请问巫师 #120
下表显示了完全随机的一手牌中出现 0 到 4 张 A 的概率。
Ace 概率 — 随机手牌
| 王牌 | 公式 | 组合 | 可能性 |
|---|---|---|---|
| 0 | 合并（48,5） | 1712304 | 0.658842 |
| 1 | 组合(4,1)×组合(48,4) | 778320 | 0.299474 |
| 2 | 组合(4,2)×组合(48,3) | 103776 | 0.03993 |
| 3 | 组合(4,3)×组合(48,2) | 4512 | 0.001736 |
| 4 | 组合(4,4)×组合(48,1) | 四十八 | 0.000018 |
| 全部的 | 2598960 | 1 |
对 1 到 4 张 A 牌进行求和，我们发现至少出现一张 A 牌的概率为 0.341158。出现两张或两张以上 A 牌的概率为 0.041684。
假设至少有一张 A，那么再出现一张 A 的概率可以用贝叶斯定理重新表述为概率（至少有一张 A 的情况下再出现两张 A）= 概率（两张或更多张 A）/概率（至少有一张 A）= 0.041684/ 0.341158 = 0.122185。
对于那些不熟悉贝叶斯定理的人来说，它指出给定 B 时 A 的概率等于 A 和 B 的概率除以 B 的概率，或者 Pr(A 给定 B) = Pr(A 和 B)/Pr(B)。
下表显示了从牌堆中移除黑桃 A 后，其他 A 的每个数量的组合和概率。
A 概率 — 移除 A 牌
| 王牌 | 公式 | 组合 | 可能性 |
|---|---|---|---|
| 0 | 组合(3,0)×组合(48,4) | 194580 | 0.778631 |
| 1 | 组合(3,1)×组合(48,3) | 51888 | 0.207635 |
| 2 | 组合(3,2)×组合(48,2) | 3384 | 0.013541 |
| 3 | 组合(3,3)×组合(48,1) | 四十八 | 0.000192 |
| 全部的 | 249900 | 1 |
这表明至少再出现一张 A 的概率为 0.221369。
为了好玩，让我们用贝叶斯定理来解答同样的问题。假设随机发牌，直到找到一手包含黑桃 A 的牌。假设牌中包含黑桃 A，那么至少再出现一张 A 的概率可以改写为概率（假设手中有黑桃 A，则至少有两张 A）。根据贝叶斯定理，这等于概率（手中有黑桃 A 且至少还有一张 A）/概率（手中有黑桃 A）。我们可以将分子分解为概率（包括黑桃 A 在内的 2 张 A）+概率（包括黑桃 A 在内的 3 张 A）+概率（4 张 A）。使用第一个表格，这等于 0.039930×(2/4) + 0.001736×(3/4) + 0.000018 = 0.021285。出现黑桃A的概率为5/52 = 0.096154。因此，给定黑桃A，至少出现两张A的概率为0.021285/0.096154 = 0.221369。
因此，如果至少有一张 A，则出现两张或两张以上 A 的概率为 12.22%，如果是黑桃 A，则出现两张或两张以上 A 的概率为 22.14%。
再举一个例子，假设你去捷飞络 (Jiffy Lube)，他们以相同的价格提供两种方案。方案 A 是他们会检查四个零件，只更换第一个发现的缺陷零件。方案 B 是他们只检查一个问题，如果发现问题就会修复。你难道不想选择方案 A 吗？你的车进来时预计有相同数量的坏零件，但在方案 A 下发现问题的概率更大，因此在方案 A 下你离开时预计会有少量缺陷零件。同样，测试任何 A 都可能出现唯一的 A，而测试黑桃 A 时不会检查其他三种花色，因此它们更有可能是 A。
预期胜率 = 2391/2 = 1195.5
实际胜率高于预期 = 107.5
标准差 = sqrt(2391*(1/2)*(1/2)) = 24.45
与预期的标准差 = (107.5 + 0.5)/24.45 = 4.4174
标准差为 4.4174 或以上的概率 = normsdist(-4.4174) = 0.000005 = 200,000 分之一