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Blackjack X-Change ⼆⼗⼀点 X-换牌
Blackjack X-Change ⼆⼗⼀点 X-换牌
简介
「Blackjack X-Change ⼆⼗⼀点 X-换牌」是Blackjack⼆⼗⼀点的⼀种变 体版本、让玩家可以⽤⼀张随机的牌来调换他⼿中的任何牌。依照状况, 玩家可以付钱去调换⼀张坏牌、或是换掉⼀张好牌⽽得到⽀付。据我所知 这种游戏可以在Caesars线上/⼿机赌场玩得到。
规则
「Blackjack X-Change ⼆⼗⼀点 X-换牌」是基于标准的Blackjack⼆⼗⼀ 点规则、我假设读者对此已经⾮常熟悉了。以下是针对传统Blackjack⼆ ⼗⼀点的特别调整项⺫。
- 使⽤⽆限副牌组。
- 庄家在软17点时停住不补牌。
- Blackjack⽀付3⽐2的赔率。
- 庄家偷瞄hole card洞牌、查看是否有拿到blackjack.
- 玩家可以在任何两张牌加倍赌注、包括分牌之后。
- 玩家只能分牌⼀次。
- 玩家分牌Aces对⼦之后可以再补牌和加倍赌注。
- 玩家可以交换他⼿中的任何牌, 在⼤部份的情况, 以⼀笔价钱换取⼀张随 机的牌。这个换牌选项适⽤于四张或更少张牌、21点或更少点的牌⾯, 并 且不适⽤于加倍赌注或分牌之后的情况。
- 如果玩家换过⼀张牌之后, 他不可以加倍赌注或分牌。
- 如果玩家换过⼀张牌之后拿到blackjack, ⽀付赔率依然是3⽐2.
- 游戏会对玩家收取换掉⼀张坏牌的费⽤、称为「Buy买」的价钱, 或是 付钱给玩家换掉⼀张好牌、称为「Sell卖」的价钱。
- 「Buy买」与「Sell卖」两者的价钱视情况⽽定。游戏对玩家收取超出 2.5%公平价钱的费⽤去「Buy买」⼀张牌、⽀付少于2.5%公平价钱去 「Sell卖」⼀张牌, 虽然我发现有时这个百分⽐是稍微太⾼了。
- 如果玩家买卖⼀张牌, 付出或得到的价钱会直接从玩家的余额当中扣 减/加⼊, 不会去动到他的押注⾦额。
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举例
从以上例⼦当中, 我押注£20并有三张牌总数为13点以对抗庄家的5点。我 有下列的选项:
- 在15点对抗5点的状况下补牌或停住不补牌, 如同传统的Blackjack⼆⼗⼀ 点。
- 买⼀张随机的牌换掉6点牌、付费 £6.67.
- 卖掉2点牌换成⼀张随机牌、得到 £1.74.
- 买⼀张随机的牌换掉7点牌、付费 £4.90.
分析
假设玩家从未换牌, 我算出赌场优势为0.37%. 这是玩家的期望输值对⽐于 原初赌注的⽐率。游戏的帮助档案宣称回报率为99.68%, 留下0.32%给赌 场。我怀疑从帮助档案不同的「return回报率」是否就是回报给玩家的⾦ 额对⽐于总押注⾦额的⽐率, 包括加倍赌注与分牌。换⾔之, 这差异之处在 于⽐较house edge赌场优势与element of risk危险元素。
以下列表显⽰在每种状况下的期望值, 如果只有补牌和停住不补两种选 项。
期望值 — 补牌 或 停住不补Expand
玩家
总点数 |
庄家
2 |
庄家
3 |
庄家
4 |
庄家
5 |
庄家
6 |
庄家
7 |
庄家
8 |
庄家
9 |
庄家
10 |
庄家
Ace |
硬4点 |
-0.114913 |
-0.082613 |
-0.049367 |
-0.012380 |
0.011130 |
-0.088279 |
-0.159334 |
-0.240666 |
-0.289198 |
-0.253077 |
硬5点 |
-0.128216 |
-0.095310 |
-0.061479 |
-0.023979 |
-0.001186 |
-0.119447 |
-0.188093 |
-0.266615 |
-0.313412 |
-0.278575 |
硬6点 |
-0.140759 |
-0.107291 |
-0.072917 |
-0.034916 |
-0.013006 |
-0.151933 |
-0.217242 |
-0.292641 |
-0.337749 |
-0.304147 |
硬7点 |
-0.109183 |
-0.076583 |
-0.043022 |
-0.007271 |
0.029185 |
-0.068808 |
-0.210605 |
-0.285365 |
-0.319055 |
-0.310072 |
硬8点 |
-0.021798 |
0.008005 |
0.038784 |
0.070805 |
0.114960 |
0.082207 |
-0.059898 |
-0.210186 |
-0.249375 |
-0.197029 |
硬9点 |
0.074446 |
0.101265 |
0.128981 |
0.158032 |
0.196019 |
0.171868 |
0.098376 |
-0.052178 |
-0.152953 |
-0.065681 |
硬 10点 |
0.182500 |
0.206088 |
0.230470 |
0.256259 |
0.287795 |
0.256909 |
0.197954 |
0.116530 |
0.025309 |
0.081450 |
硬 11点 |
0.238351 |
0.260325 |
0.283020 |
0.307350 |
0.333690 |
0.292147 |
0.229982 |
0.158257 |
0.119482 |
0.143001 |
硬 12点 |
-0.253390 |
-0.233691 |
-0.211063 |
-0.167193 |
-0.153699 |
-0.212848 |
-0.271575 |
-0.340013 |
-0.381043 |
-0.350540 |
硬 13点 |
-0.292784 |
-0.252250 |
-0.211063 |
-0.167193 |
-0.153699 |
-0.269073 |
-0.323605 |
-0.387155 |
-0.425254 |
-0.396930 |
硬 14点 |
-0.292784 |
-0.252250 |
-0.211063 |
-0.167193 |
-0.153699 |
-0.321282 |
-0.371919 |
-0.430930 |
-0.466307 |
-0.440007 |
硬 15点 |
-0.292784 |
-0.252250 |
-0.211063 |
-0.167193 |
-0.153699 |
-0.369762 |
-0.416782 |
-0.471578 |
-0.504428 |
-0.480006 |
硬 16点 |
-0.292784 |
-0.252250 |
-0.211063 |
-0.167193 |
-0.153699 |
-0.414779 |
-0.458440 |
-0.509322 |
-0.539826 |
-0.517149 |
硬 17点 |
-0.152975 |
-0.117216 |
-0.080573 |
-0.044941 |
0.011739 |
-0.106809 |
-0.381951 |
-0.423154 |
-0.419721 |
-0.478033 |
硬 18点 |
0.121742 |
0.148300 |
0.175854 |
0.199561 |
0.283444 |
0.399554 |
0.105951 |
-0.183163 |
-0.178301 |
-0.100199 |
硬19点 |
0.386305 |
0.404363 |
0.423179 |
0.439512 |
0.495977 |
0.615976 |
0.593854 |
0.287597 |
0.063118 |
0.277636 |
硬20点 |
0.639987 |
0.650272 |
0.661050 |
0.670360 |
0.703959 |
0.773227 |
0.791815 |
0.758357 |
0.554538 |
0.655470 |
硬 21点 |
0.882007 |
0.885300 |
0.888767 |
0.891754 |
0.902837 |
0.925926 |
0.930605 |
0.939176 |
0.962624 |
0.922194 |
软12点 |
0.081836 |
0.103507 |
0.126596 |
0.156482 |
0.185954 |
0.165473 |
0.095115 |
0.000066 |
-0.070002 |
-0.020478 |
软13点 |
0.046636 |
0.074119 |
0.102477 |
0.133363 |
0.161693 |
0.122386 |
0.054057 |
-0.037695 |
-0.104851 |
-0.057308 |
软14点 |
0.022392 |
0.050807 |
0.080081 |
0.111894 |
0.139165 |
0.079507 |
0.013277 |
-0.075163 |
-0.139467 |
-0.093874 |
软15点 |
-0.000121 |
0.029160 |
0.059285 |
0.091960 |
0.118246 |
0.037028 |
-0.027055 |
-0.112189 |
-0.173704 |
-0.130027 |
软16点 |
-0.021025 |
0.009059 |
0.039975 |
0.073449 |
0.098821 |
-0.004890 |
-0.066795 |
-0.148644 |
-0.207441 |
-0.165637 |
软17点 |
-0.000491 |
0.028975 |
0.059326 |
0.091189 |
0.128052 |
0.053823 |
-0.072915 |
-0.149787 |
-0.196867 |
-0.179569 |
软18点 |
0.121742 |
0.148300 |
0.175854 |
0.199561 |
0.283444 |
0.399554 |
0.105951 |
-0.100744 |
-0.143808 |
-0.092935 |
软19点 |
0.386305 |
0.404363 |
0.423179 |
0.439512 |
0.495977 |
0.615976 |
0.593854 |
0.287597 |
0.063118 |
0.277636 |
软20点 |
0.639987 |
0.650272 |
0.661050 |
0.670360 |
0.703959 |
0.773227 |
0.791815 |
0.758357 |
0.554538 |
0.655470 |
软21点 |
0.882007 |
0.885300 |
0.888767 |
0.891754 |
0.902837 |
0.925926 |
0.930605 |
0.939176 |
0.962624 |
0.922194 |
以下列表显⽰在每种状况下的期望值, 如果只有补牌、停住不补、加倍赌 注等⼏种选项。只有显⽰加倍赌注会是最佳玩法的玩家总点数, 否则参⻅ 以上的补牌或停住不补的列表。
期望值 — 补牌, 停住不补, 或 加倍赌注Expand
玩家
总点数 |
庄家
2 |
庄家
3 |
庄家
4 |
庄家
5 |
庄家
6 |
庄家
7 |
庄家
8 |
庄家
9 |
庄家
10 |
庄家
Ace |
硬9点 |
0.074446 |
0.120816 |
0.181949 |
0.243057 |
0.317055 |
0.171868 |
0.098376 |
-0.052178 |
-0.152953 |
-0.065681 |
硬10点 |
0.358939 |
0.409321 |
0.460940 |
0.512517 |
0.575590 |
0.392412 |
0.286636 |
0.144328 |
0.025309 |
0.081450 |
硬11点 |
0.470641 |
0.517795 |
0.566041 |
0.614699 |
0.667380 |
0.462889 |
0.350693 |
0.227783 |
0.179689 |
0.143001 |
软12点 |
0.081836 |
0.103507 |
0.126596 |
0.156482 |
0.185954 |
0.165473 |
0.095115 |
0.000066 |
-0.070002 |
-0.020478 |
软13点 |
0.046636 |
0.074119 |
0.102477 |
0.133363 |
0.179748 |
0.122386 |
0.054057 |
-0.037695 |
-0.104851 |
-0.057308 |
软14点 |
0.022392 |
0.050807 |
0.080081 |
0.125954 |
0.179748 |
0.079507 |
0.013277 |
-0.075163 |
-0.139467 |
-0.093874 |
软15点 |
-0.000121 |
0.029160 |
0.059285 |
0.125954 |
0.179748 |
0.037028 |
-0.027055 |
-0.112189 |
-0.173704 |
-0.130027 |
软16点 |
-0.021025 |
0.009059 |
0.058427 |
0.125954 |
0.179748 |
-0.004890 |
-0.066795 |
-0.148644 |
-0.207441 |
-0.165637 |
软17点 |
-0.000491 |
0.055095 |
0.118653 |
0.182378 |
0.256104 |
0.053823 |
-0.072915 |
-0.149787 |
-0.196867 |
-0.179569 |
软18点 |
0.121742 |
0.177641 |
0.237004 |
0.295225 |
0.381506 |
0.399554 |
0.105951 |
-0.100744 |
-0.143808 |
-0.092935 |
以下列表显⽰在每种状况下的期望值, 如果补牌、停住不补、加倍赌注、 分牌为所有的选项。
期望值 — 补牌, 停住不补, 加倍赌注, 或 分牌Expand
玩家
总点数 |
庄家
2 |
庄家
3 |
庄家
4 |
庄家
5 |
庄家
6 |
庄家
7 |
庄家
8 |
庄家
9 |
庄家
10 |
庄家
Ace |
2,2 |
-0.088887 |
-0.025616 |
0.042947 |
0.127250 |
0.194779 |
-0.007399 |
-0.159334 |
-0.240666 |
-0.289198 |
-0.253077 |
3,3 |
-0.138164 |
-0.063866 |
0.014625 |
0.102293 |
0.169420 |
-0.067760 |
-0.217242 |
-0.292641 |
-0.337749 |
-0.304147 |
4,4 |
-0.021798 |
0.008005 |
0.038784 |
0.080260 |
0.145957 |
0.082207 |
-0.059898 |
-0.210186 |
-0.249375 |
-0.197029 |
5,5 |
0.358939 |
0.409321 |
0.460940 |
0.512517 |
0.575590 |
0.392412 |
0.286636 |
0.144328 |
0.025309 |
0.081450 |
6,6 |
-0.218637 |
-0.136678 |
-0.049560 |
0.043987 |
0.107923 |
-0.212848 |
-0.271575 |
-0.340013 |
-0.381043 |
-0.350540 |
7,7 |
-0.155485 |
-0.074767 |
0.010511 |
0.099965 |
0.187691 |
-0.090501 |
-0.371919 |
-0.430930 |
-0.466307 |
-0.440007 |
8,8 |
0.019285 |
0.086888 |
0.156567 |
0.228318 |
0.325533 |
0.211530 |
-0.087582 |
-0.405400 |
-0.489488 |
-0.394058 |
9,9 |
0.184629 |
0.242140 |
0.301503 |
0.363348 |
0.443375 |
0.399554 |
0.215323 |
-0.093660 |
-0.178301 |
-0.100199 |
10,10 |
0.639987 |
0.650272 |
0.661050 |
0.670360 |
0.703959 |
0.773227 |
0.791815 |
0.758357 |
0.554538 |
0.655470 |
A,A |
0.739275 |
0.783881 |
0.834126 |
0.895723 |
0.977514 |
0.914737 |
0.801496 |
0.642847 |
0.528001 |
0.597239 |
以下列表显⽰在每种状况下、换掉⼀张牌之后的期望值。玩家的总点数标 ⽰出在买卖之后拿掉那张牌、但是随机的那张牌还没进来替换之前正在考 虑中的状态。前⾯两⾏横向栏位是玩家只有⼀张10点或Ace的状态、有可 能拿到blackjack的牌⾯。
换牌之后的期望值Expand
玩家
总点数 |
庄家
2 |
庄家
3 |
庄家
4 |
庄家
5 |
庄家
6 |
庄家
7 |
庄家
8 |
庄家
9 |
庄家
10 |
庄家
Ace |
只有10点 |
0.230038 |
0.253373 |
0.277488 |
0.303047 |
0.333731 |
0.301068 |
0.241753 |
0.159670 |
0.066645 |
0.125896 |
只有Ace |
0.559789 |
0.576812 |
0.594448 |
0.612905 |
0.639639 |
0.634007 |
0.575946 |
0.493984 |
0.429347 |
0.476406 |
硬2点 |
-0.075884 |
-0.049751 |
-0.022100 |
0.013730 |
0.038883 |
-0.027257 |
-0.103162 |
-0.190047 |
-0.241998 |
-0.203354 |
硬3点 |
-0.100523 |
-0.068876 |
-0.036261 |
0.000170 |
0.024471 |
-0.057438 |
-0.130942 |
-0.215077 |
-0.265329 |
-0.227937 |
硬4点 |
-0.114913 |
-0.082613 |
-0.049367 |
-0.012380 |
0.011130 |
-0.088279 |
-0.159334 |
-0.240666 |
-0.289198 |
-0.253077 |
硬5点 |
-0.128216 |
-0.095310 |
-0.061479 |
-0.023979 |
-0.001186 |
-0.119447 |
-0.188093 |
-0.266615 |
-0.313412 |
-0.278575 |
硬6点 |
-0.140759 |
-0.107291 |
-0.072917 |
-0.034916 |
-0.013006 |
-0.151933 |
-0.217242 |
-0.292641 |
-0.337749 |
-0.304147 |
硬7点 |
-0.109183 |
-0.076583 |
-0.043022 |
-0.007271 |
0.029185 |
-0.068808 |
-0.210605 |
-0.285365 |
-0.319055 |
-0.310072 |
硬8点 |
-0.021798 |
0.008005 |
0.038784 |
0.070805 |
0.114960 |
0.082207 |
-0.059898 |
-0.210186 |
-0.249375 |
-0.197029 |
硬9点 |
0.074446 |
0.101265 |
0.128981 |
0.158032 |
0.196019 |
0.171868 |
0.098376 |
-0.052178 |
-0.152953 |
-0.065681 |
硬 10点 |
0.182500 |
0.206088 |
0.230470 |
0.256259 |
0.287795 |
0.256909 |
0.197954 |
0.116530 |
0.025309 |
0.081450 |
硬11点 |
0.238351 |
0.260325 |
0.283020 |
0.307350 |
0.333690 |
0.292147 |
0.229982 |
0.158257 |
0.119482 |
0.143001 |
硬12点 |
-0.253390 |
-0.233691 |
-0.213537 |
-0.193271 |
-0.170526 |
-0.212848 |
-0.271575 |
-0.340013 |
-0.381043 |
-0.350540 |
硬13点 |
-0.307791 |
-0.291210 |
-0.274224 |
-0.257333 |
-0.235626 |
-0.269073 |
-0.323605 |
-0.387155 |
-0.425254 |
-0.396930 |
硬14点 |
-0.362192 |
-0.348729 |
-0.334911 |
-0.321395 |
-0.300726 |
-0.321282 |
-0.371919 |
-0.430930 |
-0.466307 |
-0.440007 |
硬15点 |
-0.416594 |
-0.406249 |
-0.395599 |
-0.385457 |
-0.365826 |
-0.369762 |
-0.416782 |
-0.471578 |
-0.504428 |
-0.480006 |
硬16点 |
-0.470995 |
-0.463768 |
-0.456286 |
-0.449520 |
-0.430927 |
-0.414779 |
-0.458440 |
-0.509322 |
-0.539826 |
-0.517149 |
硬17点 |
-0.536151 |
-0.531674 |
-0.527011 |
-0.522986 |
-0.508753 |
-0.483486 |
-0.505983 |
-0.553695 |
-0.584463 |
-0.557300 |
硬18点 |
-0.622439 |
-0.620005 |
-0.617462 |
-0.615260 |
-0.607479 |
-0.591144 |
-0.591056 |
-0.616528 |
-0.647671 |
-0.626515 |
硬19点 |
-0.729077 |
-0.728033 |
-0.726937 |
-0.725991 |
-0.722554 |
-0.715450 |
-0.713660 |
-0.715574 |
-0.729449 |
-0.724795 |
硬20点 |
-0.855230 |
-0.854977 |
-0.854710 |
-0.854480 |
-0.853628 |
-0.851852 |
-0.851492 |
-0.850833 |
-0.849029 |
-0.852139 |
软12点 |
0.081836 |
0.103507 |
0.126596 |
0.156482 |
0.185954 |
0.165473 |
0.095115 |
0.000066 |
-0.070002 |
-0.020478 |
软13点 |
0.046636 |
0.074119 |
0.102477 |
0.133363 |
0.161693 |
0.122386 |
0.054057 |
-0.037695 |
-0.104851 |
-0.057308 |
软14点 |
0.022392 |
0.050807 |
0.080081 |
0.111894 |
0.139165 |
0.079507 |
0.013277 |
-0.075163 |
-0.139467 |
-0.093874 |
软15点 |
-0.000121 |
0.029160 |
0.059285 |
0.091960 |
0.118246 |
0.037028 |
-0.027055 |
-0.112189 |
-0.173704 |
-0.130027 |
软16点 |
-0.021025 |
0.009059 |
0.039975 |
0.073449 |
0.098821 |
-0.004890 |
-0.066795 |
-0.148644 |
-0.207441 |
-0.165637 |
软17点 |
-0.000491 |
0.028975 |
0.059326 |
0.091189 |
0.128052 |
0.053823 |
-0.072915 |
-0.149787 |
-0.196867 |
-0.179569 |
软18点 |
0.062905 |
0.090248 |
0.118502 |
0.147613 |
0.190753 |
0.170676 |
0.039677 |
-0.100744 |
-0.143808 |
-0.092935 |
软19点 |
0.123958 |
0.149340 |
0.175577 |
0.202986 |
0.239799 |
0.220620 |
0.152270 |
0.007893 |
-0.088096 |
-0.005743 |
软20点 |
0.182500 |
0.206088 |
0.230470 |
0.256259 |
0.287795 |
0.256909 |
0.197954 |
0.116530 |
0.025309 |
0.081450 |
软21点 |
0.238351 |
0.260325 |
0.283020 |
0.307350 |
0.333690 |
0.292147 |
0.229982 |
0.158257 |
0.119482 |
0.143001 |
接下来, 让我们检视以下的例⼦。
我押注£100并有⼀⼿软牌19点以对抗庄家的6点。从基本策略当中我们知 道, 如果庄家在软牌17点时停住不补, 我们绝不在软19点时加倍赌注, 所以 我们查看第⼀份期望值列表以得知这种状况的期望值为0.495977 乘上押 注⾦额, 或是£100 × 0.495977 = £49.5977.
⼀旦选择以£37.16的价钱卖出那张Ace, 那将会留给我们⼀张硬8点和⼀张 随机的牌。上⽅的列表显⽰在这样的状况时的期望值为0.114960 乘上押 注⾦额, 亦即£100 × 0.114960 = £ 11.4960. 这是降低的期望值, 相较于维 持在19点状态, 是£49.5977 - £ 11.4960 = £ 38.1017. 我们被提供售出那张 Ace的标价所得为£37.16. 售价相⽐于公平价钱的⽐率为37.16/£ 38.1017 = 97.53%. 换⾔之, 我们得出那张Ace的售价是低过公平价钱的2.47%.
另⼀个选项是花费£14.76买⼀张牌以替换那张8点牌。这样会让我们有⼀ 张Ace和⼀张随机的牌。记住规则上表⽰, 如果换来的那张牌是10点, 则玩 家可以得到3⽐2的⽀付赔率。上⽅列表中「只有Ace」那⼀栏在这状况显 ⽰的期望值为0.639639 乘上押注⾦额, 或£100 × 0.639639 = £ 63.9639. 这和在19点停住不补的期望值相较起来是增加的, 亦即£63.9639 - £ 49.5977 = £ 14.3662. 我们被提供买⼊⼀张牌以取代那张8点牌的标价为£ 14.76. 买⼊标价对⽐于公平价钱的⽐率为£ 14.76/£ 14.3662 = 102.74 %. 换⾔之, 我们付出的买价⾼过公平价钱的2.74%.
策略
以下是我针对「Blackjack X-Change ⼆⼗⼀点 X-换牌」的基本策略。如 果某些软牌的加倍赌注和标准庄家在软17点时停住不补牌的策略不同, 那 是因为⽆限副牌的缘故。
关于换牌, 玩家绝对不要去做, 因为 2.5% 到 3.0% 的范围是⾼过基本游戏 的0.32%.
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外部连结
撰写者: Michael Shackleford