轮盘 - 一般问题

在轮盘赌中，任何赌注或赌注组合都具有很高的赌场优势。您获胜的可能性越大，相对于回报，您需要承担的风险就越大。如果您进行10次这样的操作，盈利的概率为46.42%。如果进行100次，盈利的概率就会降至24.6%。

按照我之前解释的相同方式开始投注。每次投注金额应为左右数字之和。但是，按照你的双列策略，如果输了，你应该在右边加双倍的金额。

我在练习模式下玩过，它看起来就像一个正宗的无零轮盘。从长远来看，没有任何系统能够战胜或输掉这款游戏。玩得越多，净赢额与总投注额的比率就越接近于零。

更新：该赌场现已关闭。

如果您在 Microgaming 赌场以 11 点加倍，而庄家拿到黑杰克，您将输掉全部赌注。在 Unified Gaming，如果明牌是 10，则会立即翻开黑杰克，因此在这种情况下加倍不会有输给黑杰克的风险。

假设避免了可怕的五个数字组合，轮盘赌中的所有投注组合都会产生相同的预期回报。您说得对，第三列有八个红色和四个黑色。赢得3个单位的概率是8/38，赢得1个单位的概率是4/38，不赔不赢的概率是10/38，输掉2个单位的概率是16/38。每单位投注的预期总回报为 (1/2)*(3*8 + 1*4 + 0*10 + 2*16)/38 = -2/38。投注黑色和第三列，赢得3个单位的概率是4/38，赢得1个单位的概率是8/38，不赔不赢的概率是14/38，输掉2个单位的概率是12/38。预期回报为 (1/2)*(3*4 + 1*8 + 0*14 + 2*12)/38 = -2/38。两种组合对各种结果的权重不同，但平均值相同。

一旦你击中了n个数字，下次旋转中出现新数字的概率为(38-n)/38。如果某个事件的概率为p，那么该事件发生前的预期旋转次数为1/p。因此，假设你已经击中了n个数字，那么获得新数字的预期旋转次数为38/(38-n)。例如，一旦你击中了20个数字，获得第21个数字的预期旋转次数为38/18=2.11。因此，答案是每一步预期旋转次数的总和：(38/38)+(38/37)+(38/36)+……+(38/1)=160.66。

（18/38） ¹⁸ =~ 693745 中的 1。

我很高兴能帮到白大褂的主人。我的轮盘赌建议仅限于地球上的游戏，在你们星球上行贿才是明智之举。

您的数字恰好命中 x 次的概率是 combin(1000,x)*(1/38) ^x *(37/38) ^1000-x 。下表显示了从 0 到 6 的所有命中次数以及总数的概率。

1000次轮盘赌获胜

数字	可能性
0	0.00000000000262
1	0.00000000007078
2	0.00000000095556
3	0.00000000859146
4	0.00000005787627
5	0.00000031159330
6	0.00000139655555
全部的	0.00000177564555

所以答案是 0.00000177564555，即 563175 中的 1。我希望这种情况不会发生在互联网赌场。

你可能想知道，为什么我没有像上面抛硬币问题那样使用正态近似。这是因为它在非常高和非常低的概率下都不太有效。

你对我的策略解读得真透彻。我打算在大部分时间里都押最低注，以免被赌场优势压垮。制片人对这种无聊的策略很不满意，所以我尽量表现得比平时更兴奋。我选择单注而不是等额投注，是因为我想要波动性。我知道如果最后我的投注接近1万美元的起始点，我可能会输。所以，我想争取更大的胜算。我全程都押23，虽然最后也加了5。很高兴你喜欢这个节目。

不。荷官只学了些基础知识，并没有掌握什么高超的技巧。事实上，如果荷官掌握了这种控制力，他只需找个同伙，让他把球押在他计划的落点上，就能轻松赚到数百万。

任何一次旋转失败的概率是 1-(8/37) = 78.38%。因此，15 次旋转失败的概率是 0.7838 ^/15 = 2.59%。

首先，让我告诉你如何避免测试任何游戏。你不应该记录所有游戏，然后在完成后寻找任何异常，然后写信给我抱怨赌场作弊。正确的做法是首先提出赌场作弊的假设，然后收集数据，最后看看数据是否符合你的假设。如果你不知道该提出什么样的假设，我建议你直接测试赢和输的次数，然后每次都押相同的金额。如果你正确地完成了前两个步骤，并且在第三个步骤上需要帮助，请随时给我写信。

在你的例子中，赌场的留牌率是75%。这是玩家带走的筹码价值与荷官投入筹码箱的金额之比。虽然有历史平均值，但无法从赌场优势推算出留牌率。留牌率部分取决于玩家将使用筹码的时间，而这一点无法得知。

谢谢你的赞美。这类题目有一个公式，我在我的网站www.mathproblems.info上解释过，参见第 116 题。

假设资金为b个单位，获胜目标为g个单位，获胜概率为p，输掉概率为q，则您的成功概率为((q/p) ^b -1)/((q/p) ^b+g -1)。本例中，b=20，p=18/37，q=19/37，g=20、50和100。因此，对于200美元的资金，概率为((19/18) ²⁰ -1)/((19/18) ⁴⁰ -1) = 0.253252。

对于获胜目标 500 美元，概率为 ((19/18) ²⁰ -1)/((19/18) ⁷⁰ -1) = 0.045293。

对于获胜目标 1,000 美元，概率为 ((19/18) ²⁰ -1)/((19/18) ¹²⁰ -1) = 0.002969。

过去的旋转结果无关紧要。连续三次出现红色 23 的概率是 (1/38) ³ = 1/54,872。

12次旋转中出现3对和6个单张的概率是combin (38,3) × combin(35,6) × combin(12,2) × combin(10,2) × combin(8,2) × fact(6)/38 ¹² = 9.04%。如果要计算在20次旋转中，任意12次旋转间隔内出现这种情况的概率，数学就变得相当复杂了。我猜，这个概率远高于9%，可能性很大。所以在我看来，这些结果非常正常。

指定数字的庄家优势恰好为 0%。

获胜概率为 (18/38) ³ = 10.63%。赌场优势为 8×0.1063 - 1×0.8937 = 4.34%，低于所有其他投注的 5.26%（除了可怕的 0,00,1,2,3 组合，其赌场优势为 7.89%）。

为了方便其他读者，在欧洲的许多赌场，如果您在轮盘赌中下了等额赌注，而球落在零上，则该赌注将被冻结。如果下一轮结果导致该赌注获胜，则该赌注将被退回，且不计奖金。如果球落在相反方向，则该赌注失败。

如果球落在零上，单次禁注会怎样？如果赌场只允许单次禁注，那么它会输。然而，有些赌场允许双次禁注，这就是会发生的情况。如果双次禁注赢了，它会恢复为单次禁注。如果赌场只允许最多双次禁注，那么双次禁注在另一个零上会输。同样的逻辑，如果赌场允许三次禁注，那么双次禁注在另一个零上会变成三次禁注。

三重监禁下的赌场优势是1.370120%。在我解释如何得出这个结论之前，我们先来比较一下单重监禁和双重监禁。假设第一个赌注押在红色上。

设 Z = 零的概率 = 1/37。
设 R = 红色数字的概率 = 18/37。

单人监禁

pr（推）= ZR = 0.0131482834。
pr（胜利）= R = 0.4864864865。
pr(损失) = 1-pr(推)-pr(赢) = 0.5003652301。
预期值 = pr(赢)-pr(输) = -0.0138787436。

双重监禁

如果第一轮结果为零，玩家将推牌。之后，玩家可以无限次重复 ZR，直到获得红色。换句话说，推牌的方式如下：

ZR, Z(ZR)R, Z(ZR)(ZR)R, Z(ZR)(ZR)(ZR)R, ...

pr（推）= 0.013323464
pr（胜率）= 18/37 = 0.4864864865。
pr(损失) = 1-pr(推)-pr(赢) = 0.5001900494。
预期值 = pr(赢)-pr(输) = -0.0137035629。

三重监禁

首先，我们来计算一下单注被禁的概率 p ₁ ，即单注变成三注，加上两个零，然后最终又升回单注。这种情况可能发生如下：

ZZRR、ZZ(RZ)RR、ZZ(RZ)(RZ)RR、ZZ(RZ)(RZ)(RZ)RR、...

换句话说，赌注可以在三倍监禁和双倍监禁之间无限次地反复。

其次，设 p ₂ = 单个监禁赌注达到第一级或第二级监禁，然后返回到单个监禁的概率。

令 p ₂ = ZR + p ₁ = 0.013323464。

玩家可以无限次地重复返回第一层。因此，平局的概率为：

ZR + _Zp2R + _{Zp2p2R + Zp2p2p2R} + _{... =}

Z × (1/(1- p ₂ )) × R = 0.013325830。

pr（推）= 0.013325830。
pr（胜率）= 18/37 = 0.4864864865。
pr(损失) = 1-pr(推)-pr(赢) = 0.5001876839。
预期值 = pr(赢)-pr(输) = -0.0137011974。

无限期监禁

玛夫，你没问，但我听说西班牙允许无限期监禁。设p=推搡的概率。这也是从x级监禁开始，逐级下降，最终回到x级监禁的概率。

p = ZR + ZpR + ZppR + ZpppR + ...

p ² - p + ZR = 0

根据二次公式 p = (1-(1-4*RZ) ^1/2 )/2 = 0.0133258620。

pr（推）= 0.0133258620。
pr（胜率）= 18/37 = 0.4864864865。
pr(损失) = 1-pr(推)-pr(赢) = 0.5001876515。
预期值 = pr(赢)-pr(输) = -0.0137011650。

Zeros 无视监禁

最后，有些赌场会忽略第一个零之后的零，因为第一个零会限制赌注。在这种情况下，平局的概率就是 (1/37)×(1/2) = 0.0135135135。

下表总结了所有四种规则。

监禁几率

监禁	赢	推	损失	预期的 价值
单身的	0.48648649	0.01314828	0.50036523	-0.01387874
双倍的	0.48648649	0.01332346	0.50019005	-0.01370356
三倍	0.48648649	0.01332583	0.50018768	-0.01370120
无限	0.48648649	0.01332586	0.50018765	-0.01370117
忽略零	0.48648649	0.01351351	0.50000000	-0.01351351

我要感谢 ChesterDog 和 weaselman 提供的数学帮助。我还要感谢 G. Artico 教授和 polarprof.it 提供上述求和公式的 HTML 代码，并在此做个宣传。

这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。

这个想法是，轮盘应该是平衡的。换句话说，如果你取轮盘上一组连续数字的平均值，它们应该接近平均数 18.5。我想到了一种解释双零轮盘上数字分布的方法，如下所示。

• 将 00 置于 12:00 位置，将 0 置于 6:00 位置。
• 轮盘顶部的数字是 13、1、00、27、10*、25。这些数字必须牢记。
• 所有低奇数（从 1 到 17）位于左侧，高奇数（19 到 35）位于右侧。
• 从 1 和 13 开始，逆时针移动四个位置以获得下一个奇数，但不要超过零。
• 作为规则4的一个例外，不要将19放在17逆时针方向的四个位置，因为19的奇数较大，应该放在右侧。相反，应该放11，这是唯一一个规则4中没有涉及的低奇数。
• 所有偶数都位于轮盘的正对面，与前一个奇数成 180 度角。

我无法解释单零轮盘的顺序。目前，我可以说，如果你把零放在12点的位置，那么：

• 左侧全是红色的低数字和黑色的高数字。
• 右侧将全部是红色的高数字和黑色的低数字。

这个问题是在我的“拉斯维加斯巫师”论坛中提出并讨论的。

您预计球落在 1 到 12 的次数为 3000*(12/38) = 947.37。

您的结果与预期之间的差异是 947.37 - 742 = 205.37。

方差为 3000*(12/38)*(1-(12/38)) = 648.20。

标准差是方差的平方根 = sqrt(648.20) = 25.46。

您的结果比预期低 205.37/25.46 = 11.75 个标准差。

p 值，即偏离 11.75 个标准差或更多的概率是 28,542,806,257,940,300,000,000,000,000,000 分之一。

我很想知道轮子在哪里。

显而易见，该系统的目的是覆盖大多数数字，因此这是一种风险较低的轮盘赌方式。以下是每次旋转的投注金额：

• 3、16、24、28 和 33 日各 5 美元。
• 对以下每组数字进行角注：2/3/5/6、7/8/10/11、14/15/17/18、19/20/22/23、26/27/29/30、31/32/34/35。

请注意，这不包括以下九个数字：0、00、4、9、12、13、21、25 和 36。

下面的回报表显示了所有可能结果的概率及其对回报的贡献。

右下角单元格显示每次旋转的预期损失为 9.21 美元。每次旋转的总投注额为 175 美元。因此，赌场优势为 9.21 美元/175 美元 = 5.26%，即双零轮盘的赌场优势。

我想补充一点，使用这个策略，或者任何轮盘赌策略，你输掉的钱可能比赢回的钱还多。经验法则是，赌场会返还你预期损失的三分之一左右的补偿。虽然有很多方法可以欺骗赌场，让你误以为你的预期损失比实际损失更大，但使用这个策略绝对不是其中之一。

我同意，假设球落在红色区域，忽略两个零，第三列投注的条件优势是33.3%。然而，按照同样的逻辑，如果球落在黑色区域，第三列投注的胜率是4/18 = 2/9。一个胜率为2/9、赔率为2比1的投注，其庄家优势是33.33%。所以，按照你的方式来看，第三列投注一半情况下的玩家优势为33.33%，另一半情况下的庄家优势为33.33%。两者相抵消，该投注的庄家优势为0%。最后，加上两个零，总的玩家优势为(2/38)*-100% + (36/38)*0% = -5.26%。

换个角度来看，下表显示了所有可能结果的发生方式、概率、赢取的单位以及对回报的贡献。右下角单元格显示预期损失为 -0.105263 个单位。除以投注的 2 个单位，得出赌场优势为 5.26%。

这是我的解决方案（PDF）。

我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。

是的， TCS John Huxley销售这种轮盘。我目前还不知道具体位置。

标准轮盘赌的庄家优势公式为z/(36+z)，其中z = 零的数量。在本例中，庄家优势为4/(36+4) = 4/40 = 1/10 = 10%。