⼆⼗⼀点 - 基本策略（特定牌型）

谢谢你的赞美，吉姆。是的，即使有人建议你晚点投降，你仍然应该分牌。即使分牌后不能加倍，你也应该拒绝投降。基于两副牌的游戏，分牌后不能加倍，那么分牌8对10的预期值为-0.480673，比投降的-0.5要好。

尽管他们声称拥有“世界上最自由的二十一点规则”，但在马蹄铁赌场（Horseshoe）或金门赌场（Golden Gate）街对面，却有更好的单副牌游戏。拉斯维加斯俱乐部（Las Vegas Club）的六副牌才是真正对玩家不利的。别因为被他们的招牌所蒙蔽而感到难过，我年轻时也曾上当受骗，那时我还不知道规则变化的后果。

更新：这个问题之后，拉斯维加斯俱乐部修改了规则，在他们所谓的“世界上最自由的二十一点规则”中，对二十一点的赔率是6比5。6比5甚至不能算作真正的二十一点游戏。在任何普通的3比2游戏中，你的赔率都要高得多，这种游戏在其他地方很容易找到。

单副牌二十一点的规则通常很严格。牌面朝下发牌。加倍通常限制在9比11或10比11。庄家拿到软17点后加倍，分牌后可能不允许加倍。如果二十一点的赔率低于3比2（单副牌游戏通常如此），请务必不要玩。

您可以在我的“拉斯维加斯巫师”网站上随时查看拉斯维加斯相对较新的二十一点规则。

无论是谁告诉你放弃两张 8 的，他都给了你错误的建议，假设美式后期投降。为了说明为什么你应该在面对 10 时分牌 8，请查看我的二十一点附录 9b 。这显示了任何给定玩法的任何初始情况的预期回报。该表显示，如果允许在分牌后加倍，则在双副牌中将 8 分牌对抗 10 的预期回报为 -0.4706。换句话说，你平均预计会损失 47.06% 的初始赌注。这低于你因投降而损失的 50%。如果不允许在分牌后加倍，那么回报率是 -0.4801，同样高于 -0.5。将 8 分牌对抗 9 或 A 的回报甚至更高。

在二十一点游戏中，很少有简单的答案。你必须考虑所有可能发生的情况，并根据概率权衡每个结果。最佳玩法是预期回报最大的玩法。根据我的二十一点附录 9b ，在双层牌局中，用软 18 对抗 A 的预期回报是 -0.1004，停牌的预期回报是 -0.1005。因此，要牌只是稍微好一点。用 11 对抗 A 也是一种非常边缘的玩法。实际上，在单层和双层牌局中，它都取决于牌型，换句话说，取决于哪两张牌的总数为 11 来决定如何出牌。但是，如果你不想记住与牌型相关的基本策略例外，那么你应该在单层和双层牌局中用 11 对抗 A 时加倍下注，并用四副或更多牌要牌。

这是看待投保决策的另一种方式。投保等额赌注的预期回报显然是 1.0 个单位的赌注。为简单起见，我们假设一副牌的数量是无限的。庄家拿到黑杰克的概率是 4/13，否则是 9/13。如果庄家拿到黑杰克，你就推牌。如果没有，那么你就赢 1.5 个单位。不投保的预期值为 (4/13)*0 + (9/13)*(1.5) = 13.5/13 = 1.0384615，大于 1.0。因此，拒绝投保或等额赌注并继续玩牌是更好的选择。在实际游戏中，如果牌组数量有限，赔率会更高，因为（你手中的）牌组中已经有一张 10，这降低了庄家拿到黑杰克的概率。

“你不可两面下注。”——《赌博十诫》（第七条）

这会是一个糟糕的玩法。例如，我的二十一点附录 9B展示了用 10 和 6 张牌对抗庄家 7 点牌的两种情况的回报。拿牌的预期损失为赌注的 39.6%。然而，停牌的预期损失为 47.89%。我无法轻易解释为什么拿牌更好。你必须考虑所有可能发生的情况，用概率加权，然后取总和。总的来说，拿牌是两种糟糕玩法中更好的选择。

谢谢你的赞美。在统一游戏 (Unified Gaming) 的二十一点游戏中，只有当庄家亮出 10 点时，你才应该使用附录六。当庄家亮出 A 点时，统一游戏 (Unified Gaming) 的基本策略没有例外。

请参阅我的拉米牌页面，拉米牌是在哥斯达黎加流行的二十一点变体。

在我所有的单副牌二十一点策略中，这都是正确的玩法。原因是拿到第三个7的概率只有2/49，大约是4.08%。相比之下，双副牌的概率是6/101，也就是5.94%。由于赢庄家20的希望不大，最好是拿牌，或者如果可以的话投降。没错，这确实推翻了我之前建议的用14来对付10的建议。

我也不喜欢这个说法。它充其量只是一种记忆手段，帮助人们记住，如果庄家的牌是7到10，就应该打硬牌。没有一条简单的经验法则适用于所有情况。

附录1基于无限套牌。你提到的两种牌型都是边界牌型，套牌数量会影响哪种打法更好。例如，A-4 对抗 4 时，用 26 副牌加倍，用 27 副牌要牌。A-2 对抗 5 时，套牌数量也介于 8 副牌到无限副牌之间。

我煞费苦心地编写了二十一点附录 9A-9H 来解答这类问题。例如，在六副牌的游戏中，如果庄家在软 17 点停牌，您可以使用二十一点附录 9G。从中可以看出，如果庄家拿到两张 10 点，而庄家拿到 6 点，停牌的预期收益为 0.702826。在这种情况下，分牌的预期收益为 0.622165。因此，玩家停牌比分牌可以多赢 8.07%。不要太在意其他玩家在二十一点牌桌上的言行。

虽然这局牌势均力敌，但停牌是第三糟糕的选择。使用我的二十一点附录9G，我们可以得出以下预期收益：

• 支架-.536853
• 命中 -.535361
• 拆分 -.474733
• 双倍 -1.07022

分牌是最佳选择，因为它能将牌局的总损失降至最低。加倍和分牌的预期收益基于该牌局相对于初始下注的总收益。例如，如果你的初始下注是100美元，然后你分牌，所有因素加起来，总预期损失为47.47美元，低于不加注的预期损失53.69美元。

是的，只要你一直拿到10，就应该继续分牌。玩一手牌输了并不能证明什么。必须双向玩数百万手牌，并将结果汇总起来，才能真正找到最佳玩法。

请记住，大多数赌场不允许您这样做。但是，如果可以，您应该只在 6 上加倍。无论庄家是否拿到软 17 点，这都是正确的。如果庄家在软 17 点上停牌，那么面对 5 点，拿牌的预期回报是 0.162849，加倍是 0.148228，所以拿牌是更好的玩法。面对 6 点，拿牌的预期回报是 0.189020，加倍是 0.196249。所以加倍是更好的玩法。您可以在我的二十一点附录 9e中亲自查看这些数字。关于您的另一个问题，是的，在 4 副牌的游戏中，玩家应该拿 10.2 对抗 4，但前提是庄家在软 17 点上停牌。我自己没有列出 4 副牌基本策略例外，因为例外很少，而且差别很小。遵循这个例外情况，你每113396手就能赢更多单位，或者说，赌场优势降低0.000882%。在我看来，不值得费心记住这个例外情况。

这是一个有趣的情况。虽然在单副牌中，15点对10点时你应该有5/6的概率投降，但总是要牌总比总是投降要好。以下是每次要牌凑成15点的预期收益。

10+5

-.501091

9+6

-.509827

8+7

-.474794

有四种方法可以凑成10+5，而其他两种方法各只有1种。因此，在一副牌中，如果点数为15，而点数为10，则总预期回报为 (4/6)*-.501091 + (1/6)*-.509827 + (1/6)*-.474794 = -.498164。换句话说，点数为10、5和9、6的概率略高，而点数为8、7的概率则高得多。8、7的预期回报更高的原因是，牌堆里仍然有5和6，因此点数为20或21的概率更大。

是的，在这种情况下，您可以加倍或分牌。最高限额适用于初始下注。如果限额为 200 美元，您也可以玩多手 200 美元的牌。

是的！好问题，连我都不知道这一点。牌堆越少，牌的数量越多，这种情况就越明显。为了测试最有可能击中的情况——8 副牌堆，只有 3 张牌——我用我的组合程序运行了所有可能的情况。下表显示了结果。

底行右侧的两个数字表明，要牌的总体预期值为 -0.540355，停牌的总体预期值为 -0.540293。因此，停牌是略微更好的打法。遵循这条规则，每 1117910 手牌就能额外获得一个单位。这条建议需要玩家每周玩 40 小时的二十一点，大约需要 5 年时间才能让他节省一个单位。

是的，我对两张牌的牌型列表做了一些修改。我删除了“9+3 对 3”，并添加了“10+2 对 6”。在单副牌游戏中，如果庄家拿到软 17 点停牌，而玩家拿到 10+2 点，庄家拿到 6 点，那么拿牌的预期值为 -0.159436，而停牌的预期值为 -0.160379。因此，拿牌的平均损失较小。我不想对基本策略给出简明扼要的答案，因为牌的出牌方式多种多样。庄家拿到 6 点爆牌的概率更大。然而，正如你所说，庄家拿到 6 点而不是 5 点时，拿到 17 点的可能性也更大。17 点不是好牌，会促使玩家拿牌并试图击败它。

为了简单起见，我们继续使用你的例子，假设你击中了，获胜的概率是70%，失败的概率是30%。击中的预期值为0.3*1 + 0.7*-1 = -0.4。这大于投降的预期值-0.5。

我曾多次被问及这个问题，并始终坚持认为，尽管输掉了全部赌注，但抽牌分牌A的选择克服了欧洲的“不偷看”规则，因此分牌是更好的玩法。基于一副牌，每手牌的预期价值（考虑到庄家拿到黑杰克的可能性）为：要牌-0.532849，分牌-0.223277。因此，分牌比四副牌更好，大约31%的单位。对于四副牌的游戏来说，分牌也是更好的选择，Microgaming 的玩家不应该玩四副牌游戏，因为有同样规则的单副牌游戏可供选择。

我花了好几年才自己弄好分牌对子。Gambling Tools的 Cindy 给了我很大的帮助。Peter Griffin 在《二十一点理论》第 11 章中也谈到了这个话题。假设我想计算庄家 2 点时分牌 8 的期望值。最多可以重新分牌 4 手。以下是我的做法。

1. 从鞋子里取出一张 2 和两张 8。
2. 确定玩家不会在任何一手牌中拿到第三个八的概率。
3. 遍历除 8 之外的所有点数，从牌堆中减去该点数，用该点数和 8 打出一手牌，确定期望值，然后乘以 2。假设另一个 8 的概率为零，则确定每个点数对应的概率。将每个点数对应的概率与期望值进行点积。
4. 将此点积乘以步骤 2 中的概率。
5. 确定玩家重新分牌为 3 手的概率。
6. 从牌堆中再取出 8。
7. 重复步骤 3，但乘以 3 而不是 2。
8. 将步骤 7 中的点积乘以步骤 5 中的概率。
9. 确定玩家重新分牌为 4 手的概率。
10. 从鞋子里取出另外两个 8。
11. 重复步骤 3，但乘以 4 而不是 2，这次考虑获得 8 作为第三张牌，对应于玩家被迫停止重新分牌的情况。
12. 将步骤 11 中的点积乘以步骤 9 中的概率。
13. 添加步骤 4、8 和 12 中的值。

最难的部分是第三步。我有一个非常难看的子程序，里面全是我用概率树计算的长公式。当庄家拿到10或A时，它就变得特别难看了。

你说得对，一般来说，拿到软17点对庄家有利。但这只是一个普遍规律，并非适用于所有情况。当你手牌强到18到21点时，你希望庄家在软17点停牌。然而，如果你手牌弱到17点以下，你希望庄家拿到软17点。举个策略差异的例子：当庄家拿到软17点时，你应该用软19点对6加倍；如果庄家拿到软17点停牌，你应该停牌。这是因为加倍很可能抽到坏牌，导致点数达到16点或更低。当庄家拿到软17点时，他爆牌的次数更多，所以在这个例子中，加倍会更安全一些。

谢谢你的赞美。要回答你的问题，荷官会直接问你想做什么。通常情况下，二十一点的所有决定都必须清晰可见，但这是我能想到的唯一例外。不过，如果你想避免轮到你时被问到，只需举起食指表示你想要一张牌。大多数荷官都知道这意味着什么。巧合的是，我昨天才知道，在保加利亚，如果你想加倍，就把额外的赌注放在原赌注后面；如果你想分牌，就把额外的赌注放在原赌注旁边。

另一位读者写信说，在北达科他州，州法律规定要遵循保加利亚规则来处理加倍和分割。

如果玩家可以选择加倍下注并停牌，那会比传统的加倍更好。因此，在这种情况下，拿牌实际上对玩家的牌不利，但为了赢得双倍的筹码，这样做是值得的。

是的，基本策略假设庄家没有10。即使在庄家不过牌的欧洲，要牌/停牌策略也是一样的，因为如果庄家有黑杰克，玩家就毫无希望了。假设庄家有一张A，而没有黑杰克，庄家在软17点停牌时，拿到17点或以上的概率是83.3%。所以停牌甚至不是一个很危险的玩法，要牌的概率绝对更大。

不。只要你只输掉原始赌注，就应该假设庄家没有黑杰克。如果庄家真的有黑杰克，你也无能为力。

哦，赌博就是要冒险。成功的赌徒不会试图最大化每手牌的净赢概率，而是会冒险最大化他的总回报。无论是在赌博还是在生活中，有时为了长期利益，都必须承担短期风险。所以，少考虑现在，多考虑未来。

在二十一点转换游戏中，玩家应该更积极地要牌，因为庄家点数为22点会导致平局。在常规二十一点游戏中，停牌的价值很大程度上体现在庄家爆牌时。而在二十一点转换游戏中，许多庄家的赢牌都会转化为平局，相比之下，要牌是更好的选择。

我确信这个问题已经有人回答过了，但这是个好问题，所以我再回答一次。以下是一些边缘玩法，以算牌指数为零为依据。此列表适用于多副牌的情况，其中庄家在软17点停牌，允许分牌后加倍。最佳玩法列在最前面，其他玩法列在后面。

• 9 对 2（击中/加倍）
• 12 对 4（停牌/要牌）
• 12 对 6（停牌/要牌）
• 16 对 10（要牌/停牌）
• 软 13 对 5（加倍/击中）
• 软 15 对 4（加倍/击中）
• 3、3 对 2（分牌/要牌）

不，下注后直到牌局结束都不能动你的筹码。投降的信号是用食指在二十一点牌桌上，从左到右，在你的筹码后面假装画一条线。我之前甚至不知道这一点，直到最近一位欧洲朋友在牌桌上做了这个动作。直接说“投降”也一样有效。

原因是，如果庄家拿到22点，而你的牌是21点或更少，那么就推牌。这非常有利于庄家，应该会抑制你通过加倍或分牌来增加筹码。

这会是一个糟糕的玩法。例如，如果你在黑杰克上对着5点（六副牌庄家在软17点停牌）加倍，根据我的黑杰克附录9I ，你的预期收益将是0.622362。所以，即使在等额投注游戏中，这仍然是一个错误，损失了大约38%的赌注。

Wong 指的是玩家 12 对抗庄家 4，并引用了 Peter Griffin 所著的《二十一点理论》第 176 页。是的，他是对的。在七副牌的游戏中，要牌的预期值为 -0.210820，停牌的预期值为 -0.211106，因此要牌更高。但是，八副牌的游戏中，要牌为 -0.2111161，停牌为 -0.211100，因此停牌更高。这是一种非常不确定的玩法，七副牌和八副牌之间确实存在牌数差异。这里有一个更好的例子。用 A-4 对抗 4，你应该一直加倍直到有 26 副牌，但用 27 副或更多牌来要牌。

我找不到任何一手牌，额外的0.1%的筹码量会导致策略改变。我能找到的最接近的例子是，基于六副牌，庄家在软17点停牌，A,4对4。在这手牌中，加倍会让玩家的预期价值损失略低于要牌的0.3%。所以，如果你能拿到0.3%或更多的筹码量，那就加倍这手牌。我研究过的其他边缘牌型，玩家加倍或分牌至少要损失1%，而且我从未见过二十一点中返现如此之高。

确实，一般来说，如果玩家有三张或更多张牌，16 点对 10 点时应该停牌。所以，如果我的图表是基于赌场提供投降选项的，那么你是正确的。然而，这个假设并非如此。如果我将规则改为 Rs（如果允许投降则投降，否则停牌），那就意味着如果不允许投降，玩家应该在两张牌 16 点对 10 点时停牌。

原因是玩家的下一张牌可能是A，但庄家的下一张牌不是。我在附录的解释中已经提到，我已经假设庄家没有黑杰克。这就是为什么在庄家偷看并确认自己没有黑杰克后，玩家在这种情况下略占优势。

说实话，这是一个老问题了，但我从 Chris F. 那里得到了更好的答案。他正确地指出，原因在于，在创建基本策略图表时，他们假设玩家的前两张牌和庄家的明牌已经从牌堆中移除。一个很好的例子是，在单副牌中，正确的玩法是，当牌堆中有 7,7 时，对 10 停牌，因为牌堆中一半的 7 已经消失了，而这正是你用 3 张牌击败庄家 20 所需要的。

在16对10的情况下，玩家的手牌要么是10和6，要么是9和7。无论哪种情况，两张会因为要牌而爆牌的牌都被移除了。因此，牌堆里有一些不会爆牌的小牌，这给了玩家要牌的动力。虽然这是事实，但我还是持怀疑态度，因为在无限牌堆游戏中，要牌的概率仍然很高。然而，除了少数互联网赌场外，无限牌堆只是一种抽象概念。我很好奇，如果在8副牌的游戏中，荷官一张牌都没发，只是说“你有16，我有10，但没有黑杰克”，那么最佳玩法是什么？使用 gamblingtools.net（网站已不存在）上的黑杰克分析器，我输入了8副牌，然后小心翼翼地把牌堆里的所有牌都抽光，除了没有6和2张10。然后我给了庄家一张10，我自己也给了10和6。所以玩家这手牌是用来对抗一副中性牌的，这副牌有31张A-9牌，还有124张10。预期值如下：

虽然预期值数字相同，但小程序会强调停牌是更好的玩法，大概是因为停牌比小数点后四位更高。如果我删除以下数字：A、2、3、4、5、6、8、10、10、10，以模拟 9、7 对 10，结果也一样，因为玩家使用的是完全相同的中性牌盒。

这表明即使在八副牌的游戏中只有三张牌，移除的效果也有多么强大。回到最初的问题，在计算完玩家的两张牌和庄家的明牌后，零点数反映的是一副完全中性的牌。所以正如我刚才所展示的，进入中性牌堆后，停牌的几率更大。在无限牌堆中，要牌是正确的，因为没有移除的效果。如果你在中性牌盒中意外击中 16 对 10，并拿到一张小牌，那么庄家就有更大的机会拿到底牌 10。这一事实反映在八副牌游戏中停牌的预期值更高，但在无限牌堆中无关紧要。以下是无限牌堆游戏中的预期值：

斯坦福·黄（Stanford Wong）在其著作《基础二十一点》（Basic Blackjack）中给出了这样的基本策略，见表46。他还提到，1995年拉斯维加斯波旁街赌场（Bourbon Street casino）曾推出一项促销活动，每50分钟，荷官会亮出自己的两张牌，持续五手。据黄称，在此期间，玩家的优势约为10%。

这是个好问题。我个人会根据已经打出的牌，尤其是第二手牌的情况来判断边缘打法。如果非要我这么做，我会说使用例外策略比只使用基本策略更好。然而，基本策略的例外策略仅适用于第一手牌，因此它们对于分牌来说并不完全准确，因为牌组的构成会略有不同。

是的，我的基本策略图表旨在根据前两张牌确定最佳玩法。这是制定基本策略的常用方法。这种方法的一个好处是可以精确计算每种玩法的预期值并与其他来源进行比较。但是，你提出的观点很有道理。因此，我询问了《Blackjack Attack》的作者唐·施莱辛格，是否存在任何已知的玩法，其中初始手牌的最佳玩法不同于最大化整个二十一点游戏的预期值的最佳玩法。他回答说，在双层牌游戏中，软 18 对抗庄家的 A，而庄家在软 17 点停牌，就是这样一种玩法。正如我的二十一点附录 9所示，停牌的预期值为 -0.100502，要牌的预期值为 -0.100359。因此，基于前两张牌，要牌的赔率为 0.000143。但是，看到软 18 的方式远不止一张 A 和一张 7。下表显示了这手牌可能出现的所有方式。

列标题说明

玩家卡：玩家手中的牌
条件概率：假设玩家拥有软 18 点，而庄家拥有 A 点，则给定手牌组成的概率。
Hit EV：击中后的期望值
站立EV：站立的预期值
命中回报：概率与命中预期值的乘积
林分回报：概率与林分期望值的乘积

底行右侧两个单元格显示，击球的总体预期值为 -0.105807，停球的总体预期值为 -0.102375。因此，表格显示停球的赔率为 0.00343。

为了验证这些结果，我根据相关规则进行了两次模拟，一次模拟要牌，一次模拟停牌。我只统计了在游戏过程中出现软18对抗庄家A的牌局。以下是我的结果。

因此，模拟结果显示，在所有可能出现这手牌的情况下，停牌的概率为0.0025。因此，从实际玩所有牌的角度考虑，最佳玩法是停牌，这与我的基本策略图所示相反。

感谢您的赞美。假设有六副牌（庄家在软17点时要牌或停牌都无所谓）。我的二十一点附录9显示，6+4对A的预期值为+0.081336，6+4对10的预期值为+0.026796。预期值为正的原因是，我的预期值表假设庄家已经偷看过黑杰克，并确认自己没有。与此同时，玩家仍然可以抽到一张A，凑成21点。换句话说，玩家可以在下一张牌凑成21点，而庄家不能，这是假设。如果我有一张符合欧洲不偷看规则的预期值表，那么预期值确实会是负数。

我以前说过，虽然我很尊重庄家，但他们也给出了很多糟糕的建议和错误信息。用四对五或六分牌是一种常见的玩法，玩家和庄家都会错误地反对分牌。有时你会听到有人错误地说，你永远不应该分“任何以F开头的牌”，也就是四、五和人头牌。对于五和人头牌来说，这话没错，但如果允许分牌后加倍，玩家确实应该用四对五或六分牌。否则，玩家应该要牌，除非在单副牌游戏中，如果允许加倍，他应该要牌。我的二十一点附录9显示，在六副牌游戏中，庄家拿到软17，对6的预期值为4和4。

立场：-0.114085
命中：+ 0.113365
双精度：+ 0.092929
拆分：+0.207228（允许拆分后加倍）
拆分：+ 0.056954（拆分后不允许加倍）

谢谢你的赞美。如果我玩的是基本策略（而不是算牌），如果我手上已经有4或5，我通常会停牌。如果是明牌游戏，有其他玩家，我会环顾牌桌，然后根据自己的判断来决定。

在常规二十一点游戏中，玩家确实应该在庄家拿到10或A时分牌。但是，如果庄家不小心翻开两张牌，总点数为10或11，玩家应该在10时要牌，在11时停牌。这是因为，当庄家拿到10或A时，轮到你时，你就知道庄家没有黑杰克，因为他会偷看底牌确认。所以你可以更积极地出牌。但是，当庄家的两张牌都翻开，总点数为10或11时，庄家肯定可以拿到一张A对应10，或者一张10对应11，总点数为21，所以在这种情况下，你应该采取更保守的策略。

我觉得你把取牌和庄家的明牌搞混了。下表显示的是玩家仅根据庄家的明牌，在庄家检查是否有黑杰克之前，根据庄家的明牌获得的预期值，假设庄家在软17点和无限牌上停牌。

所以，如果可以为庄家选择一张明牌，那应该选六，这确实是事实。六对庄家不利，但对玩家也不利。综合考虑，如果可以从牌盒中取出一张牌，应该选五。

谢谢。几乎每家赌场礼品店都会出售基本的策略卡，但不知为何，他们没有标明何时应该投降。投降的情况并不多，但这些情况经常发生，所以我认为值得记住。在六副牌的游戏中，如果庄家拿到软17点停牌，投降概率为0.07%，如果拿到软17点，投降概率为0.09%。

我的二十一点附录9就是为这类问题设计的。假设有6副牌，我的表格显示，8+2对7的加倍预期值为0.396342。8+3对10的加倍预期值为0.176919。所以你说得对，10对7的加倍是更好的选择。

假设拉斯维加斯大道的规则较为宽松（六副牌，庄家在软17点停牌，分牌后允许加倍，允许后期投降，允许再次分牌A），以下是最初两张牌加倍时各种可能结果的概率。这不包括分牌后加倍。

我的二十一点附录14显示，如果你的第一张牌是6，你的预期价值就已经约为-21%。例如，如果他下注100美元，那么卖出这手牌并下注的合理价格大约是79美元。或许你可以利用他的抱怨，提出以低于79美分的合理价格买下他的牌。我建议75美分的出价，这样既能给你带来优势，又不会占太多便宜。

我的闪光二十一点庄家策略展示了在庄家意外暴露底牌的情况下该如何应对。然而，大多数玩家，包括我，都没有记住这一点。在这种情况下，如果庄家的两张牌总点数不超过九点，你可以使用基本策略，假设庄家的明牌等于他两张牌的总和。根据这个经验法则，三位玩家都玩得正确。与庄家的说法相反，玩家完全有权利用从此类庄家错误中收集到的任何信息。我不仅会无视庄家的评论，还会继续玩，希望他再次犯错。

不客气。对于那些可能不明白这个问题的读者，“查理”规则是指玩家只要拿到一定数量的牌（通常是五到七张）且没有爆牌，就自动获胜。下表针对三张或三张以上的牌，展示了当玩家距离这种自动获胜者只差一两张牌时的基本策略。

希望您满意，我添加了一个新页面来回答这个问题。请参阅我的“二十一点附录 19” 。

原因是我的二十一点基本策略基于8副或更少的牌，而闪牌庄家策略则基于无限多副牌。在无限副牌的二十一点游戏中，你也应该打出A2而不是5。无限副牌假设是分析二十一点的偷懒方法。我之所以这样做，是因为我认为这个页面不常用，而且错误成本非常低，每202,000个单位的赌注只犯一个单位的错误。

原因是我的表格假设前排玩家会继续重新分牌（如果可以的话）。这会降低单张10的价值，因为我假设前排玩家会继续犯同样的错误（如果可以的话）。我刚刚把这个条件添加到了那个页面。

这些表格假设庄家没有黑杰克。这是因为轮到玩家行动时，庄家已经偷看了黑杰克。假设庄家没有黑杰克，正确的加倍或分牌决策应该基于条件期望值。否则，玩家面对10或A时，会过于胆怯，不敢加倍或分牌。将概率和期望值的点积相加会得出错误的结果，因为庄家拿到黑杰克时，并没有损失。

要计算整个游戏的赌场优势，你应该减去庄家拿到黑杰克时的预期损失。如果是六副牌，庄家拿到黑杰克的概率是10的数量乘以A的数量，再除以两张牌组合的数量，即 (6×16)×(6×4)/combin(312,2) = 0.047489。然而，玩家只有在没有黑杰克时才会输。假设庄家已经有一张黑杰克，玩家拿到黑杰克的概率是 (6×16-1)×(6×4-1)/combin(310,2) = 0.045621。因此，玩家输给庄家黑杰克的概率是 0.047489 × (1-0.045621) = 0.045323。你应该从上面的点积中减去这个数字：0.04518876 - 0.045323 = -0.00615144。因此，根据附录中规定的规则，赌场优势为0.62%。

我感同身受。你可以想象西班牙21点有多糟糕，它要求玩家像3点对14点这样的打法。如果只是表面现象，我就会放过它。如果只是文字问题，我会说：“这里还有很多其他桌子。”你根本无法用解释赔率来说服这种傻瓜。信念越荒谬，人们就越容易固执己见。

无论如何，通常没有简明扼要的解释来解释为什么一种玩法比另一种更好。要知道为什么正确的玩法是那样，你必须要么考虑剩余牌可能出现的所有情况，无论是玩家还是庄家，要么把这手牌玩上千遍，甚至数百万遍，直到牌局非常边缘化。你应该选择预期价值最高的那个。只有拒绝保险的玩法才容易解释。

假设有六副牌，庄家在软17点停牌，玩家可以重新分牌，最多分到四手牌。每次基本策略变化的影响在于该手牌出现的概率以及出现错误打法的成本。我的二十一点附录9显示了每手牌出现的概率以及每种打法的预期价值。假设玩家选择要牌而不是分牌，对游戏预期价值的影响如下：

概率(8,8 vs A)×(EV(击中)-EV(拆分)) + 概率(8,8 vs 9)×(EV(击中)-EV(拆分)) + 概率(8,8 vs 10)×(EV(击中)-EV(拆分))
= 0.0003036 × (-0.513551 -(-0.364371)) + 0.0004404 × (-0.505707 -(-0.38995)) + 0.0016249 × (0.535361 -(-0. 475385))
= -0.019%。

因此，如果庄家拿到 9、10 或 A，而玩家拿到 8、8，赌场优势就会增加 0.019%，也就是说，每玩 5,300 手牌，赌场优势就会增加一次。如果玩家选择投降而不是拿牌，赌场优势就会降至 0.013%。所以，这并不是一个重大错误。相比之下，在六副牌的游戏中，如果玩家拿到“等额赌注”，而庄家拿到 A，赌场优势就会增加 0.014%。如果玩家对每张黑杰克和 20 都投保（这是一个常见的错误），那么错误成本就会跃升至 0.149%！

这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。

我的二十一点附录9可以解答这类问题。例如，假设有六副牌，庄家拿到软17，那么用二十一点对抗庄家5点加倍的预期价值为0.622136，对抗庄家6点加倍的预期价值为0.667063。两者均远低于1.2，成本超过一半的赌注。即使二十一点只支付等额的赌注（不幸的是，现在有时确实如此），你也应该在二十一点上停牌。唯一不应该在二十一点上停牌的游戏是三倍21点，玩家在二十一点对抗庄家6点上应该三倍下注。

这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。

是的！让我们考虑以下情况：

6层甲板
庄家拿到软 17
玩家有 A,6
庄家亮出 2

根据我的二十一点附录 9 ，以下是每次玩法的预期值：

立场 -0.152739
命中 -0.000274
双倍 -0.004882

因此，要牌是平均输钱最少的玩法。如果玩家加倍，该误差的预期值为 -0.004882 - (-0.000274) = -0.004608。根据我的二十一点庄家优势计算器，在这些规则下（假设投降、分牌后加倍以及A重新分牌），庄家优势为 0.48%。通常情况下，某些选项是不允许的，从而增加了庄家优势。因此，只要庄家在六副牌的游戏中拿到软 17，那么在面对 2 时将软 17 加倍的成本低于在另一手牌上下注相同金额的成本。

在任何涉及加注的游戏中，你都可以提出同样的观点。例如，在三张牌扑克中，如果你想最小化每手牌的预期损失，那么最佳策略是在Q64或更高牌面加注，正如我在三张牌扑克页面上所提到的。然而，如果你的目标是最小化每手牌总投注额的预期损失，那么最佳策略是在Q62或更高牌面加注。

这就引出了一个问题：为什么像我这样的赌博作家会以最小化每注初始投注的预期损失而不是总投注金额作为策略基础？我的答案是，这主要是出于传统。二十一点基本策略就是这样诞生的，出于习惯和简便性，每个人都保留了这种方法。如果休闲玩家的目标是在规定的时间内最小化损失，那么他应该采用能够最小化每手牌预期损失的传统策略。如果玩家的目标是最小化总投注金额超过 x 美元的损失，那么他应该选择前面提到的那种略微糟糕的加倍和加注策略。我倾向于认为大多数玩家的目标都是基于时间的，因此更倾向于采用传统策略。

这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。

我认为二十一点玩家最容易犯错的玩法是在允许分牌后加倍的情况下，对着5或6分牌，却用4、4分牌。在六副牌的游戏中，出现这种情况的概率是1/1135。根据我的二十一点附录9 ，假设玩家选择要牌而不是分牌，那么对着5的预期成本是2.83%，对着6的预期成本是4.38%。总的来说，如果玩家每次都犯这个错误，游戏的庄家优势就会上升0.0032%。所以，这个错误代价不高，因为它很少发生。然而，我从未见过其他玩家在这种情况下正确地分牌。当我看到的时候，荷官和其他玩家通常会翻白眼。有一次，我听到另一个玩家假装我不在场，错误地对荷官说：“你永远不应该分任何以F开头的牌。”

如果问题是，考虑到玩牌频率和错误代价，哪个错误代价最大，那么我只能大胆猜测一下。我的猜测是，最大的错误是没有在应该软加倍的时候软加倍。我很少看到业余玩家用软17对6这样的牌加倍。下表显示了四种常见错误导致的赌场优势的增加。该表假设玩家在这种情况发生时总是犯错误，而不是选择次优选择。例如，在12对2或3的情况下停牌，我没有将6、6的玩家纳入考虑。

这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。

首先，值得重申的是，16对10的牌局是一手介于要牌和停牌之间的牌。如果允许投降，那么对于采用基本策略的玩家来说，这比要牌或停牌要好得多。否则，平均而言，要牌会稍微好一点。只需从八副牌的牌盒中取出一张小牌，就能改变停牌的赔率，因为少了一张小牌，剩下的大牌就更多了，要牌的风险也就更大了。这就是为什么我说，如果你的16点由三张或更多牌组成，你就应该停牌，因为一张三张16点通常会从牌盒中取出至少两张小牌。

其次，洗牌后的第一手牌，如果基本策略和算牌策略在如何玩这手牌上有所不同，则以基本策略为准。基本策略是根据观察到的具体牌型精心设计的，旨在考虑牌堆的具体构成。索引值表是一种更直观的工具，适用于所有牌盒。

在这种特殊情况下，算牌者可以选择要牌或停牌，这取决于他如何对真实点数进行舍入。如果他向下舍入，真实点数将为 -1，因此他要牌。如果他向上舍入，即舍入到最接近的整数，则真实点数将为 0，因此他停牌。只要我提到这一点，根据唐·施莱辛格 (Don Schlesinger) 的《黑杰克攻击》(Blackjack Attack)，舍入的首选方法是“向下取整”，即向下舍入，在本例中为 -1，因此玩家可以正确要牌。

另一个类似的情况是 15 对 10。83% 的时间（10+5 或 8+7，但不是 9+6），这会导致洗牌后第一手牌的运行计数为 -1，而投降的索引号为 0。向下舍入会导致玩家错误地击中，而投降是更好的选择。

底线是，洗牌后第一次做决定时，如果其他玩家没有其他牌，算牌者应该使用基本策略。之后，恢复使用索引号。

这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。