法能抽出你需要的三张牌。所以概率是 1/178365。

在 n 次玩法的机器中，抽到 4 张皇家牌时，击中 x 张皇家牌的概率为 combin(n,x) * (1/47) ^x * (46/47) ^nx 。有关 combin(n,x) 函数的解释，请访问我的“扑克中的概率”部分。在 3 次玩法的情况下，概率如下：

0 王室成员：0.937519
1 皇家：0.061143
2名皇室成员：0.001329
3皇室成员：0.000010

回答你的第一个问题：从52张牌中选择5张作为初始手牌，共有2598960种方法。抽牌时，根据玩家手中的牌张数量，抽取替换牌的方法有1、47、1081、16215、178365或1533939种。这些数字的最小公分母是7669695。实际组合数加权后，总数为7669695。因此，组合总数为2,596,960*7,669,695=19,933,230,517,200。回答你的第二个问题：视频扑克机只需从1到52中随机抽取数字，并将它们分配给一张牌。随机数生成器本身非常复杂，但其目的很简单。

内华达州博彩控制委员会 (Nevada Gaming Control Board) 条例 14.040.1(a) 规定，假设玩家采用最佳策略，游戏设备的回报率必须至少达到 75%。为了回答您的第二个问题，我修改了我的视频扑克程序，使其始终做出最差的玩法。例如，在不赔付的牌型上保留所有五张牌，并弃掉部分或全部的牌型。基于 9/6 J 或更好 (Jacks or Better)，此策略的回报率为 2.72%，或赌场优势为 97.28%。以下是完整的回报率表。这样的玩家无法起诉赌场，因为这是他玩得太差的错。

概率是 1/combin(47,2) = 1/1081。在我研究过的每一个游戏中，一对高牌都比三张皇家牌更强，除了在追逐皇家牌的游戏中。

如果您手中有三张 2，那么有 46 种方法可以得到另一张 2 和另一张牌。从牌堆剩余的 47 张牌中选择两张，组合数 (47,2)=1081。因此，在手中有三张 2 的情况下，抽到四张 2 的概率为 46/1081 = 4.26% = 23.5 分之一。如果您手中有两张 2，那么有 45 种方法可以得到另外两张 2 和另一张牌。从 47 张牌中选择三张，组合数 (47,3)=16215。因此，在手中有两张 2 的情况下，抽到四张 2 的概率为 45/16215 = 0.28% = 360.33 分之一。

如果你的策略是不惜一切代价最大化皇家牌的数量，那么你每23081手牌就能拿到一次皇家牌。我假设，如果两种皇家牌概率相同，玩家会选择最大化其他牌局回报的玩法。在9/6 J或更好的牌局中，该策略的赌场优势为51.98%。下表显示了每手牌的概率和回报。

皇家追寻者回归表

手	付清	可能性	返回
皇家同花顺	800	0.000043	0.034661
同花顺	50	0.000029	0.001472
四条	二十五	0.000222	0.005561
客满	9	0.001363	0.012268
冲洗	6	0.00428	0.025681
直的	4	0.004548	0.018191
三条	3	0.020353	0.061058
两对	2	0.046374	0.092749
杰克或更好	1	0.228543	0.228543
没有什么	0	0.694243	0
全部的	0	1	0.480184

谢谢！是的，我之前说过，如果我的投注系统只有 1% 的优势，我只需不断磨练，就能将 1000 美元变成 100 万美元。这在视频扑克中也是可能的，但需要更长的时间，因为 0.77% 优势的游戏（全额支付的 Deuces Wild）只能在 25 美分级别中找到。假设您每小时可以玩 1000 手（很少有人能达到这样的速度）并且玩得完美，那么平均每小时收入为 9.63 美元。要达到 100 万美元，需要不停地工作 11.86 年。1000 美元对于玩 25 美分视频扑克来说也非常不足，因此破产的风险会很高。在桌面游戏中，以相同的优势达到 100 万美元会更快，因为玩家可以下注更多。

这个问题有一个简单的公式：初始投资额除以赌场优势。在这个例子中，答案是 100 美元/0.02 = 5000 美元。然而，由于视频扑克的波动性，大多数情况下，这 100 美元撑不了这么久。

基于“9/6”J或更好的牌，任何三条或葫芦的概率为0.085961。为了方便计算，我将除以13，得到三条等级为3的概率。这显然夸大了概率，因为从J到A的牌型会更多，而正确的策略是更频繁地持有这些牌。0.085961/13 = 0.006612。9局游戏的胜率翻三倍，相当于获得18局免费游戏。18*0.006612=0.119023。为此，我会应用某种模糊系数来解释三条中异常少的三条，大概是75%。0.119023*0.75 = 0.089267。所以，无论你的正常回报是多少，都乘以1.089。

从我的“2e Wild”部分可以看出，任何一手牌中出现四个2e的概率是0.000204。因此，任何一手牌中没有出现四个2e的概率是1-0.000204 = 0.999796。14000手牌中没有出现四个2e的概率是0.999796/ ¹⁴⁰⁰⁰ = 5.75%。

这并不罕见。拉斯维加斯赌场有时会推出促销活动，24 小时内第二次拿到同花大顺可获得双倍赔付。假设您以每小时 400 手的速度玩了 8 个小时，总共玩了 3200 手。那么一手牌拿到同花大顺的概率是 0.00002476。3200 手牌中拿到零个同花大顺的概率是 (1-0.00002476) ^{× 200} = 0.923825。拿到一个同花大顺的概率是 3200*0.923825*(1-0.923825) ^{× 199} = 0.073198。因此，拿到两个或更多同花大顺的概率是 1 - 0.923825 - 0.073198 = 0.002977，约为 1/336。

这个问题对于泊松分布来说很好。如果一个事件在任何给定时刻发生的可能性相等，且独立于其他事件，并且预期的平均数为m，那么n个事件的概率就是e ^-m *m ⁿ /n!。因此，在这种情况下，概率为e ^-17.76 *17.76 ³ /3! = 0.00001808，即55321分之1。

这是根据比赛次数得出的每场比赛获胜零的概率。

该表格基于随机模拟。我知道理论上有可能在100局游戏中赢零分，但在15,820,000局游戏中从未发生过这种情况。所以请不要写这方面的内容。该表格显示，10局游戏中赢零分的概率为0.025914，即2.59%。这种情况连续发生十次的概率为0.025914 ^×10 = 7,323,073,295,177,980分之一。

我在免费游戏模式下试用了该软件，结果似乎不错。尤其是在10局游戏中，我每次都能赢一些。然而，据我所知，没有一家赌场提供这款软件，并且接受来自美国的真钱玩家。我计划进一步调查，但不想在这个论坛里解释原因。

不惜一切代价争取皇家牌的策略，假设其他牌型的赔率均为零，在9/6 J或更好的游戏中，回报率将达到47.85%。皇家牌的预期出现频率将从每40388手牌出现一次增加到每23081手牌出现一次。

差不多。如果在5局游戏中，每局发牌超过一张皇家牌只算一次，那么你发牌的皇家牌的概率会略低于5倍。这是因为皇家牌的总数会是5倍，但有时它们会在同一局游戏中聚集在一起，通常是在发牌时拿到一张皇家牌，因此在抽牌时拿到5张。

下表显示了假设全额支付最佳策略，根据持有的皇家牌数量，在一次游戏中获得皇家牌的概率。

一次玩视频扑克中的皇家同花顺概率

持有卡	成交概率	抽签概率	总概率
0	0.19066396	0.0000014	0.00000027
1	0	0.00000561	0
2	0.01969711	0.00006167	0.00000121
3	0.01299751	0.00092507	0.00001202
4	0.0003309	0.0212766	0.00000704
5	0.00000154	1	0.00000154
全部的	0.22369101	0	0.00002208

这张表显示，你有22.37%的概率可能抽到皇家牌。其余情况下，由于你持有百搭牌或对子等原因，抽到皇家牌的可能性不大。右下角单元格显示，总体皇家牌概率为0.00002208，即45282分之一。

下表显示了相同的情况，但针对的是 5 次游戏，以及至少出现一次皇家牌的概率。

5次视频扑克中的皇家同花顺概率

持有卡	成交概率	抽签概率	总概率
0	0.19066396	0.00000698	0.00000133
1	0	0.00002803	0
2	0.01969711	0.00030832	0.00000607
3	0.01299751	0.0046168	0.00006001
4	0.0003309	0.10195134	0.00003374
5	0.00000154	1	0.00000154
全部的	0.22369101	0	0.00010268

注意，至少出现一张皇家牌的概率是 0.00010268。这比单次游戏的概率高出 4.65 倍。原因是至少出现一张皇家牌的概率总是小于单次游戏的五倍。例如，单次游戏中，击中皇家牌并持有皇家牌的概率是 1/47。然而，在 5 次游戏中，至少出现一张皇家牌的概率是 1-(1-(1/47)) ⁵ = 0.101951341，约为单次游戏的 4.79 倍。

在像红利扑克和双倍红利这样的游戏中，我假设他们会为某些四条支付更高的赔率，以便让玩家有更大的机会赢得大奖，当然，代价是会损失一些小额奖金。将四张A作为高级四条是有道理的，因为A是常规扑克中最大的牌。我认为四张2比四张K支付更高的赔率是因为玩家持有低牌的频率较低，因此四张2出现的概率低于四张K。所以，尽管每张牌出现的概率相同，但玩家行为导致低四条出现的频率较低，这使得游戏开发商更容易为低四条支付更高的赔率。

让我们首先研究一下一般情况。

将 p 定义为接下来的四张同种牌正是促销所需牌的概率。

将 q 定义为 1 - p。

将 m 定义为获得所需四种类型的预期数量。

概率之和为 1。因此，

（1）p + p× ^q1 + p× ^q2 + p× ^q3 + p× ^q4 + ... = 1

以下是关于 p 和 q 的 m 公式。

（2）m = 1×p + 2×q× ^p1 + 3× ^q2 ×p + 4× ^q3 ×p + 5× ^q4 ×p + ...

将 (2) 式两边同时乘以 q。

（3）mq = 1×pq + 2×p× ^q2 + 3×p× ^q3 + 4×p× ^q4 + 5×p× ^q5

从 (2) 中减去 (3)

(4) m - mq = p + pq + pq ² + pq ³ + pq ⁴ + ...

（4）式的右边等于（1）式中的1。

（5）m-mq=1

（6）m×（1-q）= 1

（7）m = 1/（1-q）= 1/p。

因此，如果某个事件的概率为 p，那么平均需要 1/p 次试验才会发生。

回到手头的问题，显然只需要一张四条牌就能把第一个从列表中划掉。接下来的四条牌正是你需要的概率是 12/13。所以，平均需要 13/12=1.0833 次尝试才能得到它。一旦你已经从列表中划掉了两张，接下来的四条牌正是你需要的概率是 11/13，所以还需要 13/11=1.1818 次尝试才能得到第三个。

按照这种模式，得到至少一种的四种类型的总预期数量是

1 + (13/12) + (13/11) + (13/10) + ... + (13/1) = 41.34173882。

是的。假设您玩的是 9/6 Js or Better。每手牌的最终方差为 n*1.966391 + 17.548285，其中 n 为游戏次数。因此，10 局游戏中每手牌的方差为 10*1.966391 + 17.548285 = 37.2122，1 局游戏中每手牌的方差为 1*1.966391 + 17.548285 = 19.51468。10 局游戏中 1,000 手牌或 10,000 手牌的方差为 10,000*37.2122 = 372,122。1 局游戏中 10,000 手牌的方差为 10,000*19.51468 = 195,149。然而，我认为我们应该讨论的是标准差，也就是方差的平方根。10次玩法10,000手牌的标准差为372,122 ^{x 0.5} = 610.02。10,000手牌1次玩法的标准差为195.149 ^{x 0.5} = 441.75。只要最终牌局总数相同，在9/6 Js or Better游戏中，10次玩法的波动性始终会高出38.1%。更多信息，请访问我关于n次玩法视频扑克标准差的专栏。

在策略完美的9/6 Js或Better游戏中，你每40,601手牌中才会出现一次皇家牌，但每460手牌中才会出现一次四张皇家牌。你每看到一张皇家牌，就有88.33次机会少一张牌。在四张皇家牌中，50.37%的概率不赔付，24.89%的概率会赔付对子，7.89%的概率会赔付顺子，16.16%的概率会赔付同花，0.69%的概率会赔付同花顺。以下是具体数字。

9/6 J 或更好的可能结果

手	组合	可能性
四到皇家+同花顺	299529168	0.000015
四至皇家 + 同花顺	7005972000	0.000351
四到皇家+顺子	3420857076	0.000172
四至皇家+一对	10793270244	0.000541
四至皇家（免费）	21844510692	0.001096
皇家同花顺	490952388	0.000025
所有其他	19889375425632	0.9978
全部的	19933230517200	1

170 个四比一皇家号码的皇家号码预期数量为 170/88.33 = 1.92。平均值为 1.92 的皇家号码为零的概率为 e ^-1.92 = 14.59%。

泊松分布可以用来回答这类问题。其通用公式为 e ^-m *m ^x /x!，其中 x 是您观察到的事件数，m 是预期数。在本例中，x 为 3。在“不那么丑的鸭子双双百搭”游戏中，出现同花大顺的概率为 0.000023。因此，10,000 手牌中的预期数为 0.23。因此，10,000 手牌中恰好出现三张同花大顺的概率为 e ^-0.23 *0.23 ³ /3! = 0.161%。Excel 中该公式的计算方法为 poisson(3,0.23,0)。

我假设你认为皇家牌的概率是四万分之一。假设每局游戏4000手，那么每局皇家牌的预期数量是0.1。每局零个皇家牌的概率非常接近的近似值是e ^-0.1 = 90.48%。之所以不是90%，是因为有时每局游戏会得到不止一个皇家牌。50局游戏中皇家牌的预期数量是0.1 × 50 = 5。50局游戏中零个皇家牌的概率可以近似地计算为e ^-5 = 0.67%。确切的概率也是(39,999/40,000)^(200,000) = 0.67%。

如果你玩单线游戏，那就很容易了。80万美元相当于16万手5美元的牌。也就是3.9616个皇家循环。没有皇家循环的概率可以近似为e ^-3.9616 = 1.9%。

多线游戏的数学计算会变得更加复杂。我认为回答这个问题最简单的方法是随机模拟。我的视频扑克附录6显示，在50次玩9/6 Jacks or Better的游戏中，每手牌至少拿到一张皇家牌的概率是0.00099893。每手1美元的50次玩法游戏成本为250美元。所以你最初玩了3200手牌。3200手牌中拿到皇家牌的预期手数是3.1966。用同样的近似方法，拿到零张皇家牌的概率是e ^-3.1966 = 4.09%。根据模拟结果，确切的答案是(1-0.00099893)^3200 = 0.04083732，即4.08%。

不客气。为了解答你的问题，我在 9/6 Jacks or Better 游戏中进行了一些随机模拟。下表显示了 9/6 Jacks or Better 游戏中 2 到 9 条线的协方差。方差与基础游戏相同。

9/6 Jacks 或 Better Spin 扑克中的协方差

线条	协方差
2	1.99
3	3.70
4	9.62
5	15.27
6	19.53
7	23.37
8	27.94
9	33.46

让我们看一个9线9/6 Js或Better的例子。基础游戏的方差为19.52。协方差为33.46。因此，总方差为19.52 + 33.46 = 52.98。标准差为52.98 ^1/2 = 7.28。

只要她以稳定的速度平注，当然可以接受。要么她用了某种毫无意义的累进牌，要么这只是二手的夸大其词。这让我不禁思考，你朋友那边的最佳牌局数是多少。假设牌型是9/6 J或更好，并且采用最佳策略，那么在136手牌时，领先的概率最大，即39.2782%。

6/5 双倍奖金的回报率准确来说是 0.946569。我的表格显示皇家号码的概率是 0.000025。不过，我喜欢使用更高的有效数字，所以我们用回报率除以奖金，即 0.020297/800 = 0.00002537。除皇家号码外，所有奖金的回报率为 0.926273。我们把 j 称为盈亏平衡累积奖金金额。求解 j：

1 = 0.926273 + 0.00002537*j
j = (1-0.926273)/ 0.00002537 = 2,906。

2,906 是以投注单位来衡量的。对于一台 1 美元的机器（总投注额 5 美元），盈亏平衡点应该是 5 美元 * 2,906 = 14,530 美元。所以，12,000 美元距离盈亏平衡还有很长的路要走。在某个完美主义者写信给我之前，我会告诉你，随着累积奖金的增加，最佳策略会发生变化，更积极地争取皇家奖金。我的答案假设玩家始终遵循相同的 6/5 最佳策略。

对于任何一款52张牌的视频扑克游戏，一个简单的估算方法是，每增加1,000个硬币，奖励增加0.5%。以10,100美元的奖励为例，这比非累积奖励高出6,100美元。这是一款1美元的游戏，所以需要6,100个硬币，因此在基础回报率上增加0.5% × (6,100/1,000) = 3.05%。基础回报率为92.63%，因此总回报率可以近似为94.66% + 3.05% = 97.71%。10,100美元奖励的实际回报率为97.75%，非常接近。

3 到 royal 有 4 种花色可供选择。从 5 种花色中选择 3张牌，有 (5,3)=10 种组合方式。选择另外两张牌，有 (47,2)=1,081 种组合方式。从 52 张牌中选择 5 张牌，有 (52,5)=2,598,960 种组合方式。因此，获得 3 到 royal 的概率为 4×10×1081/2,598,960 = 1.66%。

为了方便其他读者理解，任何随机变量的偏度系数（skew）都用来衡量哪个方向的尾部更长。负偏度意味着最可能的结果位于分布的高端，而极端值则倾向于位于低端。正偏度则相反，最可能的结果位于低端，但极端值倾向于位于高端。负偏度时，平均值小于中位数，正偏度时，平均值大于中位数。您可以在维基百科或许多统计学书籍中找到确切的公式。

粗略地说，偏差度与你在一场游戏中获胜的频率相关。在“Jacks or Better”游戏中，如果你没有拿到皇家牌，大多数情况下，你几个小时内都不会赢钱。而“Double Double Bonus”游戏，由于其四倍赔付，你可以在几个小时后更频繁地赢钱。由于大多数人都会受到认知偏差的影响，输钱的痛苦是赢钱的两倍。人们玩“Double Double Bonus”并非因为他们喜欢这种方差，而是因为这样赢钱的几率更大。下表列出了四种常见视频扑克游戏的一些关键统计数据。值得注意的是，“Jacks or Better”游戏中的偏差度最大。

JoB — 9/6 = 全薪Jacks or Better
BP — 8/5 = 标准支付奖金扑克
DDB — 9/6 = 标准赔付双倍奖金扑克
DW — NSUD =“不那么丑的鸭子” Deuces Wild

了解这一点实际上如何帮助视频扑克玩家？我想有人会说，偏度较大的游戏在几个小时的游戏中输钱的可能性更大。例如，在“Jacks or Better”游戏中，如果你没有打出任何皇家牌，赌场优势最终可能会耗尽你的资金。然而，在像“Deuces Wild”或“Double Double Bonus”这样的游戏中，第二高的奖金就能让你在一局游戏中摆脱困境。换句话说，偏度会阻止你在没有打出皇家牌时获胜。了解偏度不会增加你的胜率，但了解预期结果在心理上会有所帮助。所以，下次你在9/6 Jacks游戏中输钱时，就把责任推到偏度上吧。

感谢 Jeff B. 对此问题的帮助。

发现真棒！你没说你玩的是什么面额，这很重要，所以我假设是美元。对于五枚硬币的最大赌注，赢得 w（其中 w<1200）所需的双倍次数是 1+int(log(1200)-log(w))/log(2)。

下表显示了每手初始牌的加倍前赢利、加倍前概率、所需加倍次数、加倍后赢利以及加倍后赢利的概率（包括250美元奖金）。右下角单元格显示回报率为115.5%。平均每297手牌就能中一次头奖，平均头奖金额为1,717.46美元。

8-5 三倍奖金返还表，赢取 1,200 美元或以上奖金 250 美元

双倍前获胜	支付	加倍前概率	需要双打	双倍胜利后	加倍后概率	返回
皇家同花顺	4000美元	0.000026	0	4250美元	0.000026	0.02193
同花顺	500美元	0.000118	2	2250美元	0.00003	0.013322
4张A	1200美元	0.000235	0	1450美元	0.000235	0.068227
4 2-4	600美元	0.000542	1	1450美元	0.000271	0.078557
4 5-K	250美元	0.001629	3	2250美元	0.000204	0.091637
客满	40美元	0.010546	5	1530美元	0.00033	0.100842
冲洗	25美元	0.011055	6	1850美元	0.000173	0.063913
直的	20美元	0.012738	6	1530美元	0.000199	0.060902
三条	15美元	0.075542	7	2170美元	0.00059	0.256136
两对	5美元	0.123065	8	1530美元	0.000481	0.147101
杰克或更好	5美元	0.211575	8	1530美元	0.000826	0.252898
全部的		0.447071	0	0	0.003364	1.155465

下表显示了在假设有一张皇室牌的情况下，根据持有的牌张数量，每种皇室牌的概率。结果显示，3.4% 的皇室牌来自持有一张牌。皇室牌的初始概率为 40,391 分之一，因此，持有一张牌的皇室牌的无条件概率为 1,186,106 分之一。

发牌时可能的组合数有(52,5)=2,598,960。我的视频扑克牌局回报表之所以有近20万亿种组合，是因为你还必须考虑抽牌时可能发生的情况。以下是根据玩家弃牌数量得出的组合数。

视频扑克中的抽牌组合

丢弃	组合
0	1
1	四十七
2	1,081
3	16,215
4	178,365
5	1,533,939

所有这些组合的最小公倍数是 5×combin(47,5)= 7,669,695。无论玩家弃掉多少张牌，返回的组合都应加权，使总数达到 7,669,695。例如，如果玩家弃掉 3 张牌，则抽牌时可能的组合有 16,215 种，每种组合的权重应为 7,669,695/16,215 = 473。

因此，视频扑克的总组合数为 2,598,960 × 7,669,695 = 19,933,230,517,200。想了解更多关于如何自行编程视频扑克收益的信息，请参阅我的“视频扑克分析方法”页面。

这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。

我猜想最有可能的是皇家Aces红利扑克。几年前我在梅斯基特只见过一次。四张A的赔率是800，但最低赔率的牌是一对A，而不是常见的J。这是赔率表。

标准差为 13.58！这是 9-6 Jacks or Better（4.42）的三倍多。

不过，如果你只限于那些容易找到的游戏，我推荐的是“三倍双倍奖金”，标准差为9.91。这是赔付表。

这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。

7,281.8 个金币。有趣的是，如果你只在这个计量表上玩一次，那么回报率只有 98.5%。你应该在这个点玩，是因为你假设你有能力一直玩到中大奖。这就像拥有一个 2% 返现的老虎机俱乐部。98.5% + 2% = 100.5%。

我想补充一点，如果你在累积奖金刚好达到7,281.8个硬币时开始使用4,000个硬币的累积奖金策略，你预期可以获利201.18个硬币。但是，如果你花时间学习了7,281.8个硬币累积奖金的策略变化，那么你的预期利润将是234.31个硬币。

顺便提一下，我刚刚读完了弗兰克·尼兰德（Frank Kneeland）的《视频扑克累积奖金的秘密世界》 。这本书包含许多针对更复杂累积奖金情况的公式，以及他多年管理累积奖金猎人团队的实践建议和故事。我推荐给优势累积奖金视频扑克玩家。

要找到这类条纹问题的近乎精确的答案，我们需要用到矩阵代数。我在2010年6月4日的专栏中回答过一个类似但更简单的问题。如果你的矩阵代数还生疏，我建议你先看看那个问题。

步骤1：确定前5000手牌中出现0到6+张皇家牌的概率。假设皇家牌的概率为40000分之一。5000手牌中的预期皇家牌数为5000/40000 = 0.125。使用泊松估计，恰好出现r张皇家牌的概率为e ^-0.125 × 0.125 ^r / r!。这些概率如下：

步骤 2：假设剩余的 24,995,000 手牌有 7 种状态。对于每种状态，之前的 5,000 手牌可能出现 0、1、2、3、4 或 5 张皇家牌，或者玩家可能已经在 5,000 手牌中拿到了 6 张皇家牌，在这种情况下，成功了，并且无法被剥夺。每出现一手新牌，玩家的状态都可能发生以下三种情况之一：

1. 降低一级。如果5000局前打出的牌是皇家牌，现在被降级，而新出的牌不是皇家牌，就会发生这种情况。
2. 保持相同水平。如果5000场之前的牌局不是皇家牌，而新牌局也不是皇家牌，通常就会发生这种情况。如果5000场之前的牌局是皇家牌，而新牌局也是皇家牌，也会出现这种情况。
3. 升级一级。如果5000场游戏前玩的牌不是皇家牌，而新牌是皇家牌，就会发生这种情况。

步骤 3：制定额外游戏中每次状态变化的几率的转换矩阵。

第一行对应新一手牌开始前的0级。下一手牌晋级到1级的概率仅为40,000分之一。停留在0级的概率为39,999/40,000。

第二行对应新一手牌开始前的1级。下一手牌晋级到2级的概率，等于该手牌不丢皇家的概率与新一手牌拿到皇家的概率之积 = (4999/5000)×(1/40000) = 0.0000250。回到0级的概率，等于当前牌局丢皇家的概率与当前牌局没拿到皇家的概率之积 = (1/5000)×(39999/40000) = 0.0002000。保持不变的几率是 pr(无皇室成员退出) × pr(无新皇室成员) + pr(皇室成员退出) × pr(新皇室成员) = (4999/5000)×(39999/40000) + (1/5000)×(1/40000) = 0.9997750。

第2行到第6行的概率取决于过去5000手牌中皇家牌的数量。皇家牌越多，在新牌局中掉落一张皇家牌的概率就越大。设r为过去5000手牌中皇家牌的数量，p为出现新皇家牌的概率。

Pr(提升一级) = Pr(无皇室成员流失) × Pr(新皇室成员) = (1-(r/5000))× p。

Pr（保持在同一水平）= Pr（没有皇室成员流失）× Pr（没有新的皇室成员）+ Pr（皇室成员流失）× Pr（新的皇室成员）=（1-（r/5000））×（1-p）+（r/5000）×p。

Pr(降级) = Pr(皇室成员流失) × Pr(无新皇室成员) = (r/5000)× (1-p)。

第7行代表在5000手牌中拿到6张皇家牌，达到了成功的状态。一旦达到这一成就，就永远不会被剥夺，因此保持这种成功状态的几率是100%。

转换矩阵的行对应于新一手牌之前的等级，从最上面一行的 0 级开始。列对应于新一手牌之后的等级，从最左边一列的 0 级开始。矩阵中的数字部分对应于在一场游戏中从每个旧状态移动到每个新状态的概率。我们将其称为 T1 =

0.999975	0.000025	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000
0.000200	0.999775	0.000025	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000
0.000000	0.000400	0.999575	0.000025	0.000000	0.000000	0.000000
0.000000	0.000000	0.000600	0.999375	0.000025	0.000000	0.000000
0.000000	0.000000	0.000000	0.000800	0.999175	0.000025	0.000000
0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.001000	0.998975	0.000025
0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	1.000000

如果我们将这个转移矩阵乘以自身，就能得到连续两局游戏中每次状态变化的概率。我们将其称为 T2，表示两局游戏中的转移矩阵：

0.999950	0.000050	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000
0.000400	0.999550	0.000050	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000
0.000000	0.000800	0.999150	0.000050	0.000000	0.000000	0.000000
0.000000	0.000000	0.001199	0.998750	0.000050	0.000000	0.000000
0.000000	0.000000	0.000000	0.001599	0.998351	0.000050	0.000000
0.000000	0.000000	0.000000	0.000001	0.001998	0.997951	0.000050
0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	1.000000

顺便说一下，在 Excel 中，要将两个大小相同的矩阵相乘，首先要选择新矩阵要放置的区域。然后使用公式 =MMULT(矩阵 1 的范围，矩阵 2 的范围)。最后按下 Ctrl-Shift-Enter 键。

如果我们将 T2 乘以自身，我们就会得到连续四场比赛中每次状态变化的概率，即 T4：

0.999900	0.000100	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000
0.000800	0.999100	0.000100	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000
0.000000	0.001598	0.998301	0.000100	0.000000	0.000000	0.000000
0.000000	0.000001	0.002396	0.997503	0.000100	0.000000	0.000000
0.000000	0.000000	0.000003	0.003193	0.996705	0.000100	0.000000
0.000000	0.000000	0.000000	0.000005	0.003989	0.995907	0.000100
0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	1.000000

因此，继续重复这个加倍过程 24 次，直到达到 T-16,777,216：

0.882415	0.110305	0.006893	0.000287	0.000009	0.000000	0.000091
0.882415	0.110305	0.006893	0.000287	0.000009	0.000000	0.000092
0.882413	0.110304	0.006893	0.000287	0.000009	0.000000	0.000094
0.882385	0.110301	0.006893	0.000287	0.000009	0.000000	0.000125
0.881714	0.110217	0.006887	0.000287	0.000009	0.000000	0.000885
0.860229	0.107531	0.006720	0.000280	0.000009	0.000000	0.025231
0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	1.000000

如果再次翻倍，就会超出 T-24,995,500 的目标。所以现在我们需要仔细地乘以较小的转换矩阵，这些矩阵我们已经计算过了。你可以用 2 的幂来得到任何数字（二进制算术的乐趣！）。在这种情况下，T-24,995,500 = T-16,777,216 × T-2 ²² × T-2 ²¹ × T-2 ²⁰ × T-2 ¹⁹ × T-2 ¹⁸ × T-2 ¹⁶ × T-2 ¹⁴ × T-2 ¹³ × T-2 ¹⁰ × T-2 ⁷ × T-2 ⁵ × T-2 ⁴ × T-2 ³ =

0.882375	0.110300	0.006893	0.000287	0.000009	0.000000	0.000136
0.882375	0.110300	0.006893	0.000287	0.000009	0.000000	0.000136
0.882373	0.110299	0.006892	0.000287	0.000009	0.000000	0.000138
0.882345	0.110296	0.006892	0.000287	0.000009	0.000000	0.000170
0.881675	0.110212	0.006887	0.000287	0.000009	0.000000	0.000930
0.860191	0.107527	0.006719	0.000280	0.000009	0.000000	0.025275
0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	1.000000

说实话，为了简单起见并节省时间，你真的不需要费心计算最后四个乘法。它们只对应最后56手牌，而这56个乘法对最终结果产生影响的可能性微乎其微。我敢肯定，如果可以的话，我的许多完美主义读者会因为我这么说而把我打得落花流水。

步骤4：将5,000手牌后的初始状态乘以T-24,995,500。令步骤1中的S-0为：

0.8824969026

0.1103121128

0.0068945071

0.0002872711

0.0000089772

0.0000002244

0.0000000048

因此 S-0 × T-24,995,500 =

0.88237528

0.11029964

0.00689251

0.00028707

0.00000896

0.00000022

0.00013632

底部单元格中的数字表示在 25,000,000 手牌中至少有一次在 5,000 手牌中出现六张皇家牌的概率。因此，概率为 7,336 分之一。

感谢 CrystalMath 对这个问题的帮助。

在我回答之前，我想提醒大家，从 n 个项目中选择 k 个（可替换）的方法数是 combin(n+k-1,k) = (n+k-1)!/((n-1)!×k!)。

话虽如此，以下是七张牌的类型以及每种类型的不同组成方式的数量：

• 7 张相同花色的牌：combin(13,7)=1,176。
• 6 张相同花色的牌和 1 张不同花色的牌：COMBIN(13,6)×13 = 22,308。
• 5 张相同花色的牌和 2 张不同花色的牌：COMBIN(13,5)×combin(13,2) = 100,386。
• 5 张相同花色的牌和另外两种花色各 1 张：COMBIN(13,5)×combin(13+2-1,2) = 117,117。
• 4 张相同花色的牌和 3 张不同花色的牌：COMBIN(13,4)×combin(13,3) = 204,490。
• 4 张同一花色的牌，2 张第二花色的牌，1 张第三花色的牌：COMBIN(13,4)×combin(13,2)×13 = 725,010。
• 4 张相同花色的牌和 1 张其他 3 色的牌：COMBIN(13,4)×combin(13+3-1,3)×13 = 325,325。
• 3 张两种不同花色的牌和 1 张第三种花色的牌：13×((COMBIN(13,3)×(COMBIN(13,3)-1)/2+COMBIN(13,3))) = 533,533。
• 3 张同一花色的牌和另外两种花色的牌各 2 张：COMBIN(13,3)×(COMBIN(13,2)×(COMBIN(13,2)+1)/2) = 881,166。
• 3 张同一花色的牌、2 张第二花色的牌、以及另外两种花色各 1 张牌：COMBIN(13,3)×COMBIN(13,2)×COMBIN(13+2-1,2) = 2,030,028。
• 三种花色各 2 张牌，第四种花色 1 张牌：((COMBIN(13,2)×(COMBIN(13,2)+1)×(COMBIN(13,2)+2)/6) = 1,068,080。

这些组合的总和为 6,009,159。与从 52 张牌中选出 7 张牌的组合 (52,7) = 133,784,560 种方法相比，分析的牌型减少了 95.5%。

有关此问题的更多讨论，请参阅我在Wizard of Vegas 的论坛。

一对牌变成四张同点牌的概率为 45/COMBIN(47,3) = 约 0.002775208。

十手有十手出现这种情况的概率是 (0.002775208) ¹⁰ = 约 36,901,531,632,979,700,000,000,000 分之一。

这个概率就像购买三张独立且随机的强力球彩票并全部中奖一样。

解释是，这不是普通的电子扑克游戏，它采用自然概率，即每张牌从牌堆剩余的牌中抽出的概率均等。不，这叫做“VLT”，即视频彩票终端。在这类游戏中，无论玩家如何支付，结果都是注定的。它就像刮刮乐彩票，但结果会像电子扑克游戏一样显示给玩家。你可能会问，如果玩家拿到全部五张牌会发生什么？然后会有一个精灵出现，改变一些牌，或者玩家会赢得奖金，最终赢得2500积分。

这个问题是在我的“拉斯维加斯巫师”论坛中提出并讨论的。

为此，我向我尊敬的同事Gary Koehler请教，他是视频扑克数学方面的专家。以下是他根据牌组数量给出的答案：

对于第一张皇家牌，无论花色如何，发牌时凑成三张皇家牌的概率为 4*combin(5,3)*combin(47,2)/combin(52,5) = 0.01663742。抽牌时凑成皇家牌的概率为 1/combin(47,2) = 0.00092507。因此，两张牌同时出现的概率为 0.01663742 * 0.00092507 = 0.00001539，即 64,974 分之一。

这样，在十手牌中，出现任意两种花色的任意两张皇家牌的概率为：combin(10,2) * 0.00001539 ² (1-0.00001539) ⁸ = 0.00000001065810。您还指定了两张皇家牌必须为同一花色。第二张皇家牌与第一张皇家牌匹配的概率为 1/4，因此将之前的概率除以 4 可得出 0.00000000266453，即 375,301,378 分之一。

我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。