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多卡基诺的差异
简介
本文探讨多张牌基诺的方差。许多电子基诺游戏允许玩家同时玩四张牌,有些则允许玩家同时玩多达20张牌。玩家可以通过控制牌中相同数字的数量来控制游戏的方差。牌中相同数字越多,方差就越大。
数学复习
让:
E(x) = 随机变量 X 的期望值。Cov(x) = 任意两张卡片之间的协方差。
P单张卡牌的方差可以表示为:
Var(x)=E(x^2)-(E(x)) 2
当两张牌上有任何相同的数字时,每局游戏的结果都会相关。通常,这种相关关系用它们的协方差来衡量。两个随机变量 x 和 y 之间的协方差的一般公式为:
Cov(x,y) = E(xy) - E(x)*E(y)
如果任意两张牌的共同数字相同,则 n 张牌的总方差为:
总协方差 = n*Var(x) + n*(n-1)*Cov(x,y)
用 3 个常见数字选 6
首先,让我们在典型的3、4、68、1500赔率表下,找出单张牌的方差。下表显示了所有可能结果的预期赢利和赢利的平方。
Pick Six 基诺彩票回报表
抓住 | 支付 | 可能性 | 预期的 赢 | 预期的 赢^2 |
---|---|---|---|---|
0 | 0 | 0.166602 | 0.000000 | 0.000000 |
1 | 0 | 0.363495 | 0.000000 | 0.000000 |
2 | 0 | 0.308321 | 0.000000 | 0.000000 |
3 | 3 | 0.129820 | 0.389459 | 1.168376 |
4 | 4 | 0.028538 | 0.114152 | 0.456607 |
5 | 68 | 0.003096 | 0.210503 | 14.314233 |
6 | 1500 | 0.000129 | 0.193477 | 290.216113 |
全部的 | 1.000000 | 0.907591 | 306.155328 |
最下面一行显示预期收益为0.907591,预期收益平方为306.155328。因此方差为306.155328 - 0.907591 2 = 305.331607。
接下来,让我们深入探讨一下玩家选择 6 个数字的情况,其中 3 个数字在所有牌上都是相同的,另外 3 个数字在每张牌上都是不同的。例如,在 4 张牌的游戏中,我可能会选择:
- 卡A:1,2,3,5,10,15
- 卡B:1,2,3,20,25,30
- 卡C:1,2,3,35,40,45
- 卡D:1,2,3,50,55,60
下表显示了两张卡片 A 和 B 之间接球次数的所有 49 种可能组合的概率,这两张卡片的六个数字中有三个相同。左列是卡片 A 的接球次数,顶行是卡片 B 的接球次数。
组合概率表——选出 6 个有 3 个共同数字的号码
渔获量 | 抓住 0 | 抓住 1 | 抓住 2 | 抓住 3 | 抓住 4 | 抓住 5 | 抓住 6 | 全部的 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0.063748 | 0.073555 | 0.026369 | 0.002930 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.166602 |
1 | 0.073555 | 0.152662 | 0.105475 | 0.029086 | 0.002717 | 0.000000 | 0.000000 | 0.363495 |
2 | 0.026369 | 0.105475 | 0.113626 | 0.051596 | 0.010479 | 0.000776 | 0.000000 | 0.308321 |
3 | 0.002930 | 0.029086 | 0.051596 | 0.034435 | 0.010316 | 0.001389 | 0.000068 | 0.129820 |
4 | 0.000000 | 0.002717 | 0.010479 | 0.010316 | 0.004216 | 0.000761 | 0.000049 | 0.028538 |
5 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000776 | 0.001389 | 0.000761 | 0.000159 | 0.000011 | 0.003096 |
6 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000068 | 0.000049 | 0.000011 | 0.000001 | 0.000129 |
全部的 | 0.166602 | 0.363495 | 0.308321 | 0.129820 | 0.028538 | 0.003096 | 0.000129 | 1.000000 |
下表显示了两张牌之间的胜利乘积。
赢取产品表 -- 选择 6
渔获量 | 抓住 0 | 抓住 1 | 抓住 2 | 抓住 3 | 抓住 4 | 抓住 5 | 抓住 6 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
3 | 0 | 0 | 0 | 9 | 12 | 204 | 4500 |
4 | 0 | 0 | 0 | 12 | 16 | 272 | 6000 |
5 | 0 | 0 | 0 | 204 | 272 | 4624 | 102000 |
6 | 0 | 0 | 0 | 4500 | 6000 | 102000 | 2250000 |
下表将上面两张表相乘,得出两张牌的赢率预期乘积。右下角单元格显示预期赢率乘积为 7.390131。
预期中奖产品表 - 选 6 个带有 3 个常见数字的号码
渔获量 | 抓住 0 | 抓住 1 | 抓住 2 | 抓住 3 | 抓住 4 | 抓住 5 | 抓住 6 | 全部的 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 |
1 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 |
2 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 |
3 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.309916 | 0.123788 | 0.283363 | 0.306405 | 1.023472 |
4 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.123788 | 0.067463 | 0.206918 | 0.295839 | 0.694008 |
5 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.283363 | 0.206918 | 0.734216 | 1.108143 | 2.332641 |
6 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.306405 | 0.295839 | 1.108143 | 1.629623 | 3.340010 |
全部的 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 1.023472 | 0.694008 | 2.332641 | 3.340010 | 7.390131 |
因此,两张卡之间的协方差为 7.390131 - 0.907591 2 = 6.566409。
下表显示了玩 1 到 20 张牌时的方差和标准差,包括所有牌的组合和每张牌的方差和标准差。
用 3 个常见数字选出 6 个——方差摘要
牌 | 全部的 方差 | 方差 每张卡 | 全部的 标准差 | 标准差 每张卡 |
---|---|---|---|---|
1 | 305.33 | 305.33 | 17.47 | 17.47 |
2 | 623.80 | 311.90 | 24.98 | 17.66 |
3 | 955.39 | 318.46 | 30.91 | 17.85 |
4 | 1300.12 | 325.03 | 36.06 | 18.03 |
5 | 1657.99 | 331.60 | 40.72 | 18.21 |
6 | 2028.98 | 338.16 | 45.04 | 18.39 |
7 | 2413.11 | 344.73 | 49.12 | 18.57 |
8 | 2810.37 | 351.30 | 53.01 | 18.74 |
9 | 3220.77 | 357.86 | 56.75 | 18.92 |
10 | 3644.29 | 364.43 | 60.37 | 19.09 |
11 | 4080.95 | 371.00 | 63.88 | 19.26 |
12 | 4530.75 | 377.56 | 67.31 | 19.43 |
十三 | 4993.67 | 384.13 | 70.67 | 19.60 |
14 | 5469.73 | 390.69 | 73.96 | 19.77 |
15 | 5958.92 | 397.26 | 77.19 | 19.93 |
16 | 6461.24 | 403.83 | 80.38 | 20.10 |
17 | 6976.70 | 410.39 | 83.53 | 20.26 |
18 | 7505.29 | 416.96 | 86.63 | 20.42 |
19 | 8047.01 | 423.53 | 89.71 | 20.58 |
20 | 8601.87 | 430.09 | 92.75 | 20.74 |
用 5 个常见数字选 10
下表显示了 3-4-68-1500 赔付表下 pick-10 基诺的预期赢利和预期赢利平方。
Pick Ten Keno 回报表
抓住 | 支付 | 可能性 | 预期的 赢 | 预期的 赢^2 |
---|---|---|---|---|
0 | 0 | 0.045791 | 0.000000 | 0.000000 |
1 | 0 | 0.179571 | 0.000000 | 0.000000 |
2 | 0 | 0.295257 | 0.000000 | 0.000000 |
3 | 0 | 0.267402 | 0.000000 | 0.000000 |
4 | 0 | 0.147319 | 0.000000 | 0.000000 |
5 | 5 | 0.051428 | 0.257138 | 1.285692 |
6 | 23 | 0.011479 | 0.264026 | 6.072600 |
7 | 132 | 0.001611 | 0.212671 | 28.072557 |
8 | 1000 | 0.000135 | 0.135419 | 135.419355 |
9 | 4500 | 0.000006 | 0.027543 | 123.943139 |
10 | 10000 | 0.000000 | 0.001122 | 11.221190 |
全部的 | 1.000000 | 0.897920 | 306.014533 |
最下面一行显示预期收益为 0.897920,预期收益平方为 306.014533。因此方差为 306.014533 - 0.897920^2 = 305.208273。
经过大量的数学计算(我将省略),协方差是 9.998613。
下表显示了玩 1 到 9 张牌时的方差和标准差,包括所有牌的组合和每张牌的方差和标准差。
总方差和标准差——从 5 个常见数字中挑选 10 个
牌 | 全部的 方差 | 方差 每张卡 | 全部的 标准差 | 标准差 每张卡 |
---|---|---|---|---|
1 | 305.21 | 305.21 | 17.47 | 17.47 |
2 | 630.41 | 315.21 | 25.11 | 17.75 |
3 | 975.62 | 325.21 | 31.23 | 18.03 |
4 | 1340.82 | 335.20 | 36.62 | 18.31 |
5 | 1726.01 | 345.20 | 41.55 | 18.58 |
6 | 2131.21 | 355.20 | 46.17 | 18.85 |
7 | 2556.40 | 365.20 | 50.56 | 19.11 |
8 | 3001.59 | 375.20 | 54.79 | 19.37 |
9 | 3466.77 | 385.20 | 58.88 | 19.63 |
10 | 3951.96 | 395.20 | 62.86 | 19.88 |
11 | 4457.14 | 405.19 | 66.76 | 20.13 |
12 | 4982.32 | 415.19 | 70.59 | 20.38 |
十三 | 5527.49 | 425.19 | 74.35 | 20.62 |
14 | 6092.66 | 435.19 | 78.06 | 20.86 |
15 | 6677.83 | 445.19 | 81.72 | 21.10 |
用 3 个常见数字选 9
下表显示了 1-6-44-300-4700-10000 赔付表下 pick-9 基诺的预期赢利和预期赢利平方。
Pick Ten Keno 回报表
抓住 | 支付 | 可能性 | 预期的 赢 | 预期的 赢^2 |
---|---|---|---|---|
0 | 0 | 0.063748 | 0.000000 | 0.000000 |
1 | 0 | 0.220666 | 0.000000 | 0.000000 |
2 | 0 | 0.316426 | 0.000000 | 0.000000 |
3 | 0 | 0.246109 | 0.000000 | 0.000000 |
4 | 1 | 0.114105 | 0.114105 | 0.114105 |
5 | 6 | 0.032601 | 0.195609 | 1.173653 |
6 | 四十四 | 0.005720 | 0.251661 | 11.073064 |
7 | 300 | 0.000592 | 0.177504 | 53.251057 |
8 | 4700 | 0.000033 | 0.153185 | 719.967331 |
9 | 10000 | 0.000001 | 0.007243 | 72.427678 |
全部的 | 1.000000 | 0.899305 | 858.006889 |
最下面一行显示预期收益为0.899305,预期收益平方为858.006889。因此方差为858.006889 - 0.899305 2 = 857.198138。
经过大量的数学计算(我将省略),协方差是 3.401478。
下表显示了玩 1 到 12 张牌时的方差和标准差,包括所有牌的组合和每张牌的方差和标准差。
总方差和标准差——选出 9 个有 3 个共同数字的数
牌 | 全部的 方差 | 方差 每张卡 | 全部的 标准差 | 标准差 每张卡 |
---|---|---|---|---|
1 | 857.20 | 857.20 | 29.28 | 29.28 |
2 | 1721.20 | 860.60 | 41.49 | 29.34 |
3 | 2592.00 | 864.00 | 50.91 | 29.39 |
4 | 3469.61 | 867.40 | 58.90 | 29.45 |
5 | 4354.02 | 870.80 | 65.99 | 29.51 |
6 | 5245.23 | 874.21 | 72.42 | 29.57 |
7 | 6143.25 | 877.61 | 78.38 | 29.62 |
8 | 7048.07 | 881.01 | 83.95 | 29.68 |
9 | 7959.69 | 884.41 | 89.22 | 29.74 |
10 | 8878.11 | 887.81 | 94.22 | 29.80 |
11 | 9803.34 | 891.21 | 99.01 | 29.85 |
12 | 10735.37 | 894.61 | 103.61 | 29.91 |
选出 9 个有 6 个共同数字的号码
上图显示了单张卡牌的预期收益表,其中选9号,包含3个公共号码。提醒一下,方差为857.198138。
经过大量的数学计算(我将省略),两张有六个共同数字的 pick-9 卡的协方差为 57.283444。
下表显示了玩 1 到 20 张牌时的方差和标准差,包括所有牌的组合和每张牌的方差和标准差。
总方差和标准差——选出 9 个有 6 个共同数字的数
牌 | 全部的 方差 | 方差 每张卡 | 全部的 标准差 | 标准差 每张卡 |
---|---|---|---|---|
1 | 857.20 | 857.20 | 29.28 | 29.28 |
2 | 1828.96 | 914.48 | 42.77 | 30.24 |
3 | 2915.30 | 971.77 | 53.99 | 31.17 |
4 | 4116.19 | 1029.05 | 64.16 | 32.08 |
5 | 5431.66 | 1086.33 | 73.70 | 32.96 |
6 | 6861.69 | 1143.62 | 82.84 | 33.82 |
7 | 8406.29 | 1200.90 | 91.69 | 34.65 |
8 | 10065.46 | 1258.18 | 100.33 | 35.47 |
9 | 11839.19 | 1315.47 | 108.81 | 36.27 |
10 | 13727.49 | 1372.75 | 117.16 | 37.05 |
11 | 15730.36 | 1430.03 | 125.42 | 37.82 |
12 | 17847.79 | 1487.32 | 133.60 | 38.57 |
十三 | 20079.79 | 1544.60 | 141.70 | 39.30 |
14 | 22426.36 | 1601.88 | 149.75 | 40.02 |
15 | 24887.50 | 1659.17 | 157.76 | 40.73 |
16 | 27463.20 | 1716.45 | 165.72 | 41.43 |
17 | 30153.47 | 1773.73 | 173.65 | 42.12 |
18 | 32958.30 | 1831.02 | 181.54 | 42.79 |
19 | 35877.70 | 1888.30 | 189.41 | 43.45 |
20 | 38911.67 | 1945.58 | 197.26 | 44.11 |
概括
下表显示了上述所有情况以及从 2 到 10 的每个选择数(没有重叠数字)的相关统计数据。
概括
精选 | 赔率表 | 重叠 数字 | 方差 | 协方差 | |
---|---|---|---|---|---|
2 | 14 | 0 | 0.841772 | 11.076230 | -0.108155 |
3 | 2,45 | 0 | 0.901899 | 27.839208 | -0.205128 |
4 | 2,5,85 | 0 | 0.901899 | 23.251327 | -0.183044 |
5 | 3,11,804 | 0 | 0.901899 | 418.292207 | -0.441581 |
6 | 3,4,68,1500 | 0 | 0.903340 | 305.331607 | -0.376538 |
7 | 1,2,20,390,7000 | 0 | 0.908473 | 1310.087945 | -0.518283 |
8 | 2,12,98,1550,10000 | 0 | 0.906738 | 844.928926 | -0.603251 |
9 | 1,6,44,300,4700,10000 | 0 | 0.899305 | 857.198138 | -0.609176 |
10 | 5,23,132,1000,4500,10000 | 0 | 0.897920 | 305.208273 | -0.631869 |
6 | 3,4,68,1500 | 3 | 0.903340 | 305.331607 | 6.566409 |
9 | 1,6,44,300,4700,10000 | 3 | 0.899305 | 857.198138 | 3.401478 |
9 | 1,6,44,300,4700,10000 | 6 | 0.899305 | 857.198138 | 57.283444 |
10 | 5,23,132,1000,4500,10000 | 5 | 0.897920 | 305.208273 | 9.998613 |
例子
以上信息有什么用呢?这里有一个数学示例题,上面的信息会很有帮助。
乔玩了10,000场四张牌基诺游戏。每局游戏他都会从四张牌中选择三个相同的数字,其余三个数字则各不相同。他每张牌下注1美元。赔率表采用3-4-68-1500。他的预期总赢利的95%置信区间是多少?
点击下面的按钮获取答案。
单击下面的按钮获取简要解决方案。
[剧透=解决方案]
预期赢利为 10,000 × 4 × $1 × (0.907591-1) = -3,696.35。
上表显示,每张卡的方差为 325.0308343。总计 40,000 张卡,总方差为 40,000 × 325.0308343 = 13,001,233 美元。
方差的平方根是标准差,等于 sqrt($13,001,233) = $3,605.72。
95% 的置信区间在两个方向上都跨越 1.959964 个标准差。这意味着 95% 的情况下,实际收益将在预期收益的 1.959964 × 3,605.72 美元 = 7,067.09 美元范围内。
因此,95% 置信区间的下限为 -$3,696.35 - $7,067.09 = -$10,763.44。
95% 置信区间的上限为 -3,696.35 美元 + 7,067.09 美元 = 3,370.73 美元。
[剧透]