德州扑克 - 概率 - 配对

假设您抽五张牌，并且所有牌中恰好有两张 J，那么概率就是 combin(4,2)*combin(48,3)/combin(52,5) = 6*17296/2598960 = 3.99%。

对于概率问题，我喜欢用你感兴趣的事件可能发生的组合数除以总组合数。首先回顾一下我在“扑克概率”部分中的combin 函数。获得四条的方式数就是牌堆中单张牌的数量，即 48。获得三条（不包括葫芦）的方式数是获得第三张牌的方式数（2）与获得另外两张单张牌的方式数的乘积，即 2*combin(12,2)*4 ² = 2,112。翻牌圈中可能出现的牌的总方式数为 combin(50,3)=19,600。因此，获得四条的概率为 48/19600=0.0024，获得三条的概率为 2,112/19,600=0.1078。

从 52 张牌中抽出 2 张，有 52*51/2 = 1326 种排列方式。从 4 张牌中抽出 2 张 A，有 4*3/2 = 6 种排列方式。所以答案是 6/1326 = 1/221。这种情况连续发生两次的概率是 (1/221) ² = 48,841 分之一。

首先，从 10 名玩家中选择 2 名玩家，共有 10*9/2=45 种方法。其中两名特定玩家拿到四张 A 的概率为 1/combin(52,4)=1/270725。因此，任意两名玩家拿到一对 A 的概率为 45/270725=0.0001662。

对于不熟悉这个术语的人来说，每个玩家自己有两张牌，三张翻牌由所有玩家共享。所以这就像问你，如果你拿到三张不同点数的公共牌，以及十个两张牌，那么其中三张两张牌与三张公共牌中的一张匹配的概率是多少。

玩家 1 拿到三条的概率是 3* combin (3,2)/combin(49,2)。那么玩家 2 拿到三条的概率是 2* combin(3,2)/combin(47,2)。玩家 3 拿到三条的概率是 combin(3,2)/combin(45,2)。然而，任何三名玩家都可以拿到三条，不一定是前三名。从 10 名玩家中选出 3 名拿到三条的玩家，一共有 combin(10,3) 种方法。所以答案是 combin(10,3)*(3* combin(3,2)/combin(49,2))*(2* combin(3,2)/combin(47,2))*( combin(3,2)/combin(45,2)) = 0.00000154464 = 1/64,740。

对于任何特定玩家，拿到AA的概率为combin (4,2)/combin(50,2) = 6/1,225 = 0.0049，因为从4张牌中抽出2张A有6种方法，而从剩下的50张牌中抽出任意2张则有1225种方法。拿到一对K的概率也相同。拿到AK的概率为4*4/1,225=0.0131，因为拿到A和K都有4种方法。拿到AQ的概率为4*2/1225=0.0065，因为牌堆里有4张A，但只剩下2张Q。因此，任何特定玩家拿到这些牌型的概率为(6+6+16+8)/1225 = 0.0294。显然，下一步并不完美，因为如果一位玩家没有这些牌，那么下一位玩家拿到这些牌的概率会略高一些。为了简单起见，我们忽略这一点，没有玩家拿到这些牌的概率是 (1-0.0294) ⁸ = 78.77%。因此，至少有一位玩家拿到这些牌的概率是 21.23%。

假设你手中有一对 A。在不考虑对方玩家持有另一对 A 的情况下，翻牌圈出现三条的概率为 [nc(一张 A)*nc(12 张牌中任选两张)*nc(4 张牌中任选一种^花色) + nc(任何其他三条)]/nc(任意三张牌)，其中 nc(x) = x 的组合数。这等于 [2* combin (12,2)*4 ² + 12* combin(4,3)]/ combin(50,3) = (2112+48)/19600 = 11.020%。现在假设对方玩家持有任意一对 A，但与你的不同。那么概率变为 [2*( combin(11,2)*4 ² + 11*2*4 + 11* combin(4,3)]/ combin(48,3) = 11.4477%。

任何给定手牌的概率为 ( combin (4,2)/combin(52,2))*(1/combin(50,2)) = 1/270725。因此，连续两次出现这种情况的概率为 270,725^分之一 = 73,292,025,625 分之一。

13*12*组合(4,2)*4/组合(52,3) = 3744/22100 = 16.941%。

下表显示了根据玩家人数（包括您自己）估算的一对牌被至少一对更高牌击败的概率。这些概率并不精确，因为每手牌并非独立存在。然而，要找到确切的概率会很复杂，我认为这些概率非常接近。我的公式是 1-(1-r* combin (4,2)/combin(50,2)) ^(n-1) ，其中 r=比您的一对牌更大的牌的数量，n=玩家总数。该表显示，在 10 人游戏中，当您有一对 K 时，另一位玩家有一对 A 的概率为 4.323%。

假设玩家分别为 A、B 和 C。A 拿到一对 A 的概率为combin (4,2)/combin(52,2) = 6/1326。B 拿到一对 K 的概率为 combin(4,2)/combin(50,2) = 6/1225。C 拿到一对 Q 的概率为 combin(4,2)/combin(48,2) = 6/1128。然而，在三个玩家之间排列三对牌的概率有 3! = 1*2*3 = 6 种。因此，答案为 6*(6/1326)*(6/1225)*(6/1128) = 0.000000707321。

谢谢你的赞美。你在任何一手牌中拿到底牌 A 的概率是 6/1326，也就是每 221 手牌一次。根据我的十人德州扑克部分 (/games/texas-hold-em/10players.html)，假设所有玩家都坚持到最后，用底牌 A 获胜的概率是 31.36%。但这只是一个假设。如果非要我猜的话，我估计在真正的十人游戏中用 A 获胜的概率大约是 70%。所以拿到底牌 A 然后输掉的概率是 0.3*(1/221) = 0.1357%。所以，按每次 100 美元计算，每手牌损失 13.57 美分。超过 10 人，扑克室平均每手牌损失 1.36 美元，这会大幅降低抽水。我倾向于同意你的跟注策略，这会让更多玩家留在牌局中，并增加你输钱的几率。

特定玩家拿到 A 的概率为combin (4,2)/combin(52,2) = 6/1326。下一位玩家拿到一对 K 的概率为 combin(4,2)/combin(50,2) = 6/1225。然而，在十人游戏中，有 10 位玩家可能拿到 A，9 位玩家可能拿到 K。因此，一个更合理的近似值应该是 10*9*(6/1326)*(6/1225) = 0.001995，即 1/501。这个答案略高，因为它重复计算了两位玩家分别拿到 A、两位玩家分别拿到 K 或两位玩家同时拿到 K 的情况。

由于可能不止一位玩家持有更高对子，甚至包括同一类型的对子，因此计算起来非常复杂。例如，如果你持有口袋对K，那么可能有两个玩家持有口袋对A。不过，预测击败你的玩家数量很容易。这个数字应该是n*r*(6/1225)，其中n是对手数量，r是更高对子的数量。下表显示了根据你的口袋对子（左列）和对手数量（上行），持有更高对子的玩家平均数量。

为了计算至少有一名玩家击败你的概率，我做了一个并非完全正确的假设：持有更大底牌对子的玩家数量是一个泊松随机变量，其均值如上表所示。基于此假设，至少有一名玩家击败你的概率为 1-e ^-µ ，其中 µ 为均值。例如，如果你持有口袋对 Q，并且有 9 名其他玩家，那么持有更大底牌对子的玩家预期数量为 0.0882，因此至少有一名玩家持有更大底牌对子的概率为 1-e ^-0.0882 = 8.44%。下表显示了这些概率。

因此，我对至少一个更高口袋对的概率的近似值为 1-e ^{-n*r*(6/1225)} 。

附言：这篇专栏文章发表后，我的一位粉丝 Larry B. 编写了一个强力组合程序来解决这个问题。以下是他的结果。

后来，Stephen Z. 提出了一个简单的近似公式。取大对子的数量，乘以其他玩家的数量，再除以 2。这就是至少出现一个大对子的百分比概率。例如，在 10 人游戏中，一对 J 牌出现更大底牌对子的概率是 3*9/2 = 13.5%。使用该公式，您可以得到所有情况下的以下结果。

对于不熟悉德州扑克术语的人来说，你问的是六张牌中至少出现一对的概率，假设前两张（底牌）的点数不同。如果我只问恰好出现一对的概率，包括同时形成顺子或同花的牌，请大家谅解。

你的一张底牌有六种组合方式（2张底牌 * 剩余3种花色）。另外三张牌的点数必须与剩余的11张不同。从11张牌中选择3个点数的组合方式共有(11,3)=165种。每种组合方式都有四种花色可供选择。因此，你的一张底牌有6*165*4 ³ = 63,360种组合方式。

现在，我们来看看除了两张底牌之外，还有多少种方法可以凑成一对。一对共有 11 种花色可供选择。一旦选定，就有 (4,2)=6 种组合方式可以从 4 种花色中选择 2 种。对于另外两张牌，有 (10,2)=45 种组合方式可以从剩下的 10 种完整花色中选择 2 种。对于这两个花色，都有 4 种可能的花色。因此，不包括底牌，一对的总组合数为 11*6*45*4 ² =47,520。

从剩下的50张牌中抽出4张的概率为 combin(50,4)=230,300。因此，从6张牌中抽出一对的概率为 (63,360+47,520)/230,300 = 48.15%。

翻牌圈出现三个不同点数的概率为combin (13,3)× ⁴³ /combin(52,3) = 0.828235。从十位选手中选择三名选手，共有 combin(10,3)=120 种方式。在这三人中，第一位选手拿到暗三条的概率为 3×combin(3,2)/combin(49,2) = 0.007653061。第二位选手拿到暗三条的概率为 2×combin(3,2)/combin(47,2) = 0.005550416。第三位选手拿到暗三条的概率为 combin(3,2)/combin(45,2) = 0.003030303。将所有这些乘积，概率为 0.828235 × 120 × 0.007653061 × 0.005550416 × 0.003030303 = 0.00001279，即 78,166 分之一。

对于可能不了解情况的读者，我来解释一下，“暗三条”是指翻牌后出现的三张同点牌，包括一对底牌。不组成暗三条的概率是 (48+combin(48,3))/combin(50,3) = 17,344/19600 = 88.49%。因此，组成暗三条的概率是 11.51%。在 2,787 对牌中，你应该组成暗三条 320.8 次。因此，你比预期少组成了 47.8 次暗三条。方差为 n × p × (1-p)，其中 n = 手牌数量，p = 组成暗三条的概率。在本例中，方差为 2,787 × 0.1176 × 0.8824 = 283.86。标准差是该方差的平方根，即 16.85。因此，你比预期少了 47.8/16.85 = 2.84 个标准差。运气这么差或更差的概率可以在任何标准正态分布表中找到，或者在 Excel 中以 norsdist(-2.84) = 0.002256 或 443 分之一来表示。

对于牌桌上每位对手来说，KK 对阵 AA 时输掉的概率是 ( combin (4,2)/combin(52,2)) × (combin(4,2)/combin(50,2)) = 0.000022162。也就是说，每 45,121 手牌中出现一次，所以你的计算是正确的。400 手牌中，预期出现这种情况的次数是 400 × 0.000022162 = 0.008865084，每位对手。下表显示了 400 手牌中，KK 对阵 AA 出现 3 次或以上概率，并根据对手人数进行计算。

所以，是的，我觉得这看起来很可疑。玩家越少，就越可疑。我很想知道这游戏在哪里。

谢谢。牌堆里还剩下50张牌，其中42张不是A或K。五张公共牌中没有A或K的概率是combin (42,5)/combin(50,5) = 850,668/2,118,760=40.15%。所以，至少出现一张A或K的概率是100% - 40.15% = 59.85%。

假设你拿到底牌 A，那么其他特定玩家拿到底牌 A 的概率是 (2/50)×(1/49) = 1/1,225。假设其他 9 名玩家拿到底牌 A 的概率是这个概率的 9 倍，即 1/136。这似乎滥用了概率之和。但是，如果只有一名玩家能拿到两张 A，那么这样做是可以的。回答你的问题：你三次拿到底牌 A 时，其他玩家三次拿到底牌 A 的概率是 (9×(2/50)×(1/49)) ³ = 1/2,521,626。