先走骰子
在玩桌游时，通常通过掷骰子来决定谁先走。例如，有人可能会建议由掷出最高点数的人先走，然后顺时针绕桌子走。然而，这样做有两个问题。首先，可能会出现平局，在这种情况下，重新掷骰子会浪费时间。其次，其他位置的位置不是随机的。
我的目标是设计一套骰子，随机化2到4名以上玩家的出场顺序，并且每个顺序的概率相同。我倾向于使用五个柏拉图立体，但也可以灵活运用。绝对不允许出现平局。只需投一次！
两人玩的话就比较简单了。如果点数最小的先出，并且允许投硬币，那么硬币的种类可以简单如下：
硬币 1：1.4
硬币 2：2.3
最终结果取决于 1，无论它落在硬币 2 上的两个连续数字之上还是之下。为了将其扩展到柏拉图立体的规则，我们可以复制其面。例如，对于立方体，我们可以：
魔方 1：1,1,1,3,3,3
魔方 2：2,2,2,2,2,2
如果我们必须有所有不同的数字（我喜欢），我们可以这样做：
6; 字体系列：'Open Sans'，sans-serif；颜色：#313131 !important; ">立方体 1：1,2,3,10,11,12魔方 2：4,5,6,7,8,9
当三人参与时，游戏就开始变得困难了。我承认，我尝试过结合代数和在 Excel 中反复试验，但失败了。于是，我稍微作弊，编写了一个模拟程序，将三个骰子的面随机编号为 1 到 18，直到找到答案。程序确实在几分钟内找到了答案，如下所示：
魔方 1：3,4,9,10,13,18
魔方 2：2,5,7,12,15,16
魔方 3：1,6,8,11,14,17
三个骰子共有6³ = 216 种投掷方式。三位玩家有六种可能的顺序。相信我，在 216 种可能的结果中，每种顺序都出现了 216/6 = 36 次。
我已经为这项任务编写了一个模拟器，我把它扩展到四人的情况。它运行了好几个小时，尝试了数万亿种组合，但都没有成功。于是，我又回过头来用数学方法解决这个问题。我的想法是，用以下方法扩展三骰子的解决方案：
| 立方体 1 | 4 | 5 | 10 | 15 | 18 | 23 |
| 立方体 2 | 3 | 6 | 8 | 17 | 20 | 21 |
| 立方体 3 | 2 | 7 | 9 | 16 | 19 | 22 |
| 立方体 4 | 1 | 11 | 12 | 十三 | 14 | 24 |
我的想法是，掷出 4 号骰子的玩家应该有四分之一的机会先走或最后走。让我们来考虑一下先走的概率。如果他掷出 1，那么无论其他三个骰子是什么，他都会先走，因为 1 是最小的数字。这个概率显然是 1/6。如果 4 号骰子的点数是 11 到 14，那么其他三个玩家需要掷出 15 或更大，才能使 4 号骰子成为最小的骰子。他们每个人都有 3 个大于 14 的数字。因此，4 号骰子成为最小骰子的概率是 (1/4) + (4/6)*(3/6)^3 = 1/6。这样一来，每个玩家都有四分之一的机会先走。
然而，如果 4 号魔方的点数最低，其他三名玩家的点数顺序就并非均等。例如，如果 1 号到 3 号魔方的点数均为 15 或以上，那么 1 号魔方成为最低点的概率应该是 1/3，但实际上是概率 (1 号魔方 = 15) + 概率 (1 号魔方 = 18) * 概率 (2 号魔方 = 20 或 21) * 概率 (3 号魔方 = 19 或 22) = 1/3 + (1/3) * (2/3) * (2/3) = 13/27。
因此，我想到将 1 到 3 号立方体变成十二面体（12 面骰子），在另外六个立方体上复制原来的六个面，但增加 24 个面，如下所示：
| 立方体 1 | 5 | 6 | 11 | 12 | 15 | 20 | 31 | 三十二 | 三十七 | 三十八 | 41 | 46 |
| 立方体 2 | 4 | 7 | 9 | 14 | 17 | 18 | 三十 | 33 | 三十五 | 40 | 43 | 四十四 |
| 立方体 3 | 3 | 8 | 10 | 十三 | 16 | 19 | 二十九 | 三十四 | 三十六 | 三十九 | 四十二 | 45 |
对于第四个骰子，我输入了两个最小数字和两个最大数字：1、2、47 和 48。然后输入了 20 和 29 之间空隙中的八个数字。这样，第四个骰子成为第一个或最后一个的概率就等于 (2/12) + (8/12)*(6/12)^3 = ¼ 。如果第四个骰子掷出 10 到 39 的点数，就回到三骰子方案，这已被证明是可行的。因此，四骰子方案如下：
| 模具 1 | 5 | 6 | 11 | 12 | 15 | 20 | 31 | 三十二 | 三十七 | 三十八 | 41 | 46 |
| 模具 2 | 4 | 7 | 9 | 14 | 17 | 18 | 三十 | 33 | 三十五 | 40 | 43 | 四十四 |
| 模具 3 | 3 | 8 | 10 | 十三 | 16 | 19 | 二十九 | 三十四 | 三十六 | 三十九 | 四十二 | 45 |
| 模具 4 | 1 | 2 | 21 | 22 | 23 | 24 | 二十五 | 二十六 | 二十七 | 二十八 | 四十七 | 四十八 |
您必须相信我，掷四个骰子有 12^4 = 1,296 种可能的方式，并且有 4!=24 种可能的顺序，每种顺序有 1296/24 = 54 种组合。
我不能就此止步，转而讨论五人游戏的情况。用同样的逻辑来处理四人游戏的情况，我能想到的最好的方案是使用 840 面骰子。我没有在这份简报里加五页纸来写一长串数字，而是在我在 Wizard of Vegas 论坛的“Go First Dice”主题帖中发布了骰子的具体面数。五个 840 面骰子的掷法有 3,485,099,520,000 种，所以我通过随机模拟检查了结果，结果令人满意，骰子达到了预期的效果。
让我陷入这个困境的视频是Numberphile （我最喜欢的频道之一！）上的《Go First Dice》。我必须承认，James Grime 讲到四骰子的例子和我一样。不过，我希望我能为讨论贡献一些内容。
本通讯中出现的所有图像均使用Copilot创建。