请问巫师 #120

下表显示了完全随机的一手牌中出现 0 到 4 张 A 的概率。

对 1 到 4 张 A 牌进行求和，我们发现至少出现一张 A 牌的概率为 0.341158。出现两张或两张以上 A 牌的概率为 0.041684。

假设至少有一张 A，那么再出现一张 A 的概率可以用贝叶斯定理重新表述为概率（至少有一张 A 的情况下再出现两张 A）= 概率（两张或更多张 A）/概率（至少有一张 A）= 0.041684/ 0.341158 = 0.122185。

对于那些不熟悉贝叶斯定理的人来说，它指出给定 B 时 A 的概率等于 A 和 B 的概率除以 B 的概率，或者 Pr(A 给定 B) = Pr(A 和 B)/Pr(B)。

下表显示了从牌堆中移除黑桃 A 后，其他 A 的每个数量的组合和概率。

这表明至少再出现一张 A 的概率为 0.221369。

为了好玩，让我们用贝叶斯定理来解答同样的问题。假设随机发牌，直到找到一手包含黑桃 A 的牌。假设牌中包含黑桃 A，那么至少再出现一张 A 的概率可以改写为概率（假设手中有黑桃 A，则至少有两张 A）。根据贝叶斯定理，这等于概率（手中有黑桃 A 且至少还有一张 A）/概率（手中有黑桃 A）。我们可以将分子分解为概率（包括黑桃 A 在内的 2 张 A）+概率（包括黑桃 A 在内的 3 张 A）+概率（4 张 A）。使用第一个表格，这等于 0.039930×(2/4) + 0.001736×(3/4) + 0.000018 = 0.021285。出现黑桃A的概率为5/52 = 0.096154。因此，给定黑桃A，至少出现两张A的概率为0.021285/0.096154 = 0.221369。

因此，如果至少有一张 A，则出现两张或两张以上 A 的概率为 12.22%，如果是黑桃 A，则出现两张或两张以上 A 的概率为 22.14%。

让我们看另一个更简单的情况。假设女性A说：“我有两个孩子，至少有一个是男孩。” 女性B说：“我有两个孩子，大一点的叫约翰。” 我们可以假设没有一个叫约翰的女孩，也没有女性会给多个孩子取同一个名字。使用条件概率，女性A的两个孩子都是男孩的概率是pr（两个男孩）/pr（至少一个男孩）= pr（两个男孩）/（1-pr（两个女孩））= (1/4)/(1-(1/4)) = (1/4)/(3/4) = 1/3。然而，女性B的较小孩子是男孩或两个孩子都是男孩的概率是？，因为说大孩子叫约翰并不能告诉我们关于较小孩子的任何信息。

再举一个例子，假设你去捷飞络 (Jiffy Lube)，他们以相同的价格提供两种方案。方案 A 是他们会检查四个零件，只更换第一个发现的缺陷零件。方案 B 是他们只检查一个问题，如果发现问题就会修复。你难道不想选择方案 A 吗？你的车进来时预计有相同数量的坏零件，但在方案 A 下发现问题的概率更大，因此在方案 A 下你离开时预计会有少量缺陷零件。同样，测试任何 A 都可能出现唯一的 A，而测试黑桃 A 时不会检查其他三种花色，因此它们更有可能是 A。

牌面朝下。在牌局结束前，玩家无法看到其他玩家的牌，这导致玩家获得的信息较少，这对算牌者很不利。

赌场喜欢根据玩家的下注额来限制他们的投注。原因之一是，高额赌桌的玩家较少，因此大额玩家每小时可以玩更多手牌。另一个原因是，据说玩家喜欢与其他下注额度相近的玩家在一起。如果一位玩家想在 5 美元的赌桌上下注 1000 美元，可能会让同桌的其他 5 美元玩家感到紧张或不舒服。第三个原因是，这是一种防止作弊的措施。

正如我数百次说过的，当你进入“长期”时，并没有一个神奇的数字。然而，你的成绩越令人印象深刻，你需要证明这些成绩并非随机的牌局就越少。就你的情况而言，在2391场比赛中取得54.5%或更高的胜率的概率大约是二十万分之一。所以我认为这个记录值得认真对待。以下是我得出这个数字的方法：

预期胜率 = 2391/2 = 1195.5
实际胜率高于预期 = 107.5
标准差 = sqrt(2391*(1/2)*(1/2)) = 24.45
与预期的标准差 = (107.5 + 0.5)/24.45 = 4.4174
标准差为 4.4174 或以上的概率 = normsdist(-4.4174) = 0.000005 = 200,000 分之一

是的。我从未听说过有球员被拒绝使用。

再出现两张同花色牌的概率为 39*combin(11,2)/combin(50,3) = 0.109439。再出现三张同花色牌的概率为 combin(11,3)/combin(50,3) = 0.008418。因此，再出现至少两张同花色牌的概率为 0.117857。