五张牌梭哈扑克中的概率
大家好，我是迈克，本视频旨在向大家展示如何计算五张牌梭哈扑克的概率。换句话说，从52张牌中随机抽取5张，组成任意一手牌的概率是多少。在回答每手牌的组合数之前，我想先问大家一个更简单的问题，如果你知道如何得到答案，可以直接跳过。
在 El Pollo Loco 中：
他们有八种所谓的经典配菜，我列在左边。他们也有一些豪华配菜，但我不会拿它们来混淆视听。如果你点的是12份套餐，你可以从这八种配菜中任选三种。假设你必须选择三种不同的配菜。
问题是……
……八种配菜中，你能点三种不同的配菜吗？换句话说，假设你每天都去那里，每天都点三种不同的配菜。你能有多少天不重复点这三种配菜？
如果你的点菜顺序很重要，那么答案就是 8 x 7 x 6，因为你有 8 种方式可以选择第一个，7 种方式可以选择第二个，6 种方式可以选择第三个，但收银员并不关心。重要的是你点菜的顺序。
如果你说——
“我想要米饭、豆子和玉米”，无论你说“米饭、豆子和玉米”还是“玉米、豆子和米饭”，你得到的都是一样的。点三种不同的配菜有多少种不同的方式？假设你喜欢米饭、豆子和玉米。你可以按照这个顺序点，比如米饭、玉米、豆子，或者豆子、玉米、米饭。你也可以点豆子、米饭、玉米，或者玉米、米饭、豆子，或者玉米、豆子、米饭，所以一共有六种可能的方式。
如果不写下来，我怎么知道是六呢？
嗯，有一个非常简单的公式。如果那里有 N 个物品，那么你可以对它们进行排序的方式数是 1 x 2 x 3 次，一直到 N。
在这种情况下，问题是，有多少种点菜方式？嗯，有 3 种！也就是 1 x 2 x 3，等于 6。对于这三种菜品，总共有 8 种点菜方式，总共有 336 种。由于每种组合有 6 种点菜方式，所以除以 6，这样就剩下 56 种了。
您可能会问，一般公式是什么？
如果有的话，假设边数等于 S，允许选择的次数为 P，那么从 S 中挑选 P 个物品的方式数量的通用公式是 s! / s - p! xp!。让我用示例问题来演示一下这个公式。
在这种情况下：
s = 8，所以 8！等于 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8，然后分母是 s - p，或 8 - 3，即 5 或 5！。所以，1 x 2 x 3 x 4 x 5，以及 p！或 3！，即 1 x 2 x 3。您可以看到 1 x 2 x 3 x 4 x 5 等于 120，分子和分母都是 120，所以让我们将其消去，剩下 6 x 7 x 8 / 1 x 2 x 3。好吧，2 x 3 = 6，分子和分母中都有 6，所以我们将其除掉。
我们只剩下...
...7 x 8 / 1，等于 56。为了方便本视频，我先介绍一个函数。我们把 x 和 y 的函数 C 称为从 x 中选择 y 项的方式数，或者用数学上的说法，就是 x 选择 y，我们将其定义为 x! / x - y! 乘以 y!。
以 El Pollo Loco 为例，如果问题是：
“从八张幻灯片中，你有多少种方法可以选择三张？”
我们可以这样表达，等于——switch 等于 56。我想我们终于可以开始讨论扑克了。从 52 张牌中选出 5 张牌的方法有多少种？嗯，那就是 52 选 5，也就是 52! / 47!，47 是因为 52 - 5 x 5!，等于 2,598,960。我们先从同花大顺开始吧。
嗯，这很简单。皇家同花顺有四种花色：红桃、黑桃、梅花和方块。点数必须是10，J、Q、K、A。是的，只有四种。皇家牌、红桃、方块、梅花或黑桃。
同花顺怎么样？
好吧，我们仍然有四种花色，但同花顺的牌型范围可以从A开始，也就是A、2、3、4、5，也就是轮盘同花顺，一直到9、10、J、Q、K。如果是10、J、Q、K、A，那么就是皇家同花顺。最小的牌型可以是从A到9的任何牌型。
在这种情况下...
……A 算作 1。同花顺有 9 种可能的牌型，所以 4 种花色 x 9 种牌型 = 36。对于四条，它有 13 种可能的牌型，例如 Q，然后，在抽出四张牌后，牌堆里还剩下 48 张牌可以组成单张牌。等于 624。
为了满座
三条有13种可能的牌型，对子有12种可能的牌型。对于三条，有四种选择（三种从四张牌中选出三种花色，两种从四张牌中选出两种花色）和四种选择（两种从四张牌中选出两种花色）。这等于13 x 12 x 4 x 6，即3,744。对于同花，我们有四种花色。
从给定花色的 13 个牌型中挑选出 5 个牌型，有多少种方法？
嗯，那就是13选5，但其中10种方式可以组成同花顺或皇家同花顺。例如，5、6、7、8、9可以组成同花顺，所以我们必须找出这10组连续的点数。这样，13选5的结果就是1287，减去10再乘以4，就得到5108。
顺子怎么样？
嗯，正如我们刚才在同花牌中看到的，顺子有 10 种可能的排列方式，从 A、2、3、4、5 开始，一直到 10、J、Q、K、A。对于顺子中的每张牌，每种点数都有四种可能的花色。4 x 4 x 4 x 4 x 4= 4^5，即为五张牌选择不同花色的方法数。如果我们五次都选择相同的花色，那么我们还会剩下同花顺或皇家同花顺。我们需要减去这些花色。4^5 = 1,024 - 4 = 10,200 种组成顺子的方法。
三张一样的怎么样？
嗯，三张同点牌有13种大小选择方式，然后你必须从剩下的12种花色中为两张单张牌选择两种大小。完成后，你必须从三种花色中为三张同点牌选择四种花色，然后从四种花色中为两张单张牌各选择一种花色。
剩下13种方法可以选择三条的点数。对于两张单张牌，有66种方法可以从剩下的12种点数中选择两种点数；对于三条牌，有4种方法可以从四种花色中选择三种花色；对于两张单张牌，也有4种方法可以选择一种花色。答案是54,912。
两对怎么样？
嗯，你的两对牌有13种选择方法，可以从13种花色中选出两个等级，然后你的单张牌就剩下一种等级了。对于每一对牌，有4种选择方法，可以从4种花色中选出两种花色。你的单张牌有4种花色。13选2等于78乘以6乘以6乘以4等于——我忘了单张牌的11种等级了。78 x 11 x 6 x 6 x 4= 123,552。
对于这对夫妇
有 13 种方法可以选择对子的等级，然后你必须从剩下的 12 种花色中选择 3 种，用于选择三张单张牌。对于你的对子，有四种“选二”的方法可以从四种花色中选择两种，那么对于三张单张牌，每张都有四种可能的花色可供选择。4 x 4 x 4 是你为三张单张牌选择三种花色的方法数，等于 13 x 12——12 选三等于 220 x 6 x 4^3= 64= 1,098,240。
最后
让我们计算一下左边A或A以下的概率，我姑且称之为“垃圾牌”。要算“垃圾牌”，你必须在13张牌中选出5张不同的牌。从10张牌中选出5张不同牌型的方法有13种，但正如我们在同花牌中看到的那样，我们必须找出构成顺子的10张牌型。一旦你选出了5张非连续的牌型，那么每张牌型都有4种可能的花色。
取四的五次方...
...正如我们在顺子中看到的那样，我们必须减去四，因为每次选择相同花色的方式数量都会产生同花。13 选择五等于 1,287 减去 10，对于顺子，乘以四的五次方等于 1,024 减去四等于 1,302,540。
下一个
让我们把这些都放到电子表格里。我来快速演示一下如何在 Excel 中完成所有这些操作。我们已经知道，皇家同花顺只有四种组合方式：每种花色一种，36 种同花顺，四种花色乘以 9 种可能的跨度。对于四条，有 13 种牌型可供选择，包括四张牌、四张牌和剩下的 48 张单张牌。对于葫芦，三条有 13 种牌型，对子有 12 种牌型。
四选三法选择三张牌的花色。四选二法从四张牌中选择两张花色组成对子。在 Excel 中，这个公式的表达方式是使用这个常用公式，将大数逗号和小数结合起来，就像我之前写的那样。这样就得到了之前得到的 3,744。
对于冲洗
有四种花色可供选择，13 种选择方式，每种花色的 13 种牌型中有 5 种牌型可供选择，减去 10 种可能形成同花顺或皇家同花顺的牌型（因为它们是连续的）。这样一来，我们就有 5,108 种同花色。对于顺子，有 10 种可能的牌型，每张牌有 4 种花色，但减去 4 种可能形成同花顺或皇家同花顺的牌型，我们就得到了 10,200 种同花色。
对于三类
三条有13种选择方式，两张单张有12种选择方式。两张单张有4种选择方式，即从四种花色中选出三种，两张单张有4乘以4种选择方式，即从两种花色中选择两种。三条有554,912种选择方式。两对有13种选择方式，即从13种花色中选择两种。单张还剩11种选择方式，两对有4种选择方式，即从四种花色中选择两种，单张有四种花色。
对于对子，我们有 13 种等级选择方式，对于三张单张牌，我们有 12 种选择方式从 12 种等级中选择 3 种等级。对于对子，我们有 4 种选择方式从 4 种花色中选择 2 种花色，对于三张单张牌，我们有 4 的 3 次方种选择 3 种花色。
最后，对于垃圾
从13种减去10种连续的牌型中选出五个点数，总共有13种选择五种方式，可以凑成顺子；每种花色有四种选择方式。凑成同花的方式是4的5次方减4。正如你所见，所有这些加起来是2,598,960，这也是我们在视频开头得到的。好的，让我们来实际应用一下。
我在我的网站Wizard of Odds上介绍的数百种赌场游戏之一叫做： Let it ride 。
让我们打开那个页面，这是一个基于五张牌的扑克游戏，没有抽牌，一切都基于 52 张牌中的五张随机牌。我不会详细介绍整个游戏规则，但有一个附加赌注，其赔付仅基于五张牌的扑克牌值。
你可以看到...
……我在这里列出了九种可能的赔付表，但这里的第四张表比较常见。我已经把它抄录到这张表中了，下注成本为 1 美元。如果你拿到同花大顺，你将赢得 2 万美元；拿到同花顺，你将赢得 2 万美元；拿到四条，你将赢得 400 美元。顺便说一下，这些赔付的赔率是 4-1，这意味着如果你赢了，你将无法保留原来的赌注。
这是我已经计算出概率的所有组合，这里的回报列是获胜次数乘以概率的乘积。
例如：
我们之前知道，拿到皇家同花顺的概率大约是四千二百六十万分之一。如果我们把这个概率乘以2万，预期回报就是3.08美分。这就是玩家下注一美元，他可以预期以皇家同花顺的形式获得的回报。如果拿到同花顺，他可以预期获得2.77美分的回报，以此类推。
如果你仔细计算，最终结果是，对于玩家来说，下注1美元，他可以预期赢回74.4667美分。换句话说，对于这一美元，玩家可以预期赢回大约74美分。47%，赌场将保留 25.53%。
我表达的方式是……
……庄家优势是25.53%，所以请你花点时间好好想想。赌场会拿走超过25%的赌注，这恰恰印证了我20多年来一直在说的一句话：边注都是傻瓜赌注。如果你能从这段视频中学到什么，我希望就是这一点。这段视频已经够长了，很抱歉这么长，希望对你有所帮助，并且让你有所收获。
谢谢观看。