概率 - 骰子

答案是 6*(1/6) ⁶ = 6/46,656 = 1/7,776 =~ 0.0001286 。

每位玩家平均掷骰次数为8.525510次。要了解掷骰次数恰好为2到200次的概率，请参阅我的掷骰子生存概率页面。

我的掷骰子附录展示了如何计算任意一次下注的赔率。你会看到，不及格投注的输掉概率是 2928/5940。连续输掉 n 次投注的概率是 (2928/5940) ⁿ 。100,000 次投注中恰好输掉 n 次的概率可以近似为 100,000 * (2928/5940) ⁿ⁺² 。

用六个骰子掷出六个相同数字的概率是 6*(1/6) ⁶ =1/7776 =~ 0.01286%。

谢谢你的赞美。我猜你的意思是，掷一对骰子28次都不掷出7的概率是多少。任何一次掷出7的概率是5/6。28次掷出7的概率是(5/6) ^/28 = 0.006066，大约是1/165。

三个匹配的概率是1/216。两个匹配的概率是3*5/216。一个匹配的概率是25*5/216。0个匹配的概率是5*5*5/216。因此，预期回报为3*(1/216)+2*(15/216)+1*(75/216)-1*(125/216)=-17/216=-7.87%。没有最佳投注次数，无论您做什么，您都会损失预期投注金额的7.87%。

这些赌注可以在骰宝和掷骰子游戏中进行。

可能的组合有 (6,2)=15 种不同的对子组合。掷出任意特定的两对，骰子有 (4,2)=6 种不同的组合方式。掷四个骰子，一共有 6^4=1296 种不同的组合方式。因此，概率为 90/1296=6.9444%。

如果你掷了 x 个骰子，那么至少掷出一个 6 的概率是 1-(5/6) ² 。如果掷的是两个骰子，那么这个概率就是 30.56%。

首先，有 (6,3)=20 种组合方法，可以从 6 个骰子中选出 3 个，作为三个 1。然后，其他 3 个骰子可以分别代表 5 个数字。因此，总共有 20×5 ³ =2500 种组合方法。掷出所有骰子的方法总数为 6 ⁶ =46,656 种，因此掷出三个 1 的概率为 2500/46656=0.0536。有关组合函数的帮助，请参阅我在扑克部分提供的概率。

用三个骰子掷出恰好一个“1”的概率是 3*(5/6) ² *(1/6) = 75/216 = 34.72%。

这对数字可以是 6 个数字中的任意一个。另外两个单数可以是其他五个数字中的任意一个。因此，已经有 6*combin(5,2)=60 种组合。有 combin(4,2)=6 种骰子组合可以出现这对数字。这两个单数可以以两种方式排列。因此，共有 60*12=720 种投掷方法。所有投掷方法总数为 6 ⁴ =1296。因此，概率为 720/1296 =~ 55.56%。

掷 10 个骰子，恰好有 8 个数字相同的概率为 6*combin(10,8)*(1/6) ⁸ *(5/6) ² = 1/8957.952。至少有 8 个数字相同的概率为 6*[combin(10,8)*(1/6) ⁸ *(5/6) ² + combin(10,9)*(1/6) ⁹ *(5/6) + (1/6) ¹⁰ ] = 1/8569.469。

每次新掷骰子时，接下来四次掷骰子均为双六的概率为 (1/36) ⁴ = 1/1679616。

有两种可能的跨度：1 到 5 和 2 到 6。每种跨度都有 5!=120 种排列方式。掷五个骰子共有 6 ^*5 = 7776 种方法。因此概率为 2*120/7776 = 3.09%。在玩 Yahtzee 时，当我把 0 标记为大顺子后，这个概率似乎高了很多。

预期的 1 的数量是 30*(1/6) = 5。恰好出现 5 个 1 的概率是 combin(30,5)*(1/6) ⁵ *(5/6) ²⁵ = 19.21%。

骰子点数不全为 1 的概率是 (5/6) ⁿ 。因此，至少有一个点数为 1 的概率是 1-(5/6) ⁿ 。我们以五个骰子为例。答案是 1-(5/6) ⁵ = 59.81%。

1-(5/6) ³⁶ = 99.86%

每次投掷，预期剩余骰子数量为 5/6。因此，投掷 n 次后剩余骰子数量的预期值为 36*(5/6) ⁿ 。例如，投掷 10 次后，平均剩余骰子数量为 5.81 个。

所有数字不同的概率是 (5/6)*(4/6)=20/36。因此，至少有两个数字相同的概率是 1-(20/36) = 16/36 = 44.44%。

是的。你只需计算从 2 到 12 的所有数字，并确定每个数字掷出两次的概率。所以答案是 (1/36) ² + (2/36) ² + (3/36) ² + (4/36) ² + (5/36) ² + (6/36) ² + (5/36) ² + (4/36) ² + (3/36) ² + (2/36) ² + (1/36) ² = 11.27%。

用七个骰子掷出七个六的概率是 (1/6) ⁷ = 279,936 分之一。所以，这辆车的价值必须达到 279,936 英镑或更高，这才是一个好的赌注。即使是普通的劳斯莱斯也不值这么多钱，所以我认为这是一场糟糕的赌注。

[Bluejay 补充道：呃，是的，但我觉得重点是这是为了慈善事业。哪个更有趣：捐 1 英镑给慈善机构，除了帮忙的快感什么也得不到，还是捐 1 英镑，除了快感之外，还有赢得一辆车的几率？]

• 五张同点牌：6/6 ⁵ = 0.08%（显而易见）
• 四张同点牌：5*6*5 = 1.93%（单张的 5 种可能位置 * 四张同点牌的 6 种等级 * 单张的 5 种等级）。
• 葫芦：combin(5,3)*6*5/6 ⁵ = 3.86%（combin(5,3) 三条的位置 * 三条的 6 个等级 * 对子的 2 个等级）。
• 三张同点牌：COMBIN(5,3)*COMBIN(2,1)*6*COMBIN(5,2) / 6 ⁵ = 15.43%。（combin(5,3) 三张同点牌的位置 * combin(2,1) 较大单张牌的位置 * 三张同点牌的 6 个等级 * combin(5,2) 两个单张牌的等级。）
• 两对：COMBIN(5,2)*COMBIN(3,2)*COMBIN(6,2)*4 / 6 ⁵ = 23.15%（较高对的组合(5,2) 位置 * 较低对的组合(3,2) 位置 * 两对的组合(6,4) 排名 * 单对的 4 排名）。
• 配对：COMBIN(5,2)*fact(3)*6*combin(5,3) / 6 ⁵ = 46.30%（配对的 combin(5,2) 位置 * 三个单例的 fact(3) 位置 * 配对的 6 个等级 * 单个的 combin(5,3) 等级）。
• 直线：2*fact(5) / 6 ⁵ = 3.09%（直线的2个跨度{1-5或2-6} * fact(5) 方式排列顺序）。
• 无：((COMBIN(6,5)-2)*FACT(5)) / 6 ⁵ = 6.17%（combin(6,5) 种方法从六个等级中选择五个等级，减去 2 个直线等级，* fact(5) 种方法来排列顺序。

当然，这很简单。24 次投掷中至少掷出一个 12 的概率是 1-(35/36) ²⁴ = 49.14%。因此，押注 12 的赔率更高。这是一个聪明的赌注，因为 24 次投掷中 12 的预期次数是 2/3。然而，这并不意味着掷出 12 的概率就是 2/3，因为有时会掷出不止一个 12，而押注 12 的玩家在掷出第一个 12 之后不会再赢任何额外的 12。假设每次投掷的获胜概率为 p，投掷次数为 n，至少赢一次的概率为 w，那么用 p 和 w 来解 n 可得……

w=1-(1-p) ⁿ
1-w = (1-p) ⁿ
log(1-w) = log((1-p) ⁿ )
log(1-w) = n*log(1-p)
n= log(1-w)/log(1-p)

所以在你的例子中，n = log(1-.5) / log(1-(1/36)) = log(0.5) / log(35/36) = 24.6051。所以，如果24.6次投掷的成功概率是50%，那么24次投掷的成功概率肯定会略低。

一次掷六个骰子，掷出 123456 的概率可以表示为：prob(第二个骰子与第一个骰子不匹配) * prob(第三个骰子与第一个或第二个骰子都不匹配) * ... = 1*(5/6)*(4/6)*(3/6)*(2/6)*(1/6) = 0.015432。因此，连续六次掷出 123456 的概率为 0.015432 ⁶ = 74,037,208,411 分之 1。

合并（6,2）*（1/6） ⁴ *（5/6） ² = 0.008037551。

概率如下：

3个骰子：25.93%
4个骰子：48.77%
5个骰子：66.13%。

给定B，A的概率等于A和B的概率除以B的概率。在这种情况下，第一个骰子掷出4，然后另外两个骰子掷出总点数8的概率是(1/6)*(5/36) = 5/216。3个骰子掷出总点数12的概率是25/216，正如我的骰宝部分所示。所以答案是(5/216)/(25/216) = 5/25 = 20%。

您提到的两种方法是掷 17 次总共掷出 100 的唯一方法。掷出 16 个六和一个四的概率是 17*(1/6) ¹⁷ 。4 有 17 种可能的位置，每种序列的概率为 (1/6)*(1/6)*...*(1/6)，共 17 项。掷出 15 个六和 2 个五的方法数为(17,2) = 136。因此，掷出 15 个六和 2 个五的概率是 136*(1/6) ¹⁷ 。所以总概率为 (17+136)*(1/6) ¹⁷ 。= 1/110,631,761,077。

设 A = 选择正常骰子
设 B = 用随机选择的骰子掷出 6
答案 = Pr(A 给定 B) = Pr(A 和 B)/pr(B) = ((2/3)*(1/6))/((2/3)*(1/6)+(1/3)*1) = (2/18)/((2/18)+(6/18)) = 1/4。

有 6!/(4!*1!*1!) = 30 种方法可以按任意顺序排列这些数字。换一种理解，有 6 个位置可以放置 1，剩下 5 个位置可以放置 4，所以 6*5=30。以这个顺序得到 666614 的概率是^1/6 = 1/46656。将这个概率乘以 30，得出 30/46656 = 0.0643%，即 1/1552.2。

对于单个事件，如果概率为 p，则平均等待时间为 1/p，这的确没错。然而，对于连续事件，情况会变得更加复杂。设 x 表示最后一次掷出的结果不是 2 的状态。这也是初始状态。设 y 表示最后一次掷出的结果为 2 的状态。第一次掷出结果后，我们有 5/6 的概率仍处于状态 x，有 1/6 的概率处于状态 y。设 Ex(x) 表示从状态 x 开始的掷骰次数的预期，Ex(y) 表示从状态 y 开始的掷骰次数的预期。那么……

Ex(x) = 1 + (5/6)*ex(x) + (1/6)*ex(y)，且
Ex(y) = 1 + (5/6)*ex(x)

求解这两个方程...

Ex(x) = 1 + (5/6)*ex(x) + (1/6)*( 1 + (5/6)*Ex(x))
Ex(x) = 7/6 + (35/36)*Ex(x)
（1/36）*Ex（x）= 7/6
例如（x）= 36 *（7/6）= 42

因此连续两次掷出 2 的平均等待时间为 42 次。

我遇到了相同类型的问题，只有预期翻转才能得到两次正面，在我的数学问题网站上，请参阅问题 128。

根据掷骰次数，出现至少一个数字多次的概率如下：

我开始使用正态近似来解决这个问题，但超过100个点的概率太低，该方法不够准确。因此，我进行了825万次试验的随机模拟，其中101个点或以上的试验次数为127次。因此，概率约为65,000分之一。

设答案为 n。掷出 7 或 11 的概率为 8/36。求解 n：

（8/36） ⁿ = 1/41,400,000

log((8/36) ⁿ ) = log(1/41,400,000)

n × log(8/36) = log(1/41,400,000)

n = log(1/41,400,000)/log(8/36)

n = -7.617 / -0.65321

n = 11.6608

所以，超级乐透中奖的概率，相当于连续11.66次掷出7或11的概率。对于那些无法理解“部分投掷”的人，我建议将其理解为连续掷出11到12次的概率。

一次掷出五条的概率是 6*(1/6) ⁵ = 1/1,296。这是因为五条有六种不同的形式（一到六），而每次掷出该数字的概率是 (1/6)。掷不出五条的概率是 1-(1/1,296)=1,295/1,296。三次掷不出三条的概率是 (1,295/1,296) ³ =99.77%。因此，三次掷出至少一张五条的概率是 100%-99.77% = 0.23%。

如果某件事的概率是 p，那么平均需要 1/p 次尝试才能第一次发生。显然，第一次掷骰子时你会划掉一个数字。接下来掷出其他五个数字的概率是 5/6。因此，平均需要 1/(5/6)=6/5=1.2 次才能发生这种情况。按照这个推理，预期掷骰子次数为 (6/6)+(6/5)+(6/4)+(6/3)+(6/2)+(6/1) = 14.7。

希望您满意，我刚刚添加了一个新版块，专门解答类似这样的问题，适用于 1 到 25 个骰子。如五骰子表所示，掷出 12 的概率是 0.039223251028807。

恐怕你这次下注是赢了。先掷出两个7，再掷出6和8的概率是45.44%。以下是所有可能的结果。第一列是与下注结果相关的掷骰顺序，忽略所有其他结果。

基本上，6 和 8 是更好的选择，因为您可以按任意顺序击中这些数字：6 然后 8，或者 8 然后 6。如果有两个 7，则只有一种顺序，即一个 7 然后另一个 7。

六个六的概率是 (1/6) ⁶ = 1/46656。用六个骰子掷出 1,2,3,4,5,6 的概率是 6 ! /6 ⁶ = 1/64.8

1-(5/6) ^10-10 ×(1/6)×(5/6) ⁹ =51.55%。

掷出 7、11 或 12 的概率是 (6+2+1)/36 = 9/36 = 1/4。请参阅我关于骰子概率基础的部分，了解我是如何得出这个数字的。掷出其他点数的概率是 3/4。掷 5 次都未掷出 7、11 或 12 的概率是 (3/4) ⁵ = 23.73%。

虽说你没问，但我先来谈谈平均值。对于一个六面骰子，至少掷出每个面一次的预期次数是 (6/6) + (6/5) + (6/4) + (6/3) + (6/2) + (6/1) = 14.7。对于一个 n 面骰子，预期次数是 (n/n) + (n/(n-1)) + (n/(n-2)) + ... + n。所需掷骰子的中位数是 13。掷出 13 次或更少的概率是 51.4%，掷出 13 次或更多的概率是 56.21%。

对于大量投掷，我们可以使用高斯曲线近似。655次投掷中，预期出现7的次数为655 × (1/6) = 109.1667。方差为655 × (1/6) × (5/6) = 90.9722。标准差为sqr(90.9722) = 9.5379。您的78次投掷结果比预期值低109.1667 − 78 = 31.1667。这相当于(31.1667 - 0.5)/9.5379 = 3.22个标准差。低于预期3.22个或更多标准差的概率为0.000641，即1/1560。我在Excel中使用公式normsdist(-3.22)得出了这个数字。

谢谢你的赞美。你不应该说投掷结果非随机的概率是p。应该这样表述：一场随机游戏产生这种结果的概率是p。没人指望500次投掷就能证明或反驳任何事情。我并没有把79.5个7的点数定为79.5，但我怀疑这个点数是否具有统计学意义；相反，我怀疑这是一个双方都会同意下注的点。

2.5% 的显著性水平是与预期值相差 1.96 个标准差。这可以在 Excel 中使用公式 =normsinv(0.025) 计算得出。500 次投掷的标准差为 sqr(500*(1/6)*(5/6)) = 8.333。因此，1.96 个标准差等于 1.96 * 8.333 = 16.333 次，比预期值低。500 次投掷中出现七的预期次数为 500*(1/6) = 83.333。因此，比预期值低 1.96 个标准差等于 83.333 − 16.333 = 67。使用二项分布检验，出现 67 次或更少七的准确概率为 2.627%。

假设玩家总是持有出现次数最多的数字，则平均值为11.09。下表显示了在8260万次随机模拟试验中，掷骰次数的分布。

仅从最大化期望值的角度来说，玩家应该永远玩下去。虽然玩家最终输掉的概率是1，但在任何给定的决策点，期望值总是倾向于再次玩下去。这似乎是一个悖论。答案在于，有些事件的概率是1，但仍然可能不会发生。例如，如果你向0到10的数字线投掷飞镖，没有恰好击中π的概率是1，但这仍然有可能发生。

然而，从实际角度来看，存在一个临界点。这是因为金钱带来的幸福感并非与金钱的多少成正比。虽然人们普遍认为金钱越多越幸福，但你越富有，每一美元带来的幸福感就越少。

我认为回答这个问题的一个好方法是运用凯利准则。根据凯利准则，玩家在做每一个决定时都应该以最大化下注后资金的预期对数为目标。简而言之（我省略了很多数学运算），玩家应该不断加倍，直到下注金额超过其总财富的 96.5948%。财富应该定义为赢得的金额加上玩家在第一次下注前拥有的资金之和。例如，如果玩家的起始资金为 100,000 美元，他应该不断加倍，直到赢得 4,194,304 美元。此时，玩家的总财富将达到 4,294,304 美元。他将被要求下注 4,194,304/4,294,304 = 其总财富的 96.67%，这大于 96.5948% 的停止点，所以他应该退出。

假设这个问题的答案为 p。掷出总点数 6 的概率是 5/36，掷出总点数 7 的概率是 6/36。如果您不明白为什么，请参阅我关于骰子概率基础的部分。我们可以将 p 定义为：

p = Prob(第一次掷出 6) + Prob(第一次掷出未出现 6)*Prob(第二次掷出未出现 7)*p。

这是因为，如果前两次掷骰子后没有一个玩家获胜，游戏就会回到原始状态，玩家 A 获胜的概率保持不变。

因此，我们有：

p = (5/36) + (31/36)×(30/36)×p
p = 5/36 + (930/1296)×p
p * (1-(930/1296)) = 5/36。
p * (366/1296) = 5/36
p = (5/36)×(1296/366) = 30/61。

答案可以表示为 combin(n+5,n) = (n+5)!/(120×n!)。以下是 1 到 20 个骰子的答案。

感谢《应用组合学》的作者艾伦·塔克 (Alan Tucker)。

当然。那就是 Pr(2) ² + Pr(3) ² + ... + Pr(12) ² = (1/36) ² + (2/36) ² + (3/36) ² + (4/36) ² + (5/36) ² + (6/36) ² + (5/36) ² + (4/36) ² + (3/36) ² + (2/36) ² + (1/36) ² = 11.27%。

我想不出任何有用的理由来了解这些信息，但我经常被问到这种问题，所以我会迁就你。

从第一次掷骰开始，或从最后一次掷骰结束，得到一个指定的7的序列会稍微容易一些，因为这个序列有界于某一侧。具体来说，从第一次掷骰开始，或从最后一次掷骰结束，得到s个7的序列的概率是(1/6) ^s × (5/6)。5/6项是因为你必须在序列的开口端得到一个非7的点数。

在序列中间任意一点开始 s 个 7 的序列的概率是 (1/6) ^s × (5/6) ² 。我们将 5/6 取平方，因为玩家必须在序列的两端都拿到非 7 的点数。

如果掷出 r 次，则内侧序列有 2 个位置，连续 n 个 7 有 rn-1 个位置。将这些公式代入表格中，即可得出连续 7 的预期次数，范围从 1 到 10。“内侧”列为 2*(5/6)*(1/6) ^r ，“外侧”列为 (179-r)*(5/6) ² *(1/6) ^r ，其中 r 是连续 7 的个数。因此，我们预期连续出现两个 7 的概率为 3.46，连续出现三个 7 的概率为 0.57，连续出现四个 7 的概率为 0.10。

答案和解决方案可以在我的配套网站mathproblems.info问题 201 上找到。

如果你只考虑正多边形，并希望每个面都有相同的概率，那么你就只能考虑柏拉图立体。但是，如果你能取消对正多边形的要求，那么你也可以添加13个加泰罗尼亚立体。

回答你的另一个问题，没有，我从未在赌场里见过任何游戏使用除立方体以外的骰子。大约十年前，我在大西洋城的一个游戏展上看到过一款游戏演示，我记得它用的是菱形三十面体（加泰罗尼亚立体的一种），但我觉得它从未出现在赌场里。我每年都会在全球游戏博览会上看到一款游戏使用陀螺（类似陀螺），但可惜的是，我也没在赌场里见过。

掷三个骰子有 6 ³ = 216 种方法。其中六种组合会得到三条（1-1-1 到 6-6-6）。因此，得到三条的概率为 6/216 = 1/36。顺子有四种可能的组合（1-2-3 到 4-5-6）。同样，将三个骰子排列成顺子也有 3!=6 种方法。因此，有 4*6=24 种顺子组合。因此，得到顺子的概率为 24/216 = 1/9。

下表显示了从 3 到 18 的所有可能总数的组合数。

平均结果为 12.2446，标准差为 2.8468。

掷出 7 的概率是 1/6，掷出 12 的概率是 1/36。假设掷出的点数为 7 或 12，掷出 7 的概率为 (1/6)/((1/6)+(1/36)) = 6/7。因此，前六次掷出 6 或 12 时，每次都是 6 的概率为 (6/7) ⁶ = 39.66%。

如果你把问题改写成在掷出12之前掷出五个6的概率是多少，那么答案是(6/7) ⁵ = 46.27%。如果掷出四次，答案是(6/7) ⁴ = 53.98%。所以，在掷出12之前，不存在任何恰好50/50的7。如果你想赌一把，建议你要么在掷出12之前掷出四个7，要么在掷出五个7之前掷出一个12。

这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。

这里有一个实用技巧，由英国萨默塞特郡的罗伯特·古德汉（Robert Goodhand）提供。首先，在一行中放入六个“1”，两边分别围上五个“0”，如下所示：

这表示用一个骰子掷出 1 到 6 的组合数。我知道，这很明显。不过，请听我说完。如果是两个骰子，在底部添加一行，每个格子取上一行与其左侧五个格子之和。然后，如果您想继续，在右侧再添加五个虚拟零。这表示掷出总数为 2 到 12 的组合数。

如果掷三个骰子，只需重复即可。这将代表3到18的组合数。

要计算任意给定点数的概率，用该点数的组合数除以组合总数。如果是三枚骰子，其总和为 216，也可以很容易地计算为 6 的^{3 次方}。例如，三枚骰子掷出总点数 13 的概率为 21/216 = 9.72%。

所以对于 d 号骰子，你需要从 1 号骰子到 d-1 号骰子依次计算。这在任何电子表格中都很容易完成。

这是概率论史上的一个经典问题。很多人错误地认为答案是 18，因为掷出 12 的概率是 1/36，而 18×(1/36)=50%。然而，按照这个逻辑，掷 36 次得到 12 的概率应该是 100%，这显然不是。以下是正确答案。设 r 为掷骰次数。掷出非 12 的概率是 35/36。掷 r 次骰子中没有掷出 12 的概率是 (35/36) ^r 。因此，我们需要用以下公式解出 r：

（35/36） ^r = 0.5
对数（35/36） ^r = 对数（0.5）
r × log(35/36) = log(0.5)
r = log(0.5)/log(35/36)
r = 24.6051

所以没有一个整数答案。24次掷骰子中掷出12的概率是1-(35/36) ²⁴ = 49.14%。25次掷骰子中掷出12的概率是1-(35/36) ²⁵ = 50.55%。

如果你想押注，比如说你能在25轮中掷出12点，或者其他人在24轮中掷不出。无论哪种情况，你都能在均等投注中占据优势。

对于不熟悉游戏的人来说，进攻方和防守方都会根据战斗中各自拥有的军队数量，掷1到8个骰子。点数较高的一方获胜。如果平局，则防守方获胜。如果进攻方失败，他仍然可以在发起进攻的领土上保留一支军队。因此，他必须至少拥有两支军队才能进攻，这样如果他获胜，一支军队可以占领被征服的领土，另一支军队可以留在原地。

下表显示了根据所有 64 种骰子组合，攻击者获胜的概率。

下表显示了攻击者的预期收益，定义为pr(攻击者获胜)*(防御者骰子)+pr(防御者获胜)*(攻击者骰子-1)。结果显示，最大的预期收益是以8点进攻，对手以5点进攻。

为了方便其他读者理解，Yahtzee 指的是用五个骰子掷出五条的骰子。在 Yahtzee 游戏中，玩家可以保留任意一个骰子，然后重新掷出剩余的骰子。最多可以掷三次。

如果玩家愿意，可以重新掷出之前持有的骰子。例如，如果玩家第一次掷出的骰子是 3-3-4-5-6，他手中持有的是 3，第二次掷出的骰子是 3-3-5-5-5，那么他可以保留 5，并在第三次掷出的骰子上重新掷出 3。

下表列出了1至20次投掷中，相同面数的骰子的最大数量。该表显示，三次投掷中赢得Yahtzee的概率约为4.6%。

答案是50/50。无论掷多少个骰子，结果都是50/50，而不仅仅是两个。

有点跑题了，但我一直觉得奇偶组合下注是替代掷骰子游戏中令人畏惧的6/8大注的好方法。为了让赌场更有优势，以下是我建议的赔率表和分析。

平均掷骰次数与奖励结束事件的概率相反，后者的概率为1/6，因此玩家平均掷骰六次。然而，最后一次掷骰次数将是七次，因此平均每次奖励有五次获胜。

接下来，假设不是七，以下是每个总数的概率：

• 2 或 12：1/30
• 3或11：2/30
• 4或10：3/30
• 5或9：4/30
• 6或8：5/30

这是第 179 栏中提出的原始问题：如果反复掷两个骰子，直到发生以下任一事件，那么哪个事件更有可能先发生：

• 掷出的总数为六和八，顺序不限，允许重复。
• 总共掷两次，结果都是七。

你的改动是，同一个掷骰子不能同时帮助两个玩家。相反，他们轮流掷骰子，并且只有掷骰子的玩家可以使用该掷骰子。

答案取决于谁先掷骰子。如果先掷出需要六和八的玩家，那么他获胜的概率是 57.487294%。如果先掷出需要两张七的玩家，那么先掷出需要六和八的玩家获胜的概率是 52.671614%。我用一个简单的马尔可夫链过程解决了这个问题。

我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。

初始掷骰结果有 58 种不同的序列。我识别每种序列的方法是：先计算骰子面数，然后计算骰子面数第二的骰子总数，以此类推。例如，掷出 3,3,3,3,6,6,6,5,5,2 的概率表示为 4-3-2-1。下表列出了每种序列的组合数、掷出该序列的概率、第二次掷出相同点数 12 的概率以及两者的乘积。对于第二次掷出的概率，我假设玩家持有初始掷骰结果最大的骰子。右下角单元格显示的总概率为 0.0000037953，相当于 263,486 分之一。

点击下面的按钮获取答案。

这是我的解决方案。（PDF）

我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。

单击下面的按钮，查看几个可能对您有帮助的无穷级数公式。

[剧透=提示]

提示 1：对 n 求 i = 0 到 ∞ 的和ⁱ = 1 / (1-n)

提示 2：i = 0 到 ∞ 的 i × n 之和ⁱ = n / (1-n) ²

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[剧透=解决方案]

假设掷一个公平的六面骰子，直到出现1、2、3或6。如果1、2或3是这些游戏结束数字中第一个出现的，那么您什么也赢不了。如果6是这些游戏结束数字中第一个出现的，那么您每次掷骰子都会赢得1美元。这场比赛的平均赢利是多少？

提示 1：对 n 求 i = 0 到 ∞ 的和ⁱ = 1 / (1-n)

提示 2：i = 0 到 ∞ 的 i × n 之和ⁱ = n / (1-n) ²

预期赢利可以表示为 i = 0 到 ∞ 的 (1 + i) * (1/3) ⁱ * (1/6) 之和。=

（1/6）* (1/3) i 的 i = 0 到 ∞ 的总和⁺ （1/6）* (i * (1/3) ⁱ ) 的 i = 0 到 ∞ 的总和。

让我们逐一评估一下。

i = 0 到 ∞ 的和，其中 (1/3) ⁱ =

1 / (1 - (1/3)) =

1 / (2/3) =

3/2

i = 0 到 ∞ 的和 (i * (1/3) ⁱ ) =

（1/3）/（1-（1/3）） ² =

（1/3）/（4/9）=

（1/3）*（9/4）=

3/4

综合起来，答案是

（1/6）*（3/2）+（1/6）*（3/4）=

（1/4）+（1/8）=

3/8

我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。

[剧透=解决方案]

虽然这个问题可以用冗长乏味的马尔可夫链来解决，但我更喜欢用积分法。我在我的Fire Bet和Bonus Craps页面中解释了如何使用这种方法。

想象一下，重大事件不再由一次掷骰子决定，而是被视为一个时间瞬间。假设事件之间的时间间隔具有无记忆性，平均间隔为一个时间单位。换句话说，事件之间的时间间隔服从均值为1的指数分布。这对于裁决赌注来说无关紧要，因为事件仍然是一次一个地发生的。

根据泊松分布，在 x 个单位时间内，骰子任意一面掷出次数为零的概率为 exp(-x/6)*(x/6) ⁰ /0! = exp(-x/6)。泊松分布还表示，任意一面掷出恰好一次的概率为 exp(-x/6)*(x/6) ¹ /1! = exp(-x/6) * (x/6)。因此，任意一面在 x 个单位时间内掷出两次或两次以上概率为 1 - exp(-x/6)*(1 + (x/6))。六面掷出至少两次的概率为 (1 - exp(-x/6)*(1 + (x/6))) ^6。至少有一面未掷出至少两次的概率等于：

我们需要将其与所有时间结合起来，以找出平均需要多长时间才能实现预期目标。

幸运的是，我们此时可以使用积分计算器。对于链接中的那个，在“计算积分”后面的文本框中输入 1- (1 - exp(-x/6)*(1 + x/6))^6 dx = apx. 24.1338692，并在自定义下将积分的边界设置为 0 到 ∞。

答案是 390968681 / 16200000 = 约 24.13386919753086

我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。

[剧透=解决方案]

为了避免混淆，我们用字母而不是数字来标记初始骰子。我们用字母标记每个可能的骰子状态。例如，AAABBC 表示三个同种字母，两个同种字母，一个同种字母。初始状态显然是 ABCDEF。

令 E(ABCDEF) 为从状态 ABCDEF 开始的预期掷骰次数。

基于从一个状态到另一个状态的组合数量，下面的转换矩阵展示了从每个初始状态（左列）到每个新状态的转换方式数量。顺便说一下，这花了几个小时才构建好。

我不会长篇大论地讲解矩阵代数，只是假设矩阵 B 如下：

答案是矩阵 B 的行列式与矩阵 A 的行列式之比：

确定（A）= 1,461,067,501,120,670,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000

确定（B）= 14,108,055,348,203,100,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000

Determ(B) / Determ(A) = 约 9.65599148388557

[剧透=解决方案]

答案可以近似表示为 1 - (prob(没有 1) + prob(没有 2) + ... + prob(没有 6)) = 1 - 6*(5/6)^20 = apx. 0.84349568。

然而，这会导致双倍减去两种不同面从未掷出的情况。从六种面中选择两种面，一共有(6,2)=15种方法。任意两种给定面从未掷出的概率是(4/6)^20。我们需要将这些值加到概率中，因为它们在上一步中被减去了两次。所以，现在我们得到的结果是 1 - 6*(5/6)^20 + 15*(4/6)^20 = 约 0.84800661。

我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。

然而，如果任何一组从未掷出的三面在第一步中被三次减去，在第二步中被三次加去，我们需要将它们减去，因为六面中并非所有面都掷出了。从六面中选择三面共有 combin(6,3) = 20 种方法。任何特定的三面从未掷出的概率是 (3/6)^20。所以，现在我们得到的结果是 1 - 6*(5/6)^20 + 15*(4/6)^20 - 20*(3/6)^20= 约 0.847987537。

然而，如果任何一组从未掷出的四面在第一步中被减去四倍，在第二步中被加去四倍，在第三步中被减去四倍，我们需要将它们加回去，因为每个这样的状态已经被减去了两次。从六面中选择四面，共有 combin(6,4) = 15 种方法。任何特定的四面从未掷出的概率是 (2/6)^20。所以，现在我们得到的结果是 1 - 6*(5/6)^20 + 15*(4/6)^20 - 20*(3/6)^20 + 15*(2/6)^20 = 约 0.84798754089。

然而，如果20次掷出的点数都相同，那么第一步就应该减去五倍，再加去五倍，第三步再减去五倍，第四步再加去五倍。我们需要把这些点数减掉。所以，现在我们得到的结果是：1 - 6*(5/6)^20 + 15*(4/6)^20 - 20*(3/6)^20 + 15*(2/6)^20 - 6*(1/6)^20 = 约 0.84798754089。

所以答案是 1-6*(5/6)^20+COMBIN(6,4)*(4/6)^20-COMBIN(6,3)*(3/6)^20+COMBIN(6,2)*(2/6)^20-6*(1/6)^20 = 约 0.84798754089。[/剧透]

[剧透=解决方案]

这个问题可以用马尔可夫链来回答，但我更喜欢用微积分。关键在于，如果投掷间隔时间服从均值为1的指数分布，答案是一样的。也就是说，答案可以表示为从0到无穷大的积分：

1-(1-exp(-x/36))^2*(1-exp(-x/18))^2*(1-exp(-x/12))^2*(1-exp(-x/9))^2*(1-exp(-5*x/36))^2*(1-exp(-x/6))

您可以使用积分计算器轻松解决此类积分。

您也可以使用我的预期试验次数计算器来解决任何此类问题。

[剧透=更多评论]

很难解释为什么答案是无穷大。更令人困惑和矛盾的是，总数相等的概率是1。

下表显示了 1 至 16 次投掷后总数首次相同的概率。

Excel 显示与该曲线非常接近的拟合值为 y = 0.1784*x-1.011，其中 x = 滚动次数，y = 概率。

这个无穷级数的和是无穷大。

我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。

下表显示了任何类型的卷：

• 掷出此牌型的不同组合数。例如，对于葫芦，三条有六种组合，对子有五种组合，总共有30种不同的葫芦组合。
• 顺序数。例如，对于葫芦，有 combin(5,3)=10 种方法可以从五个骰子中选择三个组成三条。另外两个骰子必须组成对子。
• 给定牌型的掷出方式数量。这是前两列的乘积。例如，葫芦有 30 * 10 = 300 种掷出方式。
• 手牌的概率。例如，葫芦的概率为 300/6 ⁵ = 0.038580。
• 两次掷出相同点数且属于给定牌型的概率。这是第四列概率的平方除以第二列。例如，两次掷出相同点数的概率为 0.038580 ² 。然而，两次掷出相同点数的概率为 1/30。因此，两次掷出相同点数的概率为 0.038580 ² /30 = 0.00004961。

右下角单元格显示两次掷骰结果相同的总概率为 0.00635324。

为了像我一样使用微积分来回答这个问题，我推荐使用积分计算器，例如integral-calculator.com/上的那个。

这是我的解决方案（PDF）。

我在Wizard of Vegas论坛上提出过这个问题（用略有不同的措辞）并讨论过这个问题。

我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。

这个问题是在我的论坛“ 拉斯维加斯巫师”中提出并讨论的。

[spoiler=答案]20.989727251191...[/剧透]

这是我的解决方案（PDF）。

我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。

这是我的解决方案（PDF）。

> [剧透=解决方案]

让：

• p = 从初始状态开始首先掷出 12 的概率，或者当前一次掷出的点数不是 7 时。
• q = 上次掷出的点数为 7 时，首先掷出 12 的概率。

这就是所谓的马尔可夫链问题。

在我们讨论这一点之前，回想一下掷出总数 7 的概率是 1/6，掷出总数 12 的概率是 1/36。

我们可以根据 p 和 q 相互定义，如下所示：

• （1）p =（1/36）+（6/36）q +（29/36）p
• （2）q = (1/36) + (29/36)p

我们将公式 (1) 乘以 36：

36便士=1+6q+29便士
（3）7p = 1 + 6q

我们将 (2) 式中的 q 值代入 (3) 式中：

7p = 1 + 6*((1/36) + (29/36)p)
7便士=1+（1/6）+（29/6）便士
42便士=6+1+29便士
13便士=7
q = 7/13

因此，首先掷出 12 的概率是 7/13 =~ 53.85%。

因此，首先掷出两个连续 7 的概率为 46.15%。

因此，更有可能的是首先掷出总数 12。