证明调和级数发散
本周的证明是调和级数收敛。不过，在此之前，我先给大家带来每周例行的逻辑谜题。
逻辑谜题
星期一，医院育婴室里有两个婴儿，一男一女。
周二，家中添了一名新生儿。
周三随机抽取一名婴儿，是个男孩。
星期二出生的婴儿是男孩的概率是多少？
证明调和级数发散
调和级数是所有整数的逆的集合。换句话说， 11 , 12 , 13 , 14 ,6; font-family: 'Open Sans', sans-serif; color: #313131 !important;"> 1 5 ,…, 1 ∞ 。如果一个级数的所有元素之和为无穷大，则称该级数发散。对于调和级数而言，这一点并不明显，因为其元素趋于无穷小。然而，让我来证明它的和确实是无穷大。
方法一：比较检验
如果我能证明另一个元素相等或更少的级数是发散的，那么调和级数也必然是发散的。
谐波序列： 11,12,13,14,15,16 , 6; font-family: 'Open Sans', sans-serif; color: #313131 !important;"> 1 7 , 1 8 , 1 9 , 1 10 , 1 11 , 1 12 , 1 13 ,…, 1 ∞ .
系列 2： 1 1，1 2 ，6; font-family: 'Open Sans', sans-serif; color: #313131 !important;"> 1 4 , 1 4 , 1 8 , 1 8 , 1 8 , 1 8 , 1 16 , 1 16 , 1 16 , 1 16 ,6; font-family: 'Open Sans', sans-serif; color: #313131 !important;"> 1 16 , 1 16 , 1 16 , 1 32 ,…, 1 ∞ .
级数 2 与调和级数一样，都以相同的两个元素开始。然后，对于每个 n>=2，它重复1 / 2n × 2n-1次。注意，级数 2 中的每个元素都小于或等于调和级数中的对应元素。级数 2 可以分成若干组，每组之和为1 / 2n × 2n-1 = 1/2 。让我用不同的颜色来说明每一组：
系列 2： 1 1 ，6; font-family: 'Open Sans', sans-serif; color: #313131 !important;"> 1 2 , 1 4 , 1 4 , 1 8 , 1 8 , 1 8 , 1 8 , 1 16 , 1 16 , 1 16 ,6; font-family: 'Open Sans', sans-serif; color: #00A0D1 !important;"> 1 16 , 1 16 , 1 16 , 1 16 , 1 32 (16 次), 1 64 (32 次) …, 1 ∞
1 + ( 1 2 X ∞) = ∞
方法二：微积分
注意，黄色矩形的面积大于红色曲线下的面积。红色曲线下的面积为：
∫ 1 ∞ 1 x dx = ln(x) + c 从 1 到 ∞ = ln(∞) + c – ln(1) – c = ∞。
逻辑谜题解答
简答题
对于发生的事情有两种可能的解释，我们暂且称它们为X和Y。
X = 周二新增一名男孩，周三观察到一名男孩。这种情况发生的概率为 (1/2)*(2/3) = 2/6 = 1/3。
Y = 周二新增一名女孩，周三观察到一名男孩。这种情况发生的概率为 (1/2)*(1/3) = 1/6。
X+Y = 1/3 + 1/6 = 1/2
问题是问两种情况同时发生的概率是多少，X 是实际发生的事情。这可以用公式 X/(X+Y) = (1/3)/(1/2) = 2/3 来计算。
长答案
贝叶斯条件概率公式指出，Prob(A 在 B 的条件下) = Prob(A 且 B)/Prob(B)，其中 prob(x) 表示事件 x 发生的概率。令：
A = 男孩，周二添加
6; font-family: 'Open Sans', sans-serif; color: #313131 !important; ">B = 周三观察到的男孩在这种情况下：
Prob(A 已知 B) = Prob(周二添加的男孩已知周三观察到的男孩) = Prob(周二添加的男孩且周三观察到的男孩)/Prob(周三观察到的男孩)。
在没有任何关于周二抽签结果的信息的情况下，周二抽出的婴儿有50%的概率是男孩。假设周二抽出的婴儿是男孩，那么周三抽出的婴儿有2/3的概率是男孩。
同样，在没有任何关于周二抽签信息的情况下，周二抽到女孩的概率为50%。假设周二抽到的婴儿是女孩，那么周三抽到的婴儿是男孩的概率为1/3。
周三抽到男孩的概率等于 prob(周二加入的男孩)*prob(周三抽到的男孩) + prob(周二加入的女孩)*prob(周三抽到的男孩) = (1/2)*(2/3) + (1/2)*(1/3) = 1/2。
星期二加入一个男孩，星期三抽出一个男孩的概率 = (1/2)*(2/3) = 1/3。
因此，答案是 (1/3)/(1/2) = 2/3。