斐波那契数列第三部分
本周我们将开始一个关于斐波那契数列的三期系列讲座，这个数列在数学和自然界中都随处可见。不过，在此之前，我先奉上每周例行的逻辑谜题。
逻辑谜题
在下图所示的图形中，画四条线，笔不要离开纸面，穿过所有九个点。
斐波那契数列第三部分
本周我们将继续探讨斐波那契数列。在深入讲解之前，让我先定义一下：
F n = 斐波那契数列中的第n 个数。
本周我将展示一个公式，可以直接求出斐波那契数列中的任意一项，而无需定义任何先前的项。
在上周的简报中，我展示了当 n 趋于无穷大时，斐波那契数列中每个数与前一个数的比值如何趋近于 Φ。Φ 是以下方程的两个解之一，被称为黄金分割率。
Φ₂ – Φ – 1 = 0
重新排列：
（1）Φ 2 = Φ + 1
接下来，将等式（1）两边同时乘以Φ：
Φ₃ = Φ₂ + Φ
6;font-family: 'Open Sans',sans-serif;color: #313131!important; margin-top: 20px;">= Φ + 1 + Φ (将 Φ 2的值代入上面的公式 (1))= 2 Φ + 1
接下来，将等式（1）两边乘以Φ2 ：
Φ₄ = Φ₃ + Φ₂
= (2 Φ + 1) + (Φ + 1) (代入上述 Φ 3 + Φ 2的值)
=3 Φ + 2
接下来，将等式（1）两边乘以Φ3 ：
Φ₅ = Φ₄ + Φ₃
= (3Φ + 2) + (2Φ + 1)（代入上述Φ3 + Φ2的值）
=5 Φ + 3
接下来，将等式（1）两边乘以Φ4 ：
Φ6 = Φ5 + Φ4
= (5Φ + 3) + (3Φ + 2)（代入上述Φ3 + Φ2的值）
=8 Φ + 5
接下来，将等式（1）两边乘以Φ5 ：
Φ7 = Φ6 + Φ5
= (8Φ + 5) + (5Φ + 3)（代入上述Φ3 + Φ2的值）
=13 Φ + 8
你看出什么规律了吗？
（2） Φn = FnΦ + Fn -1
回想一下，方程 Φ 2 – Φ – 1 = 0 有两个解。利用二次方程，我们将这两个解定义为 x 和 y。
6;font-family: 'Open Sans',sans-serif;color: #313131!important;margin-top: 20px;"> x = 1 + √5 2y = 1 - √5 2
将这些解代入方程（2）：
（3）x n = F n x + F n-1
（4）y n = F n y + F n-1-
从公式 (3) 中减去公式 (4)：
x n – y n = F n x - F n y
x n – y n = F n (xy)
F n = (x n – y n ) / (xy)
让我们回到上面定义的 x 和 y。
我知道用这种方法实际计算斐波那契数会很麻烦。但是，我仍然觉得任何斐波那契数都存在纯粹形式这件事非常神奇。
我要感谢 blackpenredpen YouTube 频道，本期简报中展示的方法就来源于此。您可以在 视频“从二次方程推导斐波那契数列的第 n 项公式”中找到它。
逻辑谜题答案
