TED-Ed 的青蛙谜语答案是错误的
TED-Ed 是一个非常好的 YouTube 频道。我喜欢它的一点是他们经常解答数学和逻辑难题。然而，在这篇简报中，我批评了他们“青蛙谜语”的错误答案。
在继续之前，我建议您观看以下链接的视频：
如果您没有观看视频，以下是提供的信息：
- 你被困在一片巨大的雨林里，吃了一朵有毒的蘑菇。
- 为了挽救你的生命，你需要某种青蛙排出的解毒剂。
- 不幸的是，只有该物种的雌性才能产生解毒剂。
- 雄性和雌性的数量相等，并且外观相同。
- 雄性的叫声很独特。
- 在左边，你发现树桩上有一只青蛙。
- 在你到达树桩上的青蛙之前，你听到对面空地上传来一声嘎嘎叫。
- 在空地上，你看到两只青蛙，但你不知道是哪一只发出了声音。
- 你感觉自己失去了意识，只能朝一个方向前进。
- 所有的青蛙都很温顺，如果有人靠近，它们很容易被舔。
问题是你应该走哪条路？换句话说，每个方向的生存概率是多少？
这个谜题显然是经典的“男孩女孩谜题”的改写。我们先把青蛙谜题放在一边，来正式地问一下“男孩女孩谜题”。在这个谜题中，我们得到了：
- 男孩和女孩的数量相等，并且独立于任何兄弟姐妹（换句话说，我们可以忽略同卵双胞胎）。
- 有人问一位有两个孩子的妇女：“你至少有一个男孩吗？”她回答“是的”。”
问题是她也生一个女孩的概率是多少？
这个问题经常被错误地回答为“1/2”。其论点是，“另一个孩子”生男孩或生女孩的概率各占一半。谬误在于，根本不存在“另一个孩子”。
正确的解题方法是运用贝叶斯条件概率定理。一般来说，该定理指出，给定信息 B，语句 A 为真的概率等于两者均为真的概率除以 B 为真的概率。其表达式为：
Pr(A | B) = Pr(A 和 B) / Pr(B)。
在男孩女孩谜题中：
A = 母亲有一个女孩
B = 至少一个男孩
这可以解决为 Pr(男孩和女孩) / Pr(至少一个男孩)。
一般来说，对于二胎家庭来说，概率是：
男孩和女孩 = 50%
男孩和男孩=25%
女孩和女孩=25%
那么男孩女孩谜题的答案就是 50%/(50% + 25%) = 50%/75% = 2/3。
解释 2/3 概率的另一种常见方法是使用下表。
| 儿童1 | 儿童 2 | |
| 男性 | 女性 | |
| 男性 | 不 | 是的 |
| 女性 | 是的 | |
雌性/雌性细胞被涂黑，因为这是不可能的。“是”表示至少有一个雌性。你可以看到，在三种可能性中，有三分之二包含雌性。因此，至少有一个雌性的概率是2/3。
现在我们回到青蛙谜语。根据视频中答案的推导，他们显然利用了雄蛙呱呱叫的部分，得出了空地上至少有一只青蛙是雄蛙的结论。然而，他们表示，答案部分，也就是呱呱叫的部分，所导致的答案并非2/3。
为了得到正确的答案，我们需要知道某只雄蛙被听到呱呱叫的概率。为了便于讨论，我们假设这个概率是10%。此外，假设你听到空地上传来呱呱叫声，你根本不知道是一只还是两只雄蛙发出的。
我们先来看一下原木上的青蛙是雌性的概率。该概率的表达式为：
Pr(雌性 | 无嘶鸣) =
Pr(雌性且不叫)/Pr(不叫) =
Pr(雌性且不叫)/(Pr(雌性且不叫) + Pr(雌性且不叫)) =
(0.5 * 1)/(0.5 * 1 + 0.5 * 0.9) = 0.5/(0.5 + 0.45) = 0.5/0.95 = 10/19 =~ 52.63%。
现在，我们先来看一下空地上出现女性的概率。该概率的表达式为：
Pr(雌性 | 嘎嘎叫声) =
6; 字体系列：'Open Sans'，sans-serif；颜色：#313131 !important; ">Pr(雌性和呱呱叫)/Pr(呱呱叫) =Pr(雌性和呱呱叫)/(Pr(雌性和呱呱叫的雄性和Pr(不呱呱叫的雄性和Pr(两只 ...让我们分别看一下每个单独的概率：
Pr(雌性和呱呱叫)：必须有一只雌蛙和一只呱呱叫的雄蛙。其概率为 2 * 0.5 * 0.5 * 0.1 = 1/20 = 0.05。之所以选择 2，是因为有两种方法可以判断哪只青蛙是雌蛙。
Pr(雌性和呱呱叫的雄鸟) = 与上述相同，因为呱呱叫声只能来自雄鸟。
Pr(不叫的雄性和叫的雄性) = 2 * 0.5 * 0.5 * 0.9 * 0.1 = 0.045。之所以选择 2，是因为有两种方法可以选择叫的雄性。
Pr（两只呱呱叫的雄性）= 0.5 * 0.5 * 0.1 * 0.1 = 0.0025
空地上出现女性的总体概率为 0.05 / (0.05 + 0.045 + 0.0025) = 0.05/0.0975 = 20/39 =~ 51.28% 。
总而言之，两种方式生存的概率是：
舔木头上的青蛙=52.63%
舔空地上的两只青蛙=51.28%。
因此，你应该舔木头上的青蛙。
让我们看一下一般情况，你听到特定雄性呱呱叫声的概率是 c。生存的概率是：
舔木头上的青蛙 = 1/(2-c)
舔空地上的两只青蛙 = 2/(4-c)
6; font-family: 'Open Sans', sans-serif; color: #313131 !important; ">对于任何 c>0 的值，舔原木上的青蛙的几率都会增大。我们知道 c>0，因为我们听到了青蛙的叫声。因此，你应该舔木头上的青蛙！