新的 NFL 数据
本周，我将更新对2022赛季一些常见NFL投注的分析。如果您对这个话题不感兴趣，请记得直接跳到文章末尾查看本周的新谜题。
我最近获得了2015年至2022年NFL赛季的数据。我的网站和书籍之前只涵盖了2017赛季。在分析了1889场比赛后，我得出以下分析结果。预期值的分析基于让分11分赢10分的假设。
主队对阵客队让分盘
在研究期间，主队赢盘880场，客队赢盘953场，比赛结果与盘口完全一致56场。在已结算的投注中，主队胜率为48.0%，客队胜率为52.0%。如果采用平局投注，主队将损失8.3%，客队将损失0.7%。
这个差异着实令人惊讶。于是，我做了一些调查。我发现主队平均只比客队多得1.64分。我经常听到的一种说法是，主场优势值3分。我推测，博彩大众高估了主场优势，反而造成了赔率上的偏差。
冷门对阵热门，让分盘
在所研究的八个赛季中，当点差不为零时，弱队赢盘898次，强队赢盘879次，比赛结果恰好在点差之内56次。如果不计平局，弱队胜率为50.5%，强队赢盘率为49.5%。这意味着弱队平均亏损3.5%，强队平均亏损5.6%。
我一直以来都支持投注冷门球队。这一点至今未变，但1%的胜率比我预期的要低。
总分大小盘对比。
在过去的八个赛季中，共进行了963场比赛，其中小分（Under）赢了963次，大分（Over）赢了909次，而盘口准确无误的比赛有17场。小分获胜的概率为51.4%。小分的预期损失为1.8%，大分的预期损失为7.3%。
胜负盘
6; font-family: 'Open Sans', sans-serif; color: #313131 !important; ">对于胜负盘投注，当冷门一方的赔率至少为1赔1时，我会同时考虑双方。因此，像-115/-105这样的赔率不予计入。所有投注均为一个单位，无论投注冷门还是热门。也就是说，投注冷门的总亏损率为0.9%，投注热门的总亏损率为5.6%。2024年9月19日 谜题
一个邪恶的典狱长将 100 名囚犯聚集在一起，并给每个人分配一个 1 到 100 之间的唯一编号。
另一个房间里有100个编号的箱子。狱警拿出编号为1到100的纸片，随机放入箱子中，每个箱子放一张纸片。
第二天，囚犯们将被允许依次进入箱子室。每位囚犯可以打开50个箱子。如果囚犯找到了自己的号码（例如，23号囚犯找到了装有数字23的箱子），那么他就“成功”了，如果在第50个箱子打开之前找到，他就可以提前离开。出口与入口是分开的。
如果所有100名囚犯都成功，他们将被全部释放。但是，如果有一名或多名囚犯失败，他们将被立即处死。
囚犯们被允许在一起待一天，商讨策略。一旦第一个囚犯进入箱子室，就不允许再进行任何交流。交流的方式包括但不限于移动文件和打开箱子盖。一旦发现任何交流行为，所有囚犯都将被立即处死，并遭受极度痛苦。
采取什么策略能最大程度地提高他们获救的概率？这个概率是多少？
2024年9月19日谜题答案
我承认我曾在《巫师》专栏第369期提出过这个谜题。但是，我对我的答案并不满意。我打算在这里尝试给出一个更简单的解释。
首先，要意识到这100个方框会构成若干个闭合回路。什么是闭合回路呢？它是指一系列最终都回到起始方框的方框。例如，如果方框17连接到方框79，方框79连接到方框5，方框5连接到方框17，那么这三个方框就构成了一个闭合回路。
6; font-family: 'Open Sans', sans-serif; color: #313131 !important; ">每个囚犯的策略都是打开与自己号码对应的盒子。他会阅读盒子里的纸条，然后打开纸条上对应的盒子。如果不是因为只能打开50次，囚犯最终肯定会打开装有自己号码的盒子。这是因为，通过选择装有自己号码的盒子，他至少进入了包含自己号码的闭合回路。然而，这并不能保证成功。很有可能会出现一个大小为 51 或更大的闭合回路。如果真是这样，回路中的所有囚犯都没有足够的开口来找到自己的号码。
接下来，我们来计算长度为 100 的闭合回路的排列方式。对于第一个盒子，里面有 99 个数字与盒子编号不匹配，这构成了一个长度为 1 的闭合回路。对于第二个盒子，里面有 98 个数字与第一个或第二个盒子的编号都不匹配，这构成了一个长度为 2 的闭合回路。对于第三个盒子，里面有 97 个数字与前三个盒子的编号都不匹配，这构成了一个长度为 3 的闭合回路。以此类推，长度为 100 的闭合回路共有 99 * 98 * 97 * … * 1 = 99! 种排列方式。100 张纸的排列方式共有 100! 种。长度为 100 的闭合回路的概率等于成功排列的组合数除以所有排列组合的总数，即 99!/100! = 1/100。
接下来，我们来计算组成一个包含 99 个盒子的闭合回路的方法数。另一个盒子可以自环，形成一个包含 1 个盒子的闭合回路，共有 100 种可能。那么，另外 99 个盒子有多少种排列方式可以组成一个包含 99 个盒子的闭合回路呢？根据上面 100 个盒子的排列方式，组成一个包含 99 个盒子的闭合回路的排列数为 98!。包含 99 个盒子的闭合回路和包含 1 个盒子的闭合回路的组合数为 100 * 98!。用这个组合数除以 100!（组合总数），得到 1/99。
接下来，我们来计算组成一个包含 98 个盒子的闭合回路的方法数。从 100 个盒子中挑选两个不属于包含 98 个盒子的闭合回路的盒子，共有 permut(100,2)=100!/98! = 9900 种排列方式（关于顺序）。那么，剩下的 98 个盒子有多少种排列方式可以组成一个包含 98 个盒子的闭合回路呢？根据上面计算 99 个和 100 个盒子的排列方式的逻辑，组成一个包含 98 个盒子的闭合回路的排列数为 97!。组成一个包含 98 个盒子的闭合回路以及另外两个盒子所有排列方式的排列数为 100*99*97!。因此，组成一个包含 98 个盒子的闭合回路的概率为 100*99*97!/100! = 1/98。
将这种逻辑推广到 51 的闭合回路，51 到 99 的闭合回路的概率为 1/51 + 1/52 + 1/53 + … + 1/100 ≈ 68.82%。另一种情况是成功，即不存在 51 或更大的闭合回路，这意味着每个囚犯都找到了自己的号码。这种情况的概率为 31.18%。
一种快速获得粗略近似值的方法是使用欧拉常数（不要与欧拉数混淆）。设 c = 欧拉常数 ≈ 0.577216。相应的公式为：
1/1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n =~ ln(n) + c.
对于这个问题，51 到 100 的闭合回路的概率为 1/51 + 1/52 + … + 1/100。这可以表示为：
（1/1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/100）-（1/1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/50）
使用上述近似公式，这大约是……
(ln(100) + c) – (ln(50) + c) = ln(100) – ln(50) = 4.605170 – 3.912023 = 0.693417。另一种方法是计算成功的概率，即 0.306853 = 30.69%。实际概率为 31.18%。因此，近似值与实际概率相差 0.50%。
2024年9月26日 谜题
你有一个手电筒和八节电池。手电筒需要两节好电池才能工作。八节电池中有四节能用，四节不能用。和往常一样，你无法通过外观区分好坏电池。你如何在最多尝试七次的情况下打开手电筒？