证明 2 的平方根是无理数

本周我们将证明 2 的平方根是无理数。不过，在此之前，我先给大家带来本周的逻辑谜题。

逻辑谜题

一位阿拉伯酋长让他的两个儿子骑着骆驼比赛，看谁能继承他的遗产。骆驼跑得慢的获胜。兄弟俩漫无目的地游荡了几天后，向一位智者寻求指引。得到智者的建议后，他们骑上骆驼，拼命地向城市奔去。智者对他们说了什么？

答案在简报底部。

证明 2 的平方根是无理数

我们将使用反证法进行证明。这意味着我将证明根号2不是有理数，从而留下它是无理数的另一种可能。

有理数的定义是它可以表示为两个整数的比值。我们称这两个整数为 p 和 q。这意味着无理数不能以这种方式表示。为了便于我们用反证法证明，我们暂且假设 p/q 的平方根可以表示为p/ q ，其中分数已化简到最简形式。因此，我们有：

√2 = p q

2 = p ² q ² （两边平方）

6; font-family: 'Open Sans', sans-serif; color: #313131 !important; ">2q ² = p ²

此时，p 必定是偶数，因为如果一个数的平方是偶数，那么这个数本身也是偶数。同样地，奇数的平方也是奇数。因此，我们可以说 p=2k，其中 k 为某个整数。

^2q² = (2k) ^²

^2q² = ^4k²

q ² = 2k ²

按照同样的逻辑，q 也必须是偶数。所以，p 和 q 都是偶数。然而，我们一开始假设 p 和 q 都化简到了最简形式。但是，如果它们都是偶数，那么它们都能被 2 整除。

因此，最初的假设√2 = p q已被证明是错误的。因此，备择假设√2 是无理数的必然成立。

逻辑谜题解答

智者说：“换骆驼，赶往远方的城市。”