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最近更新 July 30, 2015

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Your Way 21点

简介

「Your Way 21点」⼤概可以描述成「Pai Gow牌九」与「Blackjack⼆⼗ ⼀点」之间的混合体。我是2015年6⽉26⽇在拉斯维加斯的Orleans赌场 第⼀次⻅到这个游戏。基本的概念是, ⼀开始玩家与庄家各发四张牌, 各⾃ 安排成⾼低两⼿各两张的牌⾯。接着玩家与庄家以Pai Gow牌九的玩法去 ⽐较每⼀⼿牌。如同Blackjack⼆⼗⼀点那样, 如果玩家先爆牌的话、他就 算是输局。

规则

  1. 使⽤单副52张的牌组。
  2. 所有牌的计点如同Blackjack⼆⼗⼀点。
  3. 玩家必须押注两笔相同⾦额的赌注。此外, 还有⼀种选择性的扑克side bet边注、称为「Poker Bet扑克押注」。
  4. 庄家会发给玩家与他⾃⼰各四张牌。玩家的押注应该基于玩家四张牌的 poker扑克价值、其⽀付列表如下。
  5. 玩家要安排他的四张牌成为各两张牌的两⼿⾼牌与低牌。⾼牌那⼿牌⾯ 的点数必须多过低牌那⼿牌⾯的点数。为了计点的⺫的、Aces应算为11 点。
  6. 玩家应该将每⼀⼿牌依照传统Blackjack⼆⼗⼀点的玩法、如下列规则:
    • 玩家可以在任何的两张牌加倍赌注。
    • 玩家分牌后可以加倍赌注。
    • 不允许投降。
  7. 如同Blackjack⼆⼗⼀点游戏, 如果庄家爆牌、则那⼿牌⽴即算为输局。
  8. 庄家应按照以下的house way赌场⽅式、如同玩家那般将他的牌分成⾼ 低两⼿牌。
  9. 庄家应该如同传统的Blackjack⼆⼗⼀点那般、将每⼀⼿牌玩完。
  10. 庄家在软17点时补牌。
  11. 玩家的低牌应与庄家的低牌相⽐、较⾼点数的那⼿牌以不超过21点者 为赢。
  12. 玩家的⾼牌应与庄家的⾼牌相⽐、较⾼点数的那⼿牌以不超过21点者 为赢。
  13. 所有玩家的赢注得以⽀付even money等额注⾦的赔率。双⽅Ties和局 算为push平⼿。
  14. ⼀⼿blackjack的牌⾯并⽆特别。⼀张Ace与⼀张10点牌算为21点、等 同于其他的21点牌⾯。

⺫前我并不知道这些规则是如何:

  • 是否允许Aces对⼦再度分牌。
  • 玩家可以在其他对⼦再度分牌⾄⼏⼿牌。

赌场⽅式

以下为house way赌场⽅式。

  1. 如果19点或更多点的低牌可以排成、那么庄家排出最佳可能的低牌。
  2. 此外, 如果20点或更多点的⾼牌可以排成、那么庄家排出最佳可能的⾼ 牌。
  3. 否则, 如果10点或11点的低牌可以排成、那么庄家排出可能的11点低 牌、不然就是10点的低牌。
  4. 否则, 如果18点的低牌可以排成、那么庄家就排出18点的低牌。
  5. 此外, 如果17点或更多点的⾼牌可以排成、那么庄家排出最佳可能的⾼ 牌。
  6. 此外, 如果庄家刚好有两张Aces、那么庄家将⼀张Ace排到⾼牌、另⼀ 张Ace排到低牌。
  7. 不然的话, 庄家尽可能排成最低点数的⾼牌。
  8. ⾼牌点数必须⾼于或等于低牌点数。当⼀⼿牌⾯在计点Aces时、Aces 算为11点、除⾮两张Aces被总计成12点时例外。

庄家机率

低牌

以下列表显⽰庄家最后的低牌机率、依照亮出的牌⾯来排列。

庄家机率 — 低牌

亮出的牌⾯ 17 18 19 20 21 爆点
2 0.141038 0.140081 0.136097 0.148336 0.148007 0.286442
3 0.137755 0.142297 0.131521 0.147142 0.152411 0.288874
4 0.137572 0.134960 0.140780 0.143045 0.154081 0.289562
5 0.128217 0.133162 0.136514 0.144462 0.153137 0.304508
6 0.108879 0.124830 0.128015 0.147887 0.159525 0.330863
7 0.153579 0.112540 0.113737 0.142024 0.155963 0.322157
8 0.121575 0.127469 0.140191 0.137233 0.157524 0.316008
9 0.123183 0.114199 0.191768 0.108019 0.147034 0.315796
10 0.141782 0.123084 0.155094 0.149405 0.116674 0.313961
A 0.121981 0.116728 0.178387 0.148116 0.128458 0.306330

⾼牌

以下列表显⽰庄家最后的⾼牌机率、依照亮出的牌⾯来排列。

庄家机率 — ⾼牌

亮出的牌⾯ 17 18 19 20 21 爆点
2 0.123038 0.088104 0.065978 0.296282 0.205399 0.221200
3 0.074791 0.072152 0.131196 0.293259 0.200482 0.228120
4 0.065775 0.107497 0.138077 0.285204 0.193281 0.210166
5 0.092675 0.112161 0.133043 0.279237 0.184936 0.197948
6 0.100629 0.109416 0.132167 0.277247 0.181214 0.199327
7 0.179955 0.123526 0.119952 0.264808 0.165956 0.145804
8 0.089787 0.207219 0.154254 0.283650 0.127485 0.137606
9 0.061737 0.083412 0.317847 0.312994 0.129184 0.094826
10 0.038418 0.044455 0.078161 0.559422 0.216943 0.062601
A 0.019336 0.051259 0.071591 0.143033 0.665055 0.049726

分牌策略

我对于这样分牌策略的表现⽅式感到抱歉。我唯⼀的理由是, ⼤部份时候 的决定都是相当明显的。⾄于其他时候, 使⽤以下玩家起始牌⾯组合与庄 家朝上牌⾯的期望值来决定。每种可⾏⽅式就是加总⾼低牌的期望值、采 ⽤最⼤的总合值去玩牌。

例如, 假设你有 2-7-9-A ⽽庄家显⽰⼀张10点牌。这⾥是每⼀种可能分牌 的期望值:

  • 27/A9: 0.0083 + 0.0067 = 0.0150
  • 29/A7: 0.3703 - 0.5249 = -0.1546
  • A2/79:-0.0061 - 0.7179 = -0.7240

如你所⻅, 分牌成27/A9的⾼低牌⾯有最⾼的期望值总合、因此这是最佳的 玩法。

分牌策略 — 低牌Expand

玩家牌⾯ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A
5 -0.2407 -0.2393 -0.2395 -0.2198 -0.1870 -0.1892 -0.2054 -0.2004 -0.1942 -0.2153
6 -0.2547 -0.2531 -0.2531 -0.2327 -0.1984 -0.2019 -0.2177 -0.2130 -0.2076 -0.2281
7 -0.2254 -0.2245 -0.2247 -0.2066 -0.1771 -0.1662 -0.1931 -0.1895 -0.1778 -0.2055
8 -0.1369 -0.1363 -0.1385 -0.1236 -0.1026 -0.0826 -0.1135 -0.1115 -0.0933 -0.1281
9 -0.0368 -0.0371 -0.0388 -0.0262 -0.0112 0.0029 -0.0172 -0.0039 0.0083 -0.0224
10 0.1414 0.1398 0.1396 0.1682 0.2021 0.2157 0.1877 0.2227 0.2475 0.1986
11 0.2782 0.2781 0.2768 0.3055 0.3440 0.3532 0.3237 0.3404 0.3703 0.3263
12 -0.3279 -0.3281 -0.3287 -0.3184 -0.3037 -0.2979 -0.3114 -0.3049 -0.2957 -0.3140
13 -0.3759 -0.3761 -0.3767 -0.3671 -0.3383 -0.3481 -0.3606 -0.3546 -0.3460 -0.3630
14 -0.4205 -0.4207 -0.4209 -0.3910 -0.3383 -0.3557 -0.3680 -0.3684 -0.3721 -0.3873
15 -0.4271 -0.4223 -0.4209 -0.3910 -0.3383 -0.3557 -0.3680 -0.3684 -0.3721 -0.3873
16 -0.4271 -0.4223 -0.4209 -0.3910 -0.3383 -0.3557 -0.3680 -0.3684 -0.3721 -0.3873
17 -0.2861 -0.2845 -0.2833 -0.2628 -0.2294 -0.2021 -0.2464 -0.2452 -0.2303 -0.2654
18 -0.0050 -0.0044 -0.0108 -0.0014 0.0043 0.0640 0.0026 -0.0078 0.0346 -0.0267
19 0.2712 0.2694 0.2650 0.2683 0.2572 0.2903 0.2703 0.2981 0.3127 0.2685
20 0.5557 0.5480 0.5488 0.5493 0.5331 0.5460 0.5477 0.5979 0.6172 0.5950
A2 -0.0453 -0.0464 -0.0477 -0.0378 -0.0223 -0.0149 -0.0317 -0.0209 -0.0061 -0.0310
A3 -0.0817 -0.0827 -0.0838 -0.0682 -0.0449 -0.0409 -0.0573 -0.0487 -0.0378 -0.0616
A4 -0.1078 -0.1073 -0.1079 -0.0912 -0.0658 -0.0634 -0.0795 -0.0716 -0.0617 -0.0849
A5 -0.1306 -0.1298 -0.1303 -0.1126 -0.0853 -0.0843 -0.1001 -0.0928 -0.0839 -0.1065
A6 -0.1115 -0.1113 -0.1117 -0.0959 -0.0723 -0.0598 -0.0845 -0.0773 -0.0639 -0.0917
A7 -0.0050 -0.0044 -0.0108 -0.0014 0.0043 0.0640 0.0026 -0.0078 0.0346 -0.0267
A8 0.2712 0.2694 0.2650 0.2683 0.2572 0.2903 0.2703 0.2981 0.3127 0.2685
A9 0.5557 0.5480 0.5488 0.5493 0.5331 0.5460 0.5477 0.5979 0.6172 0.5950
A,10 0.8520 0.8476 0.8459 0.8469 0.8405 0.8440 0.8425 0.8530 0.8833 0.8715
2,2 -0.2241 -0.2242 -0.2248 -0.2060 -0.1748 -0.1758 -0.1923 -0.1869 -0.1798 -0.2014
3,3 -0.2547 -0.2531 -0.2531 -0.2327 -0.1984 -0.2019 -0.2177 -0.2130 -0.2076 -0.2281
4,4 -0.1369 -0.1363 -0.1385 -0.1236 -0.1026 -0.0826 -0.1135 -0.1115 -0.0933 -0.1281
5,5 0.1414 0.1398 0.1396 0.1682 0.2021 0.2157 0.1877 0.2227 0.2475 0.1986
6,6 -0.3279 -0.3281 -0.3287 -0.3184 -0.3037 -0.2979 -0.3114 -0.3049 -0.2957 -0.3140
7,7 -0.4205 -0.4201 -0.4207 -0.3768 -0.3085 -0.2782 -0.3449 -0.3320 -0.2994 -0.3704
8,8 -0.2121 -0.2113 -0.2168 -0.1807 -0.1323 -0.0808 -0.1567 -0.1476 -0.0995 -0.1873
9,9 -0.0050 -0.0044 -0.0108 -0.0014 0.0043 0.0640 0.0026 0.0220 0.0455 -0.0199
10,10 0.5557 0.5480 0.5488 0.5493 0.5331 0.5460 0.5477 0.5979 0.6172 0.5950
A,A 0.4064 0.4054 0.4036 0.4322 0.4680 0.4821 0.4495 0.4693 0.5053 0.4560
 

分牌策略 — ⾼牌Expand

玩家牌⾯ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A
5 -0.3814 -0.3896 -0.4030 -0.3938 -0.3877 -0.3687 -0.3804 -0.4467 -0.5819 -0.7106
6 -0.3953 -0.4011 -0.4185 -0.4152 -0.4094 -0.3911 -0.4024 -0.4664 -0.5968 -0.7209
7 -0.3727 -0.3908 -0.4122 -0.4056 -0.3980 -0.3918 -0.4252 -0.4863 -0.6117 -0.7312
8 -0.3108 -0.3502 -0.3641 -0.3476 -0.3381 -0.3053 -0.3495 -0.4815 -0.6271 -0.7359
9 -0.2449 -0.2711 -0.2735 -0.2564 -0.2476 -0.2132 -0.2260 -0.3459 -0.5803 -0.7015
10 -0.1013 -0.1118 -0.1135 -0.0992 -0.0912 -0.0631 -0.0605 -0.1311 -0.3591 -0.5948
11 0.0145 0.0021 -0.0031 0.0079 0.0146 0.0363 0.0344 -0.0290 -0.1799 -0.4083
12 -0.4425 -0.4551 -0.4614 -0.4530 -0.4476 -0.4307 -0.4407 -0.4993 -0.6206 -0.7367
13 -0.4823 -0.4940 -0.4999 -0.4921 -0.4871 -0.4714 -0.4807 -0.5350 -0.6477 -0.7555
14 -0.5193 -0.5301 -0.5356 -0.5284 -0.5237 -0.5091 -0.5178 -0.5683 -0.6728 -0.7729
15 -0.5536 -0.5438 -0.5688 -0.5621 -0.5577 -0.5442 -0.5522 -0.5991 -0.6962 -0.7892
16 -0.5576 -0.5438 -0.5797 -0.5933 -0.5893 -0.5767 -0.5842 -0.6277 -0.7179 -0.8042
17 -0.4346 -0.4690 -0.5139 -0.5114 -0.5007 -0.5284 -0.6139 -0.6543 -0.7381 -0.8182
18 -0.2234 -0.3220 -0.3406 -0.3066 -0.2907 -0.2250 -0.3380 -0.6035 -0.7535 -0.8106
19 -0.0693 -0.1187 -0.0950 -0.0614 -0.0491 0.0185 0.0235 -0.2022 -0.6309 -0.6878
20 0.2929 0.3058 0.3282 0.3509 0.3603 0.4033 0.4614 0.4286 0.0067 -0.4731
A2 -0.2017 -0.2146 -0.2167 -0.2046 -0.1979 -0.1736 -0.1745 -0.2454 -0.4100 -0.5967
A3 -0.2323 -0.2449 -0.2471 -0.2355 -0.2290 -0.2056 -0.2070 -0.2755 -0.4341 -0.6131
A4 -0.2627 -0.2691 -0.2772 -0.2660 -0.2598 -0.2373 -0.2390 -0.3053 -0.4578 -0.6291
A5 -0.2846 -0.2887 -0.3011 -0.2961 -0.2901 -0.2686 -0.2705 -0.3344 -0.4811 -0.6449
A6 -0.2689 -0.2856 -0.3022 -0.2939 -0.2861 -0.2768 -0.3014 -0.3630 -0.5037 -0.6602
A7 -0.2204 -0.2567 -0.2678 -0.2509 -0.2415 -0.2080 -0.2449 -0.3693 -0.5249 -0.6694
A8 -0.0693 -0.1187 -0.0950 -0.0614 -0.0491 0.0185 0.0235 -0.2022 -0.5062 -0.6443
A9 0.2929 0.3058 0.3282 0.3509 0.3603 0.4033 0.4614 0.4286 0.0067 -0.4731
A,10 0.7946 0.7995 0.8067 0.8151 0.8188 0.8340 0.8725 0.8708 0.7831 0.3349
2,2 -0.3596 -0.3740 -0.3820 -0.3724 -0.3661 -0.3465 -0.3585 -0.4271 -0.5671 -0.7004
3,3 -0.3953 -0.4011 -0.4185 -0.4152 -0.4094 -0.3911 -0.4024 -0.4664 -0.5968 -0.7209
4,4 -0.3108 -0.3502 -0.3641 -0.3476 -0.3381 -0.3053 -0.3495 -0.4815 -0.6271 -0.7359
5,5 -0.1013 -0.1118 -0.1135 -0.0992 -0.0912 -0.0631 -0.0605 -0.1311 -0.3591 -0.5948
6,6 -0.4425 -0.4551 -0.4614 -0.4530 -0.4476 -0.4307 -0.4407 -0.4993 -0.6206 -0.7367
7,7 -0.5193 -0.5301 -0.5356 -0.5284 -0.5237 -0.5091 -0.5178 -0.5683 -0.6728 -0.7729
8,8 -0.5576 -0.5438 -0.5797 -0.5933 -0.5893 -0.5767 -0.5842 -0.6277 -0.7179 -0.8042
9,9 -0.2234 -0.3220 -0.3406 -0.3066 -0.2907 -0.2250 -0.3380 -0.6035 -0.7535 -0.8106
10,10 0.2929 0.3058 0.3282 0.3509 0.3603 0.4033 0.4614 0.4286 0.0067 -0.4731
A,A 0.0934 0.0762 0.0522 0.0573 0.0708 0.0311 0.0187 -0.1607 -0.3854 -0.5802

基本策略

以下图表显⽰针对低牌的基本策略

以下图表显⽰针对⾼牌的基本策略

基本策略图表的代号:
停 = 停住不补
补 = 补牌
加 = 加倍赌注
分 = 分牌

应该注意的是, 在这个基本策略与这个游戏的纪录数学家有某些不同之 处。这⾥是⼀些牌⾯他与我们的不同玩法:

  • 低牌 — 9,9 对抗 10 或 A: 停住不补
  • 低牌 — 7,7 对抗 2: 分牌
  • ⾼牌 — A,A 对抗 9: 补牌

赌场优势

在完成我的分析之后, 我发现这个游戏的纪录数学家得到的赌场优势为 1.64%. 这个数值⽐我得到的2.61%还要更低。我考量我的分析是相当粗 略的、所以遵从1.64%的数值。

Poker扑克Side Bet边注

以下列表显⽰Poker扑克side bet边注每⼀种可能结果的机率与回报率。右 下⽅的栏位显⽰其赌场优势为7.40%.

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牌⾯ 赔率 排列组合总数 机率 回报率
四条 250 13 0.000048 0.012005
同花顺 75 44 0.000163 0.012189
同花 9 2,816 0.010402 0.093615
顺⼦ 7 2,772 0.010239 0.071674
三条 5 2,496 0.009220 0.046098
两对 4 2,808 0.010372 0.041489
对⼦ 1 82,368 0.304250 0.304250
其他所有牌⾯ -1 177,408 0.655307 -0.655307
总计   270,725 1.000000 -0.073987

连结

讨论关于「Your Way 21点」在 Wizard of Vegas拉斯维加斯巫师.

⽅法

这个分析相当困难。最后的赌场优势是三种试算表与两种各别电脑程式包 含2,000⾏编码的结果。如上所述, 我与游戏纪录的数学家之间有⼤约1% 的差值, 对他我不会表⽰⾮议。现在我会有所保留地对这个游戏做出任何 的分析。


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