请问巫师 #251
2009年，内华达州二十一点赌桌上的总投注额为89.17亿美元。赌场赢了10.08亿美元。其中有多少是玩家失误造成的？
根据内华达州博彩管理委员会2009年的收入报告，我们发现“21点”的赢利确实高达10.08525亿美元。这可能包括二十一点的变体。根据我2010年2月20日在“问问巫师”专栏中的文章，博彩顾问比尔·赞德指出，二十一点的失误成本约为0.83%。
缺少的一点是，如果没有这些错误，赌场优势会是多少？我承认这有点粗略，但2010年4月《二十一点时事简报》中“赌场优势”栏的平均值是0.78%。因此，包含错误在内的二十一点总赌场优势为0.78% + 0.83% = 1.61%。其中，由错误造成的部分为0.83%/1.61% = 51.55%。因此，2009年内华达州因二十一点错误造成的利润可以粗略估算为1,008,525,000 × 0.5155 = 5.19亿美元。
这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。
仅持有一张牌，在9-6 Jacks or Better中取得同花大顺的概率是多少？
下表显示了在假设有一张皇室牌的情况下，根据持有的牌张数量，每种皇室牌的概率。结果显示，3.4% 的皇室牌来自持有一张牌。皇室牌的初始概率为 40,391 分之一，因此，持有一张牌的皇室牌的无条件概率为 1,186,106 分之一。
9/6 杰克皇家组合
| 持有的卡牌 | 组合 | 可能性 |
|---|---|---|
| 0 | 1,426,800 | 0.002891 |
| 1 | 16,805,604 | 0.034053 |
| 2 | 96,804,180 | 0.196154 |
| 3 | 195,055,740 | 0.395240 |
| 4 | 152,741,160 | 0.309498 |
| 5 | 30,678,780 | 0.062164 |
| 全部的 | 493,512,264 | 1.000000 |
您在Megabucks的页面上说过，每年年初支付25期等额年金，利率为4.66%，价值相当于票面价值的61.07%。我想知道您计算年金的公式是什么？
公式为 V = P × [(1-(1+i) -n )]/(i/(1+i))，其中：
V = 年金价值
P = 个人支付金额
i = 利率
n = 付款次数
假设头奖金额为 1500 万美元。设 i = 4.66%，n=25，则为应对通货膨胀，公平支付金额应为 982,525 美元。您实际获得的金额为 1500 万美元/25，即 60 万美元。实际支付金额/公平支付金额 = 61.07%。
并不是您问的，但是如果每年年底付款，则公式是 V = P × [(1-(1+i) -n )]/i。
这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。
我卖雕塑。平均每卖出七件雕塑，就有一件是乌龟，其余都是其他类型的雕塑。如果我想在接下来的100件雕塑销售中，有90%的几率不缺货，我需要库存多少件乌龟？
令 t 为制造的乌龟数量，x 为售出的数量。
pr(x<=t)=0.9
pr(x-14.29<=t-14.29)=0.9
pr((x-14.29)/3.5)<=(t-14.29)/3.5))=0.9
不等式左边服从标准正态分布（均值为0，标准差为1）。下一步需要学习统计学入门课程，或者具备一定的信念才能接受。
(t-14.29)/3.5 = normsinv(0.9) 这是 Excel 函数。
（t-14.29）/3.5 = 1.282
t-14.29 = 4.4870
t = 18.77
没人会买0.77个乌龟雕像，所以我会凑整到19个。根据二项分布，卖出18个或更少乌龟雕像的概率是88.35%，卖出19个或更少乌龟雕像的概率是92.74%。这个问题是在我的同伴网站“维加斯巫师”的论坛上提出并讨论的。
20年前，日本豪赌客柏木与唐纳德·特朗普之间发生了一场著名的淘汰赛。柏木在百家乐中每手的投注不得超过20万美元。当赌场或玩家领先1200万美元时，游戏就会结束。假设柏木总是在庄家上押最大注，那么柏木获胜的概率是多少？
如果他押注闲家，计算起来就容易多了。我在我的 mathproblems.info 网站上算过一个类似的轮盘赌题，题号 116。对于等额投注，通用公式是 ((q/p) b -1)/((q/p) g -1)，其中：
b = 起始资金（以单位计）。
g = 资金目标（以单位计）。
p = 赢得任何给定赌注的概率，不包括平局。
q = 在任何给定赌注中失败的概率，不包括平局。
此处，玩家初始资金为1200万美元，即60个单位，每个单位20万美元，并将一直玩到资金达到120个单位或破产。因此，在玩家下注的情况下，等式值为：
b = 60
克= 120
p = 0.493175
q = 0.506825
所以答案是 ((0.506825/0.493175) 60 -1)/(( 0.506825/0.493175) 120 -1) = 16.27%。
由于庄家投注有5%的佣金，情况要复杂得多。这会导致玩家超额完成目标的可能性很大。如果我们增加一条规则：如果赢钱的赌注能够帮助玩家实现目标，那么他只需下注达到1200万美元所需的金额，那么我估计他成功的概率为21.66%。
资金翻倍概率的一个更简单的公式是 1/[1+(q/p) b]。
这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。