彩票 - 常问问题

让我们试着重新表述这个问题。假设彩票有 1000 万种组合，所有玩家随机选择号码（允许重复），那么彩票需要售出多少张彩票才能使至少一人中奖的概率达到 90%？设中奖概率为 p，售出的彩票数量为 n。1 人输掉的概率是 1-p。n 人全部输掉的概率是 (1-p) ⁿ 。至少有一人中奖的概率是 1 - (1-p) ⁿ 。因此，我们需要将其设为 0.9，并解出 n。

.9 = 1 - (1-p) ⁿ
.1 = (1-p) ⁿ
ln(.1) = ln((1-p) ⁿ )
ln(.1) = n*ln(1-p)
n = ln(.1)/ln(1-p)
n = ln(.1)/ln(.9999999)
n = 23,025,850。

因此，彩票需要售出23,025,850张彩票，才能使至少一位中奖者的概率达到90%。如果你想知道，如果彩票恰好售出1000万张彩票，那么至少一位中奖者的概率将是63.2%，非常接近1-(1/e)。

答案中的一个因素是售给其他玩家的彩票总数。如果不止一位玩家中了头奖，奖金就必须由其他玩家分享。我们设可能的组合数为 n，售出的其他彩票总数为 t，小奖的回报率为 r（在大奖赛中，r=0.179612），j 为头奖金额。要使这笔投资达到盈亏平衡，j*n/(n+t) + r*n - n=0。结果为 j=(1-r)*(n+t)。

简而言之，不会，你永远不会中奖。通常情况下，6/49彩票的中奖概率是13,983,816分之一。你需要玩ln(.5)/ln(1-1/combin(49,6)) = 9,692,842次，才能至少有一次50/50的中奖概率。假设你每天买100张彩票，那么需要265.6年才能有50%的中奖概率。而要有90%的中奖概率，则需要882.2年。

设 f(x,y) 为 x 为某一花色、y 为另一花色的概率。该函数不限于两项。

有两个参数 f(x,y)= combin(13,x)*combin(13,y)*12/combin(52,5)。

有三个参数 f(x,y,z)= combin(13,x)*combin(13,y)*combin(13,z)*12/combin(52,5)。

有四个参数 f(w,x,y,z)=combin(13,w)*combin(13,x)*combin(13,y)*combin(13,z)*4/combin(52,5)。

全部四种花色的概率为 COMBIN(13,1) ³ *COMBIN(13,2)*4/combin(52,5) = 26.37%。

三种花色的概率为 COMBIN(13,3)*COMBIN(13,1) ² *12 + COMBIN(13,1)*COMBIN(13,2)^2*12/combin(52,5) = 58.84%

两种花色的概率为 COMBIN(13,3)*COMBIN(13,2)*12 + COMBIN(13,4)*COMBIN(13,1)*12/combin(52,5) = 14.59%

一种花色（包括顺子和同花大顺）的概率是 4*combin(13,5)/combin(52,5) = 0.20%。

因此，三种花色是最常见的结果。

不，我没有考虑奖金分割。这肯定会降低奖金的价值，玩的人越多，预期回报就越低。我写那篇文章的时候，没有足够的玩家数量信息来恰当地考虑这一点。

我理解你是想要彩票号码。抱歉，我在这方面并不比你更有办法。不过，我建议你根本不要参与赌博，尤其是如果你经济拮据的话。那边似乎有很多前将军和独裁者试图给我转账1700万美元，也许他们中会有人愿意给你提供奖学金。

另一位 Mike S.，赔率是多少？很多赛马场允许所谓的“二级”博彩，即必须以彩票或宾果游戏为基础。根据这条规则，提供老虎机的方式是在幕后进行彩票或宾果游戏，并将结果以老虎机赢钱的形式显示出来。例如，如果彩票游戏确定你赢了20倍的赌注，它就会显示任何支付20倍的老虎机符号。所以这是一个巧妙的幻象。

从 49 个号码中正确选出 6 个号码的中奖概率是 1/ combin (49,6) = 1/13,983,816。这也是您的两张彩票匹配的概率。

我做了一些研究，每次抽奖都会选六个号码。在任何一次抽奖中，数字 53 不出现的概率是( 89,6)/(90,6) = 93.333%。两年内会有 208 次抽奖。因此，在特定的两年期间，数字 53 不出现的概率是 0.93333 ²⁰⁸ = 0.000000585665，即 1,707,460 分之一。

两年内任何号码未中奖的概率可以近似地计算为90*(1/1,707,460) = 1/18,972。实际概率会略低于这个数字，因为我重复计算了两个未中奖的号码，这个概率可以忽略不计。当然，过去的赔率在彩票中并不重要，每次开奖选中53号的概率都是一样的。

首先，我们来确认一下概率。玩家必须从55个号码池中匹配5个常规号码，并从42个号码池中匹配一个强力球号码。中奖概率为(55,5)*42 = 1/146,107,962。所以我同意你的概率。对于像你这样的问题，我喜欢用泊松分布。中奖人数的平均值是105,000,000/146,107,962 = 0.71865。n个中奖者（平均值为m）的概率的通用公式是e ^-m *m ⁿ /n!。在本例中，平均值为0.71865，因此中奖人数为零的概率为e ^-0.71865 *0.71865 ⁰ /0! = 0.48741。因此，至少有一名中奖者的概率为 1-0.48741 = 0.51259。也就是说，0.71865 名中奖者需要分享 0.51259 的累积奖金。也就是说，每位中奖者需要分享 0.51259/0.71865 = 0.71327 个累积奖金。因此，如果中奖者分享累积奖金，您的预期中奖金额将降至累积奖金金额的 71.327%，即减少了 28.673%。

彩票永远是一笔糊涂买卖！简而言之，Powerplay 选项的回报率是 49.28%。单买强力球彩票的回报率就差远了，买 x/2 张带 Powerplay 选项的彩票比买 x 张不带 Powerplay 选项的彩票要划算得多。如果你想了解更多信息，我已经在我的彩票专栏里添加了关于这个选项的详细信息。

设答案为 n。掷出 7 或 11 的概率为 8/36。求解 n：

（8/36） ⁿ = 1/41,400,000

log((8/36) ⁿ ) = log(1/41,400,000)

n × log(8/36) = log(1/41,400,000)

n = log(1/41,400,000)/log(8/36)

n = -7.617 / -0.65321

n = 11.6608

所以，超级乐透中奖的概率，相当于连续11.66次掷出7或11的概率。对于那些无法理解“部分投掷”的人，我建议将其理解为连续掷出11到12次的概率。

根据印第安纳州彩票网站的数据，共有32.5万名彩票持有者获得了总计327万美元的奖金。假设所有彩票全部售罄，那么平均每张彩票价值10.615美元。以每张彩票20美元的成本计算，回报率为50.31%。如果只售出6万张彩票，那么每张彩票价值54.50美元，回报率为272.50%。盈亏平衡点是售出16.35万张彩票。如果您认为售出的彩票数量会少于这个数字，那么抛开税收和货币效用的影响，购买彩票是一个不错的选择。

我查看了纽约和加州的彩票网站。两个网站都表示，如果中奖者在全部奖金发放前去世，剩余的奖金将支付给中奖者指定的继承人或遗产。

确实如此，但事情并没有你想象的那么可疑。根据HC Tijms所著的《理解概率：日常生活中的机会规则》 ，1995年6月21日和1986年12月20日的双周开奖中，开出的号码是同一组。1986年12月20日的开奖是第3016次。6/49彩票的组合数为combin(49,6) = 13,983,816。第二次开奖号码与第一次开奖号码不匹配的概率为(c-1)/c，其中c为组合数，即13,983,816。第三次开奖产生一组不同号码的概率为(c-2)/c。因此，从第2次到第3016次开奖，每次开奖都产生唯一号码的概率为 (c-1)/c × (c-2)/c × ... (c-3015)/c = 0.722413。因此，至少出现一组相同号码的概率为 1 - 0.722413 = 0.277587，即 27.8%。下表显示了假设每周开奖两次，按年份开奖至少出现一对相同号码的概率。

6/49彩票中号码匹配的概率

年	可能性
5	0.009640
10	0.038115
15	0.083800
20	0.144158
二十五	0.215822
三十	0.295459
三十五	0.379225
40	0.463590
45	0.545437
50	0.622090
55	0.691985
60	0.753800
65	0.807008
70	0.851638
75	0.888086
80	0.917254
85	0.940000
90	0.957334
95	0.970225
100	0.971954

如果你想知道的话，匹配抽奖概率首次超过 50% 的抽奖次数是 4,404。

为了方便其他读者理解，新斯科舍省的体育彩票就像内华达州赌场的场外投注，只是赔率更低。随机抽奖者要获得给定选项的预期回报，需要先将每个结果的赔付金额的倒数相加，然后再取该和的倒数。

例如，在 2009 年 11 月 9 日星期一晚上的足球比赛中，他们有以下选择：

钢人队以 3.5 或以上获胜：赔率为 1.9
野马队以 3.5 分或以上获胜：赔付 1 赔 3.25
胜负差距为3分或更少：3.65比1

倒数之和为 (1/1.9) + (1/3.25) + (1/3.65) = 1.107981。该数字的倒数为 1/1.107981 = 0.902543。因此，预期回报率为 90.25。对于过关投注，取所有投注回报率的乘积。

我查看了几场赛事，每场赛事的回报率在 75.4% 到 90.3% 之间（来自上例）。平均值为 82.6%。基于该平均值，以下是按投注次数计算的预期回报率：

2：68.2%
3：56.3%
4：46.5%
5：38.4%
6：31.7%

我确实认为，在决定购买彩票时，这是一个应该考虑的因素，尽管它的影响可能不大。为了回答您的问题，我使用了lottoreport.com 网站上的头奖金额和销售数据。我查看了 2008 年 1 月以来的强力球彩票数据，因为该网站目前只有这方面的数据。我还查看了 2005 年 6 月以来的超级百万彩票数据，当时规则有所调整。下表总结了我的结果。

强力球和超级百万彩票的分割奖金

物品	强力球	超级百万
赢得大奖的概率	195,249,054分之1	175,711,536分之一
提供的平均累积奖金	73,569,853美元	65,792,976美元
每次抽奖的平均销售额	23,051,548 美元	25,933,833美元
每期抽奖的平均预期获胜者	0.118	0.148
每次抽奖中分红奖金的平均概率	0.74%	1.29%
因共享大奖而造成的回报损失（未经调整）	4.01%	6.59%
因共享大奖而造成的回报损失（已调整）	1.41%	2.31%

因此，强力球彩票中头奖被分割的平均概率为 0.74%，超级百万彩票中头奖被分割的概率为 1.29%。随着头奖金额的增加和彩票销量的上升，分割头奖的概率也会随之上升。超级百万彩票中头奖被分割的概率之所以更高，是因为中奖概率更高，而且来自其他玩家的竞争也更激烈。

综合考虑所有因素，我得出的结论是，强力球彩票因奖金分享机制损失了4.01%，超级百万彩票则损失了6.59%。然而，这些数字并未考虑税收，也未考虑奖金以年金的形式支付。为了进行调整，我假设玩家只能获得一半的奖金，要么选择一次性领取，要么选择年金支付。我还假设剩余奖金的30%用于纳税，因此扣除这两个因素后，中奖者预计可以获得35%的奖金。经过调整后，我得出的结论是，强力球彩票因奖金分享机制损失了1.20%，超级百万彩票则损失了1.98%。

这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。

你指的肯定是Ca$h WinFall游戏。我第一次知道这个游戏是在boston.com网站上，文章《少数知识渊博者也能玩转横财的游戏》 。

累积彩票的头奖金额巨大，回报率超过100%的情况并不罕见，这还不包括税收、年金支付、中奖几率低以及巨额头奖带来的金钱效用递减。考虑到这些因素后，彩票几乎从来都不是一个好的选择。

Ca$h WinFall 游戏的独特之处在于，当累积奖金超过 200 万美元而无人中奖时，他们会将除 50 万美元之外的所有奖金滚存到较低的奖项中。这使得拥有六位数资金的团体几乎可以确保获得巨额利润。

让我们以最近的2011年7月18日开奖为例。这是一个简单的6-46游戏，玩家从1到46中选择六个号码，彩票也是如此。您的号码与彩票号码匹配的次数越多，您赢得的奖金就越多。下表显示了每种情况的概率和回报。中两个号码的奖金是一张免费彩票，我将其单独显示为价值26美分。每张彩票售价2美元，因此回报列是概率与奖金的乘积除以彩票价格。右下角的单元格显示预期回报率为117%，即玩家优势为17%。

自从我最初写下答案以来，根据文章《彩票限制boston.com上的高级别玩家》的说法，马萨诸塞州彩票已经将每家门店每天可售彩票的数量限制为2500张，即价值5000美元。这显然会让赢得巨额奖金变得更加困难，但对于资金较少的玩家来说，这可能是件好事，因为它可以最大限度地减少来自其他玩家的竞争。“roll-down”的奖金有限，所以竞争越少越好。如果我住在马萨诸塞州附近，我肯定会至少尝试一下。

这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。

对于那些不熟悉这个故事的人来说，魁北克彩票提供了一款名为“Extra”的游戏。机器会随机抽取一个7位数字，玩家必须从随机抽取的数字中按顺序匹配尽可能多的数字。匹配的数字可以任意方向排列。最低奖金为2美元，如果只匹配最右边的数字。最高奖金为100万美元，如果匹配所有7位数字。

诉讼中的原告注意到，如果你购买了10个Extras，那么游戏会从每个数字的首位和末位中各抽取一个。换句话说，如果你只看首位或末位，你就会看到从0到9的所有10个数字。原告声称，这只给了他们两次中奖机会，而且并非随机的。

我明白他们的意思。那款游戏几乎所有的差异都来自于100万美元的头奖。十张完全独立的随机彩票的标准差是1002.845。而魁北克彩票的做法是，同时购买的十张彩票的标准差几乎相同，都是1002.833。

我认为，如果玩家购买多张快速选号彩票，每张彩票都应该相互独立。然而，我认为这起2000万美元的诉讼几乎毫无意义。如果我是法官，我会判给原告1美元。

这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。

下表列出了魁北克彩票中出现的三个最常见号码组合。这些彩票来自2010年1月30日开奖的366,518张彩票。对于那些不了解第三组号码规律的人来说，它们就是“Lost”号码，它们在那期节目中扮演了重要角色。

通过推断，如果乐透 6/49 游戏抽取的数字是 7-14-21-28-35-42，那么头奖将被数千名玩家瓜分，每人只能获得头奖的 0.03%。

我的建议是，如果您必须购买彩票，就选择快速选择。

不，我不同意。这是一篇糟糕的新闻报道，Business Insider 应该为此感到羞愧。

首先，这篇文章发表于2013年12月17日，即当晚6.36亿美元开奖之前。让我们用数学方法评估一下一张1美元彩票的价值。下表显示了6.36亿美元头奖所有可能结果的概率和预期回报，其中未考虑一次性罚款、税费和奖金分配等因素。由于数字较小，前三个概率以科学计数法表示。


这表明，一张1美元的彩票将获得2.630864美元的回报。扣除彩票成本后的预期利润为1.630864美元。Business Insider的利润为1.632029美元。虽然差额为0.001164美元，但并不算什么。

然而，有三件事会显著降低其价值：

1. 一次性罚款。
2. 税收。
3. 分享奖金。

让我们逐一看一下。

大型彩票累积奖金通常以约30年期的年金形式发放，包括超级百万彩票 (Mega Millions)。如果中奖者想一次性获得所有奖金（大多数人都这么做），就必须接受大幅减免。这很公平，因为今天的一美元比未来的一美元更值钱。在2013年12月17日的开奖中，总奖金减少至3.476亿美元，相当于公布奖金的54.65%。

接下来，我们来看看税收。联邦边际所得税率最高为39.6%。州税从0%到12.3%不等，所以我们假设平均税率为6%。扣除45.6%的税款后，剩余1.891亿美元。

现在是最棘手的部分——奖金分享。值得注意的是，从 2013 年 10 月 22 日的抽奖开始，Mega Millions 将规则改为 75-15 格式，即从 1 到 75 中抽取五个号码，然后从 1 到 15 的另一个号码池中抽取一个号码。这将中奖概率降低到 258,890,850 分之一，显然是为了获得更大的奖金。仅查看此后的 17 次抽奖，使用LottoReport.com的奖金和销售数据，我发现奖金数额和需求之间存在指数关系。顺便说一下，我在强力球彩票中也发现了同样的情况。使用指数回归，我计算售出彩票总数（以百万计）的公式是 12.422 × exp(0.0052 × j)，其中 j 是奖金数额（以百万计）。例如，如果头奖金额为 6.36 亿美元，预期销售额为 12.422 * exp(0.0052*636) = 3.392 亿美元。实际销售额为 3.37 亿美元，非常接近。

根据实际售出的彩票数量 336,545,306 张，我们预计中奖人数为 336,545,306/258,890,850 = 1.300 人。关键问题是，如果您中奖了，预计会有多少人分享奖金？根据泊松分布，这个问题很容易回答。假设平均中奖人数为 1.3 人，那么恰好有 x 人中奖的概率为 exp(1.3)×1.3 ^x /fact(x)。下表列出了 0 到 10 位其他中奖者的概率、您在每种情况下获得的奖金份额以及假设您中奖后的预期份额。



右下角的单元格显示，您可以保留 55.96% 的资金，其余 44.04% 将归于那些您必须与之分享的其他获胜者。

现在，我们的6.36亿美元头奖已降至1.891亿美元 × 55.96% = 1.058亿美元。让我们看看以这个数字作为头奖，回报表会是什么样子。



右下角单元格显示预期回报率为 58.29%。换句话说，你投资 1 美元，预期能获得约 58 美分的回报，预期损失（或赌场优势）约为 42%。这听起来像是在告诉你应该买彩票吗？

文章称，“因此，只要售出的彩票数量少于 7.3 亿张（目前这种情况很有可能发生），彩票的预期价值就应该为正，因此您应该考虑今天购买一张百万大奖彩票。”

虽然销量远低于7.3亿，但这个数字仍然很糟糕。不过，平心而论，文章接下来还说了以下内容：

请记住，这项分析有很多需要注意的地方。税收可能会严重影响你的预期收益——联邦政府将收取约40%的税款，而你的家乡州则会收取0%到13%左右的税款。

很多人都在买彩票，正如上文所讨论的，这将大大增加平局的概率，并减少随之而来的赔付。”——《商业内幕》

这些都是非常重要的警告！它们不应该只是在文章末尾顺便提及，而应该从一开始就纳入分析之中。

不是你问的，但我发现数学告诉你永远不要玩超级百万彩票。考虑到彩票需求呈指数级增长，根据头奖金额，我认为最佳投注时机是5.45亿美元的头奖。如果头奖金额超过这个数字，你就得和太多其他中奖者分享了。在这个头奖金额下，玩家预期回报率为60.2%，损失为39.8%。这已经是最好不过了。

最后，不，我不同意《商业内幕》用耸人听闻的标题欺骗读者，并且没有对税收和奖金分配进行适当的分析。

我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。

如果我们忽略税收、年金对累积奖金的影响以及累积奖金分配的影响，那么如果累积奖金超过 224,191,728 美元，您应该启用“仅限累积奖金”选项。如果我们确实考虑了这些因素，那么您不应该启用“超级倍增器”，而应该启用“超级倍增器”。

欲了解更多信息，请参阅我的“百万大奖”彩票页面。

是的。大多数乐透彩票游戏的庄家优势接近50%。因此，假设一场投注金额为2美元、头奖金额为100万美元且没有小奖的彩票游戏，中奖概率需要达到0.5*(2/1000000) = 百万分之一，才能保持50%的庄家优势。

这是我的策略，可以将 2 美元变成 1,000,000 美元，而且胜算更大。

• 首先在双零轮盘赌中对任意数字下注 2 美元。在拉斯维加斯的一些赌场，例如埃尔科尔特斯赌场和南角赌场，最低投注额为 2 美元。如果赢了，最高可获得 72 美元。
• 接下来，把这72美元再押注一个单号。如果赢了，你的奖金将达到2,592美元。
• 接下来，带着这 2,592 美元去拉斯维加斯大道上的一家高端赌场，比如永利、威尼斯人或百乐宫。用你在轮盘赌中赢到的 2,592 美元在百家乐的庄家赌注上押注。一共押注九次，每次都押上全部筹码。第九次获胜后，你的奖金将达到 1,056,687 美元。你的第九次赌注是 541,891 美元，我敢肯定，如果这些赌场看到你当着他们的面赢了这么多钱，他们肯定会收下这笔钱。

双零轮盘赌中单号投注的胜率是 1/38。百家乐中庄家投注的胜率是 50.6825%，不包括平局。因此，轮盘赌中两次胜出、庄家投注九次胜出的概率是 (1/38)^2 × 0.506825^9 = 1/654,404。这比彩票中百万分之一的胜率要高，而且你还能赢得一百多万美元。

首先，我们来计算任意给定游戏号码，5天中恰好有3天出现相同号码的概率。答案是 COMBIN(5,3)*(1/80)^2*(79/80)^2 = 0.001523682。这是从5天中选出3个匹配日期的方式数乘以第二天和第三天与第一天匹配的概率乘以其他两天不匹配的概率。

因此，对于任何给定的比赛号码，5 天中不存在 3 场比赛的概率为 1 - 0.001523682 = 0.9984763。

300 天内不发生这种情况的概率是 0.9984763 ³⁰⁰ = 63.29%。

因此，另一种可能性是，5 天中有 3 天至少有一个抽奖号码与相同的靶心号码匹配，其概率为 36.71%。

我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。

我不会深入讨论所有的数学问题，但以下是多个获胜者与只有一个获胜者的可能性相同的累积奖金点：

• 强力球：9.75亿美元
• 超级百万：16.5亿美元

并不是您问的，但这里列出的是至少有一个获胜者的概率等于没有获胜者的概率（50％）。

• 强力球：7.04亿美元
• 超级百万：8.67亿美元

这个问题是在我的“拉斯维加斯巫师”论坛中讨论过的。

首先，我们来了解一下规则。投注额为2美元。游戏规则是，从43个球中抽出5个球。赔率表如下：

• 第 5 场比赛 = 大奖
• 数学 4 = 200 美元
• 第三场比赛 = 10 美元
• 第二场比赛 = 2 美元

此外，玩家还会得到一张刮刮卡，我猜是一张刮刮卡。这张卡有 1/80 的概率支付 6 美元，1/5 的概率支付 2 美元。

下表是我对基础游戏的分析。结果显示，中2到4个号码的价值为0.287784美元。

下表展示了我对“快速现金”即时赢取功能的分析。右下角单元格显示的价值为 0.475 美元。

因此，非累积奖金的价值为 0.287784 美元 + 0.475000 美元 = 0.762784 美元。

设 j 等于盈亏平衡的累积奖金金额。则：

2 = 0.762784 + j × (1/962598)
1.237216 = j × (1/962598)
j = 1.237216 × 962598
j = 1,190,941.95 美元。

总回报率为 0.381392，加上每 100,000 美元大奖的 0.051943。

正如问题中所述，所有这些都忽略了税收和奖金分享。

我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。

我对所有形式的赌博的建议都是基于最大化玩家的预期回报。在我25年的赌博分析生涯中，这个策略一直让我受益匪浅，而你是第一个因此攻击我的人。

然而，我始终乐于考虑其他观点。为此，我们假设一位玩家对刺激性和价值同样在意。这位玩家不会满足于低波动性的游戏，而是渴望赢得所有赌注，否则就输掉比赛。为了量化此类玩家的任何特定下注，我创建了一个统计数据，我称之为“刺激商数”。我将其定义为标准差与风险因素的比率。提醒一下，风险因素是玩家预期损失与牌局结束时平均下注金额（包括后续下注，例如二十一点中的加倍和扑克变体中的加注）的比率。

下表按从高到低的顺序列出了各种赌场游戏和投注的刺激指数。它确实表明，对于追求刺激的玩家来说，超级百万彩票能提供最刺激的投注体验。

*：百万大奖的赔率不考虑年金或税收。
**：二十一点假设有六副牌，二十一点赔率为 3-2，庄家拿到软 17，允许分牌后加倍，允许投降，允许重新分牌 A。

感谢您的评论和侮辱。

我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。