请问巫师 #312
哥斯达黎加体育博彩公司BookMaker.eu对特朗普在边境墙电视讲话中会说多少虚假言论进行了下注。他们设定的赔率是3.5。96%的投注都押在了“大”上，最终他们损失了276,424美元。你觉得这个赌注的公平赔率是多少呢？
据BookMaker称，《华盛顿邮报》会统计政治虚假言论的数量，并将其作为谎言数量的来源。据该消息来源称，特朗普在2018年平均每天发表15条虚假言论。分析此赌注的下一个问题是，特朗普每天花多少时间发表公开声明？在我看来，推文、采访和即兴发言加起来，20分钟似乎是一个合理的估计。至少是个不错的整数。简单除法即可得出15/20 = 每分钟0.75条虚假言论，即每80秒一条。
媒体在演讲开始前估计会持续六到八分钟。我们把差距缩小到七分钟。七分钟内，每分钟出现0.75次虚假陈述，我们估计会有5.25次虚假陈述。所以，我会把上下限设定为5.5。
顺便说一句，如果我们假设虚假陈述的平均数量为 5.25，那么如果我们假设总数按照泊松分布分布，那么三个或更少虚假陈述的概率为 23.17%，我认为这是一个合理的假设。
顺便说一下，最终，虚假陈述的数量被评为六项。
这个问题是在拉斯维加斯巫师论坛上关于特朗普的很长的帖子中提出和讨论的，但这个特定主题的讨论从这里开始。
在单零轮盘赌中，每个数字至少出现一次所需的平均旋转次数和中位数是多少？
求平均值要容易得多，所以我们就从平均值开始。让我们一步一步来：
- 第一次旋转肯定会出现一个新数字。
- 第二次旋转出现新数字的概率为 36/37。如果某个事件的概率为 p，则该事件发生的预期尝试次数为 1/p。在这种情况下，出现第二个数字的预期尝试次数为 37/36 = 1.0278。
- 观测到两个数字后，下次旋转出现新数字的概率为35/37。因此，观测到第二个数字后，预期旋转次数为37/35 = 1.0571。
- 按照这个逻辑，看到每个数字的平均旋转次数是 1 + 37/36 + 37/35 + 37/34 + ... + 37/2 + 37/1 = 155.458690。
中位数要复杂得多。为了找到确切的答案，与使用随机模拟不同，我们需要运用大量的矩阵代数运算。我已经在其他“问巫师”问题中讨论过如何解决类似的问题，因此不再赘述。类似问题的一个例子是连续三次掷出一对 6-6 的概率，正如“问巫师”#311中讨论的那样。可以说，在 145 次旋转中看到所有数字的概率是 0.49161779，在 146 次旋转中看到所有数字的概率是 0.501522154。因此，中位数是 146。
我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。
假设你有12个六面骰子。你掷它们，然后可以把任何你想弃掉的骰子放在一边。然后你重新掷剩下的骰子。两次掷出12点的概率是多少？
初始掷骰结果有 58 种不同的序列。我识别每种序列的方法是：先计算骰子面数，然后计算骰子面数第二的骰子总数，以此类推。例如，掷出 3,3,3,3,6,6,6,5,5,2 的概率表示为 4-3-2-1。下表列出了每种序列的组合数、掷出该序列的概率、第二次掷出相同点数 12 的概率以及两者的乘积。对于第二次掷出的概率，我假设玩家持有初始掷骰结果最大的骰子。右下角单元格显示的总概率为 0.0000037953，相当于 263,486 分之一。
12 骰子问题
| 顺序 | 组合 | 可能性 顺序 | 条件 可能性 | 全部的 可能性 |
|---|---|---|---|---|
| 12-0-0-0-0-0 | 6 | 0.0000000028 | 1.0000000000 | 0.0000000028 |
| 11-1-0-0-0-0 | 360 | 0.0000001654 | 0.1666666667 | 0.0000000276 |
| 10-2-0-0-0-0 | 1,980 | 0.0000009096 | 0.0277777778 | 0.0000000253 |
| 10-1-1-0-0-0 | 7,920 | 0.0000036384 | 0.0277777778 | 0.0000001011 |
| 9-3-0-0-0-0 | 6,600 | 0.0000030320 | 0.0046296296 | 0.0000000140 |
| 9-2-1-0-0-0 | 79,200 | 0.0000363840 | 0.0046296296 | 0.0000001684 |
| 9-1-1-1-0-0 | 79,200 | 0.0000363840 | 0.0046296296 | 0.0000001684 |
| 8-4-0-0-0-0 | 14,850 | 0.0000068220 | 0.0007716049 | 0.0000000053 |
| 8-3-1-0-0-0 | 237,600 | 0.0001091519 | 0.0007716049 | 0.0000000842 |
| 8-2-2-0-0-0 | 178,200 | 0.0000818639 | 0.0007716049 | 0.0000000632 |
| 8-2-1-1-0-0 | 1,069,200 | 0.0004911837 | 0.0007716049 | 0.0000003790 |
| 8-1-1-1-1-0 | 356,400 | 0.0001637279 | 0.0007716049 | 0.0000001263 |
| 7-5-0-0-0-0 | 23,760 | 0.0000109152 | 0.0001286008 | 0.0000000014 |
| 7-4-1-0-0-0 | 475,200 | 0.0002183039 | 0.0001286008 | 0.0000000281 |
| 7-3-2-0-0-0 | 950,400 | 0.0004366077 | 0.0001286008 | 0.0000000561 |
| 7-3-1-1-0-0 | 2,851,200 | 0.0013098232 | 0.0001286008 | 0.0000001684 |
| 7-2-2-1-0-0 | 4,276,800 | 0.0019647348 | 0.0001286008 | 0.0000002527 |
| 7-2-1-1-1-0 | 5,702,400 | 0.0026196464 | 0.0001286008 | 0.0000003369 |
| 7-1-1-1-1-1 | 570,240 | 0.0002619646 | 0.0001286008 | 0.0000000337 |
| 6-6-0-0-0-0 | 13,860 | 0.0000063672 | 0.0000214335 | 0.0000000001 |
| 6-5-1-0-0-0 | 665,280 | 0.0003056254 | 0.0000214335 | 0.0000000066 |
| 6-4-2-0-0-0 | 1,663,200 | 0.0007640635 | 0.0000214335 | 0.0000000164 |
| 6-4-1-1-0-0 | 4,989,600 | 0.0022921906 | 0.0000214335 | 0.0000000491 |
| 6-3-3-0-0-0 | 1,108,800 | 0.0005093757 | 0.0000214335 | 0.0000000109 |
| 6-3-2-1-0-0 | 19,958,400 | 0.0091687624 | 0.0000214335 | 0.0000001965 |
| 6-3-1-1-1-0 | 13,305,600 | 0.0061125083 | 0.0000214335 | 0.0000001310 |
| 6-2-2-2-0-0 | 4,989,600 | 0.0022921906 | 0.0000214335 | 0.0000000491 |
| 6-2-2-1-1-0 | 29,937,600 | 0.0137531436 | 0.0000214335 | 0.0000002948 |
| 6-2-1-1-1-1 | 9,979,200 | 0.0045843812 | 0.0000214335 | 0.0000000983 |
| 5-5-2-0-0-0 | 997,920 | 0.0004584381 | 0.0000035722 | 0.0000000016 |
| 5-5-1-1-0-0 | 2,993,760 | 0.0013753144 | 0.0000035722 | 0.0000000049 |
| 5-4-3-0-0-0 | 3,326,400 | 0.0015281271 | 0.0000035722 | 0.0000000055 |
| 5-4-2-1-0-0 | 29,937,600 | 0.0137531436 | 0.0000035722 | 0.0000000491 |
| 5-4-1-1-1-0 | 19,958,400 | 0.0091687624 | 0.0000035722 | 0.0000000328 |
| 5-3-3-1-0-0 | 19,958,400 | 0.0091687624 | 0.0000035722 | 0.0000000328 |
| 5-3-2-2-0-0 | 29,937,600 | 0.0137531436 | 0.0000035722 | 0.0000000491 |
| 5-3-2-1-1-0 | 119,750,400 | 0.0550125743 | 0.0000035722 | 0.0000001965 |
| 5-3-1-1-1-1 | 19,958,400 | 0.0091687624 | 0.0000035722 | 0.0000000328 |
| 5-2-2-2-1- | 59,875,200 | 0.0275062872 | 0.0000035722 | 0.0000000983 |
| 5-2-2-1-1-1 | 59,875,200 | 0.0275062872 | 0.0000035722 | 0.0000000983 |
| 4-4-4-0-0-0 | 693,000 | 0.0003183598 | 0.0000005954 | 0.0000000002 |
| 4-4-3-1-0-0 | 24,948,000 | 0.0114609530 | 0.0000005954 | 0.0000000068 |
| 4-4-2-2-0-0 | 18,711,000 | 0.0085957147 | 0.0000005954 | 0.0000000051 |
| 4-4-2-1-1-0 | 74,844,000 | 0.0343828589 | 0.0000005954 | 0.0000000205 |
| 4-4-1-1-1-1 | 12,474,000 | 0.0057304765 | 0.0000005954 | 0.0000000034 |
| 4-3-3-2-0-0 | 49,896,000 | 0.0229219060 | 0.0000005954 | 0.0000000136 |
| 4-3-3-1-1-0 | 99,792,000 | 0.0458438119 | 0.0000005954 | 0.0000000273 |
| 4-3-2-2-1-0 | 299,376,000 | 0.1375314358 | 0.0000005954 | 0.0000000819 |
| 4-3-2-1-1-1 | 199,584,000 | 0.0916876238 | 0.0000005954 | 0.0000000546 |
| 4-2-2-2-2-0 | 37,422,000 | 0.0171914295 | 0.0000005954 | 0.0000000102 |
| 4-2-2-2-1-1 | 149,688,000 | 0.0687657179 | 0.0000005954 | 0.0000000409 |
| 3-3-3-3-0-0 | 5,544,000 | 0.0025468784 | 0.0000000992 | 0.0000000003 |
| 3-3-3-2-1-0 | 133,056,000 | 0.0611250826 | 0.0000000992 | 0.0000000061 |
| 3-3-3-1-1-1 | 44,352,000 | 0.0203750275 | 0.0000000992 | 0.0000000020 |
| 3-3-2-2-2-0 | 99,792,000 | 0.0458438119 | 0.0000000992 | 0.0000000045 |
| 3-3-2-2-1-1 | 299,376,000 | 0.1375314358 | 0.0000000992 | 0.0000000136 |
| 3-2-2-2-2-1 | 149,688,000 | 0.0687657179 | 0.0000000992 | 0.0000000068 |
| 2-2-2-2-2-2 | 7,484,400 | 0.0034382859 | 0.0000000165 | 0.0000000001 |
| 全部的 | 2,176,782,336 | 1.0000000000 | 0.0000037953 |