本网站 - 常问问题
你好，巫师先生。我已经访问您的网站快一年了，想借此机会向您表示感谢。感谢您不仅创建了您的网站，还不断更新新的、内容丰富的内容。我简直无法想象您为此投入了多少时间。
我有几个问题。第一个是关于横幅广告的。我想知道我们如何通过点击横幅广告来优化您的收入。您的收入是基于点击量、独立点击量、固定费用还是其他公式？目前，我只会点击新内容的横幅广告，但如果这有助于增加收入，我很乐意每次访问时都点击几个横幅广告。
接下来的问题是关于你在“Jacks or Better”牌桌上的完美策略，以及练习“Jacks or Better”游戏时的技巧。我不想显得愚笨，但这从未阻止我提问。在牌桌上，你认为一张高牌（A、K、Q、J）且没有罚牌的牌型的等级是多少？我的第二个问题与第一个问题有些关联。根据练习游戏，对于非同花色的A、Q、K且没有罚牌的牌型，最佳玩法是保留K、Q，并丢弃A和低牌。直觉上，我认为保留A是更好的玩法。丢弃A有什么好处？我该如何从牌桌上确定这手牌的最佳玩法？
感谢Denis的善意评价以及您对网站财务状况的关注。您最初写这篇文章的时候，点击我的横幅广告就很有帮助。然而，当我在2013年更新我的答案时，我发现是收购让我赚到了钱。如果你至少没有注册一个账户，最好是存入一些钱，点击横幅广告就没什么用了。
你可以从我的9-6 J 或更好的策略中看到，只有一条线代表“一张高牌”。这是因为从 J 到 A 的单张牌价值大致相同。
请告诉我在哪里可以找到一份可以打印并放在钱包里的二十一点赔率表。我正在学习，还不确定何时该要牌，何时该停牌。
一个想法是右键点击我的策略图表之一，保存图片，然后打印出来。一些赌场的礼品店会出售名片大小的基本策略图表。然而，这些图表大约有一半的概率至少存在一处错误。
很有意思的网站，你的收入来自赌博吗？你研究过股指期货交易的概率吗？
我很想进一步了解期货交易，但目前实在没时间。我的收入来自本网站的广告收入（请点击横幅广告）以及新赌场游戏分析的咨询费。
好网站！有没有办法可以下载你们的牌九练习程序，这样我就不用总是在线玩了？先谢谢了。
抱歉，没有。
掷骰子概率数字和赔率是否 100% 可靠？博彩业是您的全职职业吗？您经常去大西洋城吗？此外，您是如何模拟数十亿手牌、旋转和掷骰子的？这些数字是计算机生成的吗？如果是，用什么软件生成的？
好吧，谁都会犯错，但掷骰子这种游戏很容易用数学方法分析，所以我非常有信心我的赔率是正确的。没错，赌博是我的全职自由职业。过去几年我去过大西洋城很多次，但两个月前我搬到了拉斯维加斯。所以，恐怕以后不会再经常光顾大西洋城了。我更喜欢尽可能地使用组合方法，而不是随机模拟。无论如何，我都会用 Visual C++ 编写自己的软件。对于随机数，我使用梅森旋转算法 (Mersenne Twister) 。
不，并非如此。与普遍的误解相反，不存在周期。每手牌都是独立的。需要无数手牌，并且玩得完美，才能保证达到理论上99.54%的回报率。
这里有一些数据供您参考。在9-6 J或更好的牌型中，皇家牌对回报率的贡献率为1.98%。这意味着您可以预期皇家牌之间的回报率为97.56%。一手牌的标准差为4.42。40,391手牌（皇家牌之间的平均值）回报率的标准差为2.20%。因此，即使经历了完整的皇家牌循环，您距离99.54%的回报率仍然很远。您有95%的机会获得95.24%到103.85%之间的回报率。
关于弹窗，我也讨厌它们。不过，总得有个说法。把它们当成你获取信息的代价吧。
你好。你们有卖或者推荐基础二十一点策略卡吗？我以前在 Winning Publishing NV 买过一些。你们的网站很棒。
你问这个问题的时机恰到好处。Custom Strategy Charts 的老板 Marsha Ness 现在准备出售塑封的二十一点和西班牙 21 点策略卡。这些策略直接来自我，并且根据具体规则，有多种策略可供选择。截至撰写本文时，电子支付选项尚未到位，因此您必须通过邮寄支票。
更新：自从这个问题发布以来，自定义策略卡就消失了。
我以为你们把金宫赌场列入了黑名单，但我刚收到你们发来的一封推广他们的邮件。怎么回事？
你不是唯一一个抱怨的人。我负责广告的合伙人以为我和他们的恩怨已经过去很久了，就接受了这则广告。我对此很不满意，并为此道歉。希望以后不要再发生这种事。
你们卖 T 恤吗？
没有。我已经考虑过了，但我担心如果我订购大量的话，大部分都会被卡住。
最近发现了你的网站，真的很棒。在线赌场评论被移除了，还会恢复吗？
我不确定。这个网站的广告收入一直很令人失望。我猜部分原因是浏览者忽略了广告，直接点击了评论里的免费链接。换句话说，我放弃了太多免费流量。
哪里可以买到印刷精美、覆膜的信用卡大小的21点基本策略表？如果你们没有提供，请提供！
很高兴你问这个问题。你可以通过定制策略卡获得它们。这些是我自己的二十一点和视频扑克策略，印在钱包大小的精美塑封卡片上。
2007 年 11 月 13 日更新：自定义策略卡网站现已停止服务。
你的网络报纸专栏自六月以来就没有更新了。你还好吗？希望如此。我有一张二十一点基本策略卡，非常有用。有没有电子扑克游戏的基本策略卡？谢谢你抽出时间。
我不确定你指的是哪篇网络报纸专栏。不过我没事。其实，你可以在 Custom Strategy Cards 上找到一张我制作的便捷视频扑克策略卡。视频扑克卡可能还没有列出来，但我知道店主有，所以尽管问吧。
更新：定制策略卡业务不再存在。
干得好，做得真棒。问题是：我从你2003年5月5日的专栏里注意到，你确实计算了你的二十一点赔率。我有点惊讶你竟然没有用电脑模拟结果。或者说，这个问题很蠢，也就是说，电脑要花一百万年才能完成这项工作？
是的，我用组合方法计算二十一点赔率，分析玩家和庄家牌的所有可能出牌方式，并在每个决策点取最大期望值。这比模拟编程更难，但我觉得它更优雅，在递归编程中也是一种不错的挑战。不过，我仍然尊重我的同行进行模拟。用今天的计算机，运行十亿次投注并不需要很长时间，这非常接近最优策略的回报。
我非常喜欢你的网站。今天早上我读了你对在线赌场的评论和你的游戏体验，感觉你好像不可避免地输光了所有的存款。这让我很沮丧。后来我看到你请求捐款，现在我明白你为什么这么做了！
自从四年前开始在网上赌博以来，我已经赢了大约2万美元，其中大约一半要归功于金宫。你们在我的评论中看到的只是我最近的经历，和其他人一样，我有时也会输一两个月。不过，我刚刚在Casino.Net赢了786美元，在Casino Kingdom赢了2317美元。所以我不会要求捐款来补贴我输钱的赌博习惯。捐款只是为了帮助我继续免费向公众提供这个网站。不过，捐款实际上是通过PayPal汇来的，我通常会用它在eBay上买东西。
我尝试查找你们对在线赌场的评论，但页面显示你们已停止提供评论。我个人很想知道赌场的政策是否有问题。你们为什么要删除评论呢？
这个问题问得好。对于那些不记得的人来说，我曾经评论过我玩过的所有在线赌场，并且至少有50条评论。维护这份列表的一个问题是，我收到了许多不在列表中的赌场的添加请求。我没有从这些评论中获得任何收入，事实上，它们可能从付费广告商那里抢走了客户。另一个问题是，在线赌场的质量时好时坏。我因为在公告栏上说一些明显走下坡路的赌场的好话而受到抨击。于是我开始删除一年多前的旧评论。然而，处理添加请求和处理那些在我给出好评的赌场体验不佳的玩家的投诉仍然很麻烦。我的网站收入不高，所以我认为收入不足以支撑维护这个版块的麻烦。
我在你的网站上玩J或更好的牌。我的牌型如下：2（黑桃）、5（梅花）、J（梅花）、10（方块）、7（梅花）。最佳玩法是只保留J，你的程序显示的预期值为2.3662715，但我自己计算了一下，得到了2.3662714。我们俩谁有舍入误差？
就让几个数学怪才去争论小数点后八位吧。我检查了每只手的精确组合，你是对的。精确值是 5*(84412/178365)，也就是 2.36627140974967，精确到小数点后 15 位。无论你用什么，浮点运算的精度显然都比 Java 内部计算器高。
恭喜您即将推出第100期“问问巫师”专栏。我焦急地等待着每一篇新文章，因为它能丰富我的赌博知识。我的正式问题是……我能出现在第100期吗？
算了，写完了！没错，这是我的第100篇专栏。四年零两个月前，我开始写这个专栏，是为了更新网站，展示内容并非一成不变。既然它已经写了这么久，我觉得这绝对是我最好的想法之一。
您是如何决定在您的德州扑克页面上模拟 5,197,920,000 场 10 手牌游戏的？这个数字重要吗？
我设置了模拟器的运行时间。每运行10000手，程序就会检查时间，当超过结束时间时，程序就会停止运行。
巫师先生，很棒的网站。里面有很多实用又有趣的信息。我希望了解更多关于游戏背后的数学原理以及模拟的可能来源（源代码、书籍等等）。您建议那些有兴趣编写类似“二十一点庄家优势计算器”的人去哪里获取更多信息？谢谢您的回复。
谢谢你的赞美。恐怕我不知道有哪个资料来源，包括我自己，能提供游戏分析的代码。我花了好几年才让我的二十一点引擎完美运行（当庄家有10或A时分牌非常棘手）。获取二十一点庄家优势的一个更简单的方法是编写一个随机模拟程序。我想有一天写一本关于我如何分析游戏的书，但恐怕只有你会买。
喜欢你的网站，感谢你付出的努力。虽然我不玩线上赌博，但偶尔还是会点一些广告。
（我将让我的广告人 Michael Bluejay 来回答这个问题。）
感谢您尝试帮助我们，但请您少点击几次，因为这只会浪费您的时间，对我们没有任何帮助。我们的广告商每月支付给我们固定费用，所以无论您点击与否，我们都会得到相同的报酬。但即使我们按点击次数收费，我们也不会要求您无偿点击广告，因为这对广告商不公平。按点击次数付费的广告商希望从这些点击中获得业务，如果用户点击时没有购买意图，这对他们来说就是一种损失。无论您在互联网上的哪个位置，如果您知道广告商是按点击次数付费的，那么如果您知道自己对他们提供的内容并不真正感兴趣，那么点击他们的广告就显得有些不公平了。
我们的独特之处在于，我们按月向广告商收费。大多数在线赌场的广告都是联盟计划，即玩家点击并开设账户后，网站管理员会从玩家的损失中获得一定比例（35% 左右）的佣金。实际上，美国网站管理员以联盟计划的形式投放广告的合法性值得怀疑，这也是我们不这样做的原因之一。另一个原因是，我们的玩家通常知识水平更高，输钱的可能性也更小，这会减少我们的联盟佣金。所以我们不做联盟计划的主要原因是，我们不需要这样做——作为互联网上首屈一指的赌博网站之一，我们可以按照自己的方式出售广告，因为很多在线赌场都争先恐后地想用我们有限的广告位来赚钱。能占据榜首真是太好了。:)
你启发了我，让我自己去分析一些游戏。但是我不会编程。你推荐我学什么语言？
C++。了解 C 就会爱上 C。Java、Perl 和 Visual Basic 与 C 类似，但在我看来，它们不如 C 优雅或强大。
我一直在研究Casino Bar，因为他们今天推出了一个不错的奖励计划。我偶然看到你说他们的软件相当于“发牌秒数”，但我发现你的信息上次更新大约是两年前。我想知道你是否知道这种情况有什么变化。我想如果情况有变化的话，你应该会更新页面，但我想问问。我在哪里可以找到赌场发牌秒数的基本策略表？（奖励计划可能仍然有效，也可能失效）。我认为这种游戏的赌场优势接近5%，对吗？当然，如果是这样的话，我也可以玩玩三张牌扑克。感谢你们提供这么棒的网站。你们接受捐赠吗？
当我发现赌场不公平时，我通常不会回去查看他们是否已经停止了游戏。有时，如果赌场要求我停止游戏，并且我觉得问题可能是意外，我才会这么做。以下是一个基于无限牌堆的基本策略，庄家在软17点时停牌并发出第二张牌。我所说的第二张牌是指，如果第三张牌，且只有第三张牌，足以让庄家破牌，那么这张牌就会被跳过，然后发出下一张牌，无论它是什么。否则，游戏继续正常进行。这种游戏的赌场优势为9.3%。我以前也请求过捐款，但收到的捐款很少，所以我就放弃了。现在，该网站已经完全靠广告收入维持运营了。
嗨，很棒的网站，继续加油 :) 我正在尝试计算任意给定投注单位数量和游戏手数组合的破产风险统计数据。目前，如果二十一点附录中的 RoR（破产风险）表中没有出现这两个数值，我就无法获得准确的破产概率百分比。请问您能把公式公布一下吗？非常感谢。
谢谢。我在视频扑克附录1中解释了如何计算视频扑克的破产风险。然而，对于投注金额不固定的游戏，计算会变得非常复杂，需要计算机模拟。
在你的⺴站有两个不同的单元, 你提到⼀般来说、最好是押注赌盘的弱 队、⽽⾮强队。然⽽, 你在Sports Betting运动签赌 附录3当中指出, 押注 强队、其赌盘的赌场优势较低。这两者是否⽭盾？任何的押注不就都要押 注最低的赌场优势吗？
说得好。我思考之后、决定移除我的sports betting运动签赌 附录3. 它是 基于假设公平赌盘刚好是两个赌盘之间。例如在上次的Super Bowl超级 杯, ⼀般的赌盘为Seattle +160 与Pittsburgh -180. 我的附录是基于不切实 际的假设、公平赌盘将会是+/- 170. 真实的赌盘是根据市场调控的。刻板 的赌盘倾向于强队, 创造出弱队的价值。假设Pittsburgh为4分的强队、这 在历史纪录是公平的、建议4分的偏好程度、⼤约有61%赢的机会。这样 将会让Seattle在公平赌盘+156, ⽽-156在Pittsburgh球队。提醒你, 那多数 赌场的赌盘为+160/-180. 当然Pittsburgh这次赢得⽐赛, 不过从历史纪录来 说, 我很肯定你在赌盘投注弱队将会是较好的选项。
你的读者问的关于个人关系的问题之多，让我一直感到惊讶。在我看来，你的回答非常准确，但你竟然成了现代版的“亲爱的艾比”，这让你感到惊讶吗？或许解决复杂的数学问题和解决复杂的感情问题之间确实存在某种关联？无论如何，继续努力吧。
感谢您的信任。据我统计，在最初的134栏中，我只收到了四个这样的问题。然而，从2005年8月开始，这类问题就蜂拥而至，部分原因是我的网站管理员Michael Bluejay让我们在谷歌搜索“我的男朋友是不是出轨了”时排名第一。之后，我们的排名就跌到了第二位。回答你的问题，是的，两者之间确实存在联系。无论是赌场游戏还是生活，我都会冷静地审视。无论在哪个场合，我给出的建议都是基于我认为从长远来看能让提问者更快乐的原则。
你们是不是要把那些蠢货（有些人居然还能拼英文）写来，聊聊自己和男朋友之间的矛盾，纯粹为了搞笑？够了，我更希望你们把这个版面用来讨论一些关于赌场赌博的真正问题。
您的意见我已认真记录。关于建议的问题我几乎不用花时间回答，而关于赌博的问题有时却要花几个小时。我会回答所有有价值的赌博问题，所以关于建议的问题并没有从赌博问题中分走。不过，您不是第一个抱怨的人，所以我会从现在开始把这些问题分开，这样您就知道什么时候该停止阅读了。
在您上一篇专栏文章中，您说过“5500 枚硬币不是 55 的概率可以非常接近地近似为 0.9864012865500 = 507,033,772,284,213,000,000,000,000,000,000,000 分之 1”。
我假设“近似”是因为当你处理这5500枚硬币时，移除的影响是存在的。移除的影响微乎其微！这是一个很好的例子，说明当你移除非目标硬币时，目标硬币出现的可能性会降低，因为与不正当游戏（即目标硬币被移除）的概率相比，移除的影响非常小。
是的，我说的是“非常接近”，因为世界上的硬币数量有限。从袋子里取出一枚非55面值的硬币，其移除效应会增加袋子里其他所有硬币都是55面值的硬币的概率。如果我没说“非常接近”，至少会有三个人写信来纠正我。当然，这只是一个极其微小的误差，但我的很多读者都是完美主义者，哪怕是最轻微的错误，他们也会对我大加指责。
很棒的网站！你的二十一点策略卡是我见过最好的。哪里有卖的？我现在用的那个没有投降选项，用这个会有什么损失吗？
谢谢。几乎每家赌场礼品店都会出售基本的策略卡，但不知为何，他们没有标明何时应该投降。投降的情况并不多，但这些情况经常发生，所以我认为值得记住。在六副牌的游戏中，如果庄家拿到软17点停牌，投降概率为0.07%，如果拿到软17点，投降概率为0.09%。
我觉得你可能会觉得这很有趣。博狗（Bodog）提供这样一个赌注：“布兰妮·斯皮尔斯和凯文·费德林的第二个孩子是男孩还是女孩？” 男孩的赔率是+105，女孩的赔率是-145。我上次查的时候，自人类诞生以来，这个赔率一直是1:1。我想知道谁会押-145。我喜欢这个网站，经常访问，并点击你的赞助商以表感谢。
谢谢你的赞美。说实话，现在没人太在意点击率了。所以，如果只是为了炫耀，就没必要非得点开横幅广告。回答你的问题，在美国，生男孩的概率非常接近50.5%，生女孩的概率接近49.5%。假设博彩界没有其他信息，那么押注男孩的玩家优势应该是0.505*1.05 - 0.495 = 3.53%。也可能是掌握内幕消息的人押注女孩。另一种说法是，有些人错误地认为可以通过母亲的肚子形状来判断性别，而这些人押注的是女孩。我个人不去深究这个问题。
为什么你们的赌博十诫里没有“不可作弊”？你们对“正确赌博礼仪”的定义里似乎没有包含这个定义。
你说得对。那应该放在那里，靠近顶部。我会把它加进去，并把关于小费的戒律加到关于礼仪的戒律里。
这是第 200 期“问巫师”专栏中巫师说的一句话。
欢迎阅读我的第200期“问问巫师”专栏。2000年2月5日，我开始写这个专栏时，根本没想到自己能写到今天。写到第100期专栏花了四年零两个月，而写到这一期又花了三年零九个月。
这些专栏看起来可能没什么，但我却投入了大量时间。要为专栏打开提问的大门可不容易，因为全世界都会涌来大量问题，比如数学辅导、过去赌博经历的分析、对毫无价值的投注系统的反馈、给那些懒得在网站上搜索的人的一般赌博问题、关于涉嫌出轨男友的建议，以及我的人生故事。
很遗憾，我最近决定关闭新问题的大门。待我清理完积压的问题后，我会暂时重新开放。以后我计划不时开放提问。我希望那些提出好问题的人能坚持到下一个开放期，而那些提出不好问题的人就别那么耐心了。
有些问题确实需要花费大量时间来回答。例如，我上次在专栏中评论了玩家和庄家分开使用牌组的影响，却花了几个小时重新编程我的二十一点模拟器来处理。其他一些问题则花费了更多的时间和精力。平均而言，每篇专栏文章的写作大约需要两天时间。
2005年4月，我被赌博问题搞得疲惫不堪，于是决定暂时停止这个专栏，或许是永久的。然而，要求恢复专栏的呼声很高，所以在8月我又恢复了。写这篇文章的时候，我又开始对“问巫师”感到厌倦了。与其彻底停止，我打算减少专栏的更新频率，每月只更新一到两期。
我想花点时间感谢我的校对员Don Schlesinger，他在过去几个月里为我纠正糟糕的英语提供了宝贵的帮助。这不仅让我的专栏读起来更加流畅，也帮助我改进了所有文章的语法。
我还要感谢我的读者们多年来的支持。说到底，是读者们让我有饭吃，让我的孩子上私立学校。我希望，作为回报，我帮助了你们在赌场里赢钱，或者至少输得少，因为你们相信数学而不是迷思。下次再见，请保持高期望！
你好。我经常会花时间玩你的免费掷骰子游戏。谢谢你，我觉得它很棒。我对计算机编程一窍不通，我的问题是关于掷骰子的结果。每次掷骰子都是完全随机的吗？连续掷100次的结果和你掷100次的结果一样吗？
谢谢你的赞美。那个程序是用 JavaScript 编写的。生成随机数只需一行简单的命令。Math.random() 会返回一个介于 0 到 1 之间的随机小数。这里有一个生成 25 次掷骰子的简单程序。如果你刷新此页面，每次都会得到不同的结果。
结果
在我看来，生成的随机数足以满足游戏的需求。但是，如果我要开发一款真钱游戏，我会努力使用更好、更安全的随机数生成器。
您好，我是来自夏威夷的七年级学生。我正在做一个关于扑克和洗牌的科学展览项目。我正在使用您制作的图表，该图表是根据游戏中的玩家人数来计算底牌德州扑克牌型的胜率。希望您能回答几个问题，帮助我完成我的项目：
- 您是如何得出图表中的百分比的？
- 如果您使用了计算机程序，您是如何开发它的，花了多长时间？
- 您说过，您创建“概率魔法师”是出于爱好。随着您的网站越来越出名，您的实验方式有没有改变？为什么？
- 两人桌的牌局是用一个强力循环程序完成的，它循环了所有1225张可能的对手牌和1,712,304张可能的公共牌。对于三到八名玩家来说，循环会耗费大量的时间，所以我做了一个随机模拟。
- 我几乎所有的程序都是用 C++ 写的，包括我刚才提到的两个程序。其余的都是用 Java 或 PERL 写的。我大部分代码都是从其他扑克程序里复制粘贴过来的。新代码看起来只需要一天就能写完。
- 是的，我于1997年6月出于爱好创建了我的网站。直到2000年1月，我才开始接受广告，并尝试将其发展成一门生意。多年来，它经历了三个不同的域名。这是它在1999年5月的样子。网站的宗旨始终如一，即提供基于数学的赌博策略资源。这些年来，我一直在不断添加更多游戏和素材。我曾经尝试过提供2005赛季的NFL选秀信息，但最终以失败告终。
我在玩这个网站上的免费二十一点游戏时，注意到当点数达到 -7 或更低时，我的赢钱数和点数达到 +10 或更高时一样多，甚至更多。这只是个巧合吗？还是说，点数为负数时玩家会有一些优势？
游戏每手牌后都会洗牌，因此牌局开始时点数始终为零。然而，当有切牌时，负点数往往与牌盒开始以来的正结果关联性很小。这是因为负点数意味着已经打出的好牌比坏牌多，这对玩家来说是有利的。
我不同意你关于大力水手身上有一个锚和一个坦克纹身的说法。这是动画片《Blow Me Down》的剧照，显示大力水手的双臂上都有一个锚纹身。请更正。
好的，我明白了。以下是我证明大力水手左臂上有坦克纹身的证据。我提交的证据供大家参考，大力水手左臂上的锚被去掉了，换成了坦克。点击图片可查看大图。
我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。