概率 - 牌

首先，我假设您不计算平局。换句话说，您的意思是 75 手牌不平局。75 手牌不平局的可能性很小。在 75 手牌中，庄家获胜的预期次数为 38.00913745。标准差是 75、庄家获胜概率和闲家获胜概率乘积的平方根。假设没有平局，庄家获胜的概率为 0.506788499，闲家获胜的概率为 0.493211501。因此标准差为 4.329727904。然后，您必须对二项分布进行半点修正，并在标准正态分布表中查找 Z 统计量（此步骤留给读者）。最终答案是，庄家赢 52 次或以上的概率是 0.0009。您的问题也考虑了庄家赢 23 次或更少（也相差 29 次或更多）的可能性，这个概率是 0.0004。所以最终答案是，相差 29 次或更多的概率是 0.0013，即 769 分之一。

感谢夸奖。你的计算偏差了五倍，因为庄家可以任意展示五张牌中的一张。换句话说，庄家的手牌顺序确实重要，因为第一张牌是明牌。正确的总组合数推导应为combin(52,5)*47*combin(46,4) = 19,933,230,517,200。

在这种状况拿到full house葫芦有两种⽅式: (1)抽到三条、或者(2)对⼦再抽到⼀张同点数牌、还有另⼀个对⼦。我将假设你会舍弃三张各⾃不同的单牌。 ⾸先, 让我们先从(1)的排列组合总数着⼿算起。那⾥只剩下3种花⾊的3种点数牌(记住你已经舍弃3张各⾃不同的单牌)、4种花⾊的9种点数牌。其排列组合总数为 3*combin(3,3)+9*combin(4,3) = 3*1 + 9*4 = 39. 接下来, 让我们算⼀下(2)状况的排列组合总数。从既有对⼦再加上⼀张相同点数牌、还剩下有2张牌。剩余的3张牌当中形成3种点数的对⼦有combin(3,2)种⽅式, 剩余的4张牌当中再形成⼀个对⼦有combin(4,2)种⽅式。所以在(2)的排列组合总数为2*(3*combin(3,2)+9*combin(4,2)) =2*(3*3 + 9*6) = 126. 在(1)与(2)状况之下形成full house葫芦的⽅式总和为39+126=165. 第⼆轮抽牌要从3张牌选取的⽅式有combin(47,3)=16,215种。拿到full house葫芦的机率为抽牌⽅式除以排列组合总数, 为165/16,215 = 0.0101758, 或者差不多是98分之⼀。 欲知combin()函数的更多资讯, 请参阅我的 扑克中的机率 专⻚。

没有, ⽆论赌桌上有多少位玩家、拿到给定牌⾯的机率都是相同的。没⻅到的牌就是⼀张没出现的牌, 不管那张牌是被另⼀位玩家拿到或者还藏在牌组当中。

我将假设每位玩家从不同的牌堆中拿到一手牌，以此给出一个近似的答案。这应该不会对赔率造成太大影响。根据我在扑克概率部分的研究，任何一位玩家拿到同花顺的概率是36/2,598,960。我们把这个概率称为p。两位玩家拿到同花顺的概率是(6,2)* ^p² *(1-p) ^² =0.0000000028779。换句话说，这种情况发生的概率是347,477,740比1。

我将首先计算出 K 高牌，然后简要展示其他两个牌型的公式。概率是 K 高牌的数量除以牌型总数。小于 K 的牌型数量为 11。K 高牌必须具有两个不同的等级。从 11 张牌中排列 2 张的方法数为combin (11,2) = 55。但是，其中一个组合是 K-Q-J，可以组成顺子，因此减去该组合，还剩下 54 种不能组成顺子的组合。接下来，每个等级有四种花色，即 4 ³ =64 种可能的花色组合。但是，这 64 种花色中有四种可以组成同花，因此还剩下 64-4=60 种花色组合。因此，K 高牌的组合总数为 54*60=3240。从 52 张牌中排列 3 张，一共有 combin(52,3)=22,100。因此，组成 K 高牌的概率为 3,240/22,100 = 0.1466063。组成 A 高牌的概率为：(combin(12,2)-2)*(4 ³ -4)/combin(52,3)=0.1737557。注意，由于 a-2-3 和 qka 顺子的存在，所以这里用 -2 而不是 -1。

皇后高牌的概率为：(combin(10,2)-1)*(4 ³ -4)/combin(52,3)=0.119457。

皇家同花顺的概率等于可能的皇家牌数（每种花色各一张）除以从52张牌中选出5张的方式数，即combin (52,5)=2,598,960。因此，答案是4/2,598,960 = 0.00000153908，即649,740分之一。

连续同花大顺的概率等于（花色数）*（方向数）/（52 张牌中 5 张牌的排列组合总数）= 4 * 2 /排列(52,5) = 8 / 311,875,200 = 8 / 可能的同花大顺数量（即 4 张（每种花色一张））乘以可能的方向数，再除以从 52 张牌中抽出 5 张牌的组合方式数，即排列(52,5) = 311,875,200。因此，答案为 4/311,875,200 = 0.00000002565，即 38,984,400 分之一。

首先，让我来回答一个未被提及的问题：某个特定数字在一张随机钞票上出现 n 次的概率。一张钞票上有 8 位数字，因此特定数字出现 n 次的概率为 combin(8,n)*0.1 ⁿ *0.9 ^8-n /10 ⁸ 。下表显示了特定数字出现 0 到 8 次的概率。

欲了解更多信息，请参阅我的“骗子扑克”页面。

假设您抽五张牌，并且所有牌中恰好有两张 J，那么概率就是 combin(4,2)*combin(48,3)/combin(52,5) = 6*17296/2598960 = 3.99%。

不算三条和两对，以下是凑成三对的方式和组合数。

没有通配符：combin(13,3)*10*6 ³ *4 =2471040
百搭牌用于对抗一对 A：combin(12,2)*10*6 ² *4 ² = 380,160
外卡用作单张 A 牌：combin(12,3)*6 ³ = 47,520

总组合数为 2,898,720。这还不到三条组合数（747,0676）的一半。

你说得对，平均每649,740手牌中会出现一次皇家同花顺，而1,299,480手牌中皇家同花顺的预期出现次数是2次。然而，这只是平均值。每一手牌过去，你距离拿到皇家同花顺都只有一步之遥。每局独立试验都具有这种无记忆特性，所以皇家同花顺永远不会过期。

在 1,299,480 手牌中出现零张王室牌的概率为 13.53%。

形成9高牌的排列方式有两种，一种是您提到的，另一种是2-3-4-6-7-8-9。无法形成同花的花色组合数为4 ⁷ -4*(combin(7,5)*3^2+6*3+1) = 15,552。因此，9高牌的概率为2*15,552/combin(53,7) = 31,104/154,143,080，即9,911分之一。如果您只玩五次，获得两手9高牌的概率为9,826,685分之一。我认为这种情况只是巧合，而不是随机数生成器或程序编码的故障。

设d为牌组数量。第一轮平局的概率为(4*d-1)/(52*d-1)= 0.073955。第二轮平局的概率为12*4*d/(52*d-2)*(4*d-1)/(52*d-3)+(4*d-2)/(52*d-2)*(4*d-3)/(52*d-3) = 0.073974。设p ₁为第一轮平局的概率，p ₂为第二轮平局的概率。则玩家回报为p ₁ *(2*p ₂ +(1-p ₂ )/2*(1-2))= -0.023301。乘以-1，则庄家优势为2.33%。我希望我没有太快地回顾这一点。

您正确计算了玩家组合数： combin (52,5)=2,598,960。由此推算，庄家可能的组合数为 combin(47,5)=1,533,939 种。然后，五张庄家牌中任意一张都可以正面朝上。因此，2,598,960*1,533,959*5=19,933,230,517,200 种组合数。

谢谢你的赞美。我同意七张牌梭哈的点数计算起来很难。所以我用电脑来算。我的程序会计算所有可能的组合，并为每个组合计分。牌九扑克中的百搭顺子数量是 11*(4 ⁴ -4)+10*3*(4 ⁴ -4)=10332。加上 10200 个自然顺子，总数是 20532。

你的方法近似效果不错。然而，按照这个逻辑，抛硬币时，每3个人中至少有一个人抛出正面的概率是3*50%=150%。假设事件独立，n次试验中至少有一次成功的概率（每次成功的概率为p）是1-(1-p) ⁿ 。在抛硬币的例子中，这个概率是1-0.5 ³ =0.875。在四人玩加勒比梭哈扑克的情况下，至少有一次出现同花大顺的概率是1-(1-4/2598960) ⁴ = 0.00000615629。然而，由于所有牌都来自同一副牌，因此事件并非独立事件。确定确切的正确答案需要非常复杂的数学计算，而近似值应该非常接近正确答案。

自然同花顺共有 32 种可能（4 个等级乘以 8 种可能的 7 张牌组合）。从 53 张牌中抽出 7 张牌的可能组合共有 combin(53,7) = 154143080 种。因此答案是 32/154143080，即 4816971 分之 1。

第一手牌拿到同花顺的概率是 4*12/combin(52,3) = 48/22100 =~ 0.0022。下一手牌拿到完全相同的概率是 1/22100。所以答案是 (48/22100)*(1/22100) = 48/488410000，即 1/10,175,208。这比中 6/49 彩票的概率高出 1.37 倍，后者的概率是 1/13983816。

(8 ² /combin(416,2))* (7 ² /combin(414,2)) = 0.00000043，或 2308093 中的 1

让我们定义同花的概率，即在发牌时拿到一张牌，或者抽到四张同花。为了简单起见，我们假设玩家抽到一对或顺子，并且抽到四张同花。在发牌时拿到同花（不包括顺子/皇家同花）的概率是 4*(combin(13,5)-10)/combin(52,5) = 5108/2598960 = 0.0019654。拿到四张同花的概率是 4*3*combin(13,4)*13/combin(52,5) = 111540/2598960 = 0.0429172。抽到同花的概率是 9/47。因此，拿到四张同花并完成的总体概率为 0.0429172*(9/47) = 0.0082182。因此，拿到同花的总概率为 0.0019654 + 0.0082182 = 0.0101836。5 位玩家中恰好有 2 位拿到同花的概率为 combin(5,2) * 0.0101836 ² *(1-0.0101836) ³ = 0.001006，约为 1/994。

从 52 张牌中抽出 7 张，一共有 combin(52,7)=133,784,560 种排列方式。包含四张同点牌的 7 张牌组合的数量为 13*combin(48,3) = 224,848。13 表示四张同点牌的点数，combin(48,3) 表示从剩下的 48 张牌中抽出 3 张的排列方式数量。因此，概率为 224,848/133,784,560 = 0.0017，即 595 分之一。

52 阶乘中的 1，或 80,658,175,170,943,900,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000。

首先，从 10 名玩家中选择 2 名玩家，共有 10*9/2=45 种方法。其中两名特定玩家拿到四张 A 的概率为 1/combin(52,4)=1/270725。因此，任意两名玩家拿到一对 A 的概率为 45/270725=0.0001662。

单个玩家获得 7 张同花牌的概率为 4*combin(13,7)/combin(52,7) = 1/19491。7 个玩家中至少有一名玩家获得 7 张同花牌的概率约为 2785 分之一。

为简单起见，我们假设每手牌都是从一副新牌中发出的。四条的概率是 13*48/combin(52,5) = 624/2598960。40 张四条中恰好出现 3 张的概率是 combin(40,3)*p ³ *(1-p) ³⁷ = 1/7378135，其中 p = 624/2598960。所以这更像是七百万分之一的概率。

不客气，谢谢你的赞美。从六副牌的牌盒中连续发出三张百搭牌（加上三张百搭牌）的概率是 1/combin(315,3) = 1/5,159,805。另一个解是 (3/315)*(2/314)*(1/313)。

答案是 (4 ¹³ /COMBIN(52,13))* (3 ¹³ /COMBIN(39,13))* (2 ¹³ /COMBIN(26,13)) = 1/61,204,166,001。

皇家牌有四种可能的花色。有五张牌可能缺失。第五张牌可能是其他47张牌中的一张。因此，皇家牌共有4*5*47=940种组合方式。组合方式共有(52,5) = 2,598,960种。因此，概率为940/2,598,960 = 2,765分之一。

解决这个问题的简单方法是，第一堆牌中有三张 A 的概率是 (4/52)*(3/51)*(2/50) = 1/5525。然而，每堆牌中有三张 A 的概率相同，所以我们乘以 6，得到 6/5525 = 0.001086

(12/52)*(11/51)*(10/50)*(9/49)*(8/48) = 0.00030474，或约 3282 分之 1。

任何一手牌中出现四条的概率为 13*48/combin(52,5) = 0.0002401。假设你在两小时内可以玩 120 手牌。那么恰好出现两张四条的概率为：combin(120,2) × 0.0002401 ⁽² × (1-0.0002401) ¹¹⁸ = 0.000400095 = 1/2499.41。

不算同花顺和皇家同花顺，顺子的概率是1.02%，同花的概率是1.04%。所以同花的概率略高一些。

我很少这么说，但我试了好几个小时，但这个问题的数学计算实在太难了。所以我向我的朋友、数学教授加博尔·梅杰西（Gabor Megyesi）求助。这是他解决任何“干旱”问题的公式。

1. 设 p 为赢得任何一手牌的概率。
2. 设 d 为干旱持续时间。
3. 设 n 为玩过的牌数。
4. 设 k=dp 且 x=np。
5. 如果 k=1，则令 a=-1，否则求 a 使得 k=-ln(-a)/(1+a)。（a 为负数，如果 k>1，则 -1 < a < 0，如果 k < 1，则 a < -1，且 a 需要高精度计算。）[向导注：此类解法可在 Excel 中使用工具菜单下的“目标求解”功能轻松找到。]
6. 如果 k=1 则令 A=2，否则令 A=(1+a)/(1+ak)。
7. n 年间不发生长度为 d 的干旱的概率约为 Ae ^{a x} 。

在这个特定问题中，p=1/40391，d=200000，n=1000000，k=4.9516，x=24.758，a=-0.0073337，A=1.03007。因此，不发生干旱的概率为 1.03007*e ^{-0.0073337*24.758} = 0.859042。因此，至少发生一次干旱的概率为 1-0.859042 = 0.140958。

这是 Gabor Megyesi 的完整5 页解决方案（PDF）。感谢 Gábor 的帮助。

我随机模拟了32095组一百万手牌，其中至少出现一次干旱的号码是4558，概率为14.20%。

下表显示了完全随机的一手牌中出现 0 到 4 张 A 的概率。

对 1 到 4 张 A 牌进行求和，我们发现至少出现一张 A 牌的概率为 0.341158。出现两张或两张以上 A 牌的概率为 0.041684。

假设至少有一张 A，那么再出现一张 A 的概率可以用贝叶斯定理重新表述为概率（至少有一张 A 的情况下再出现两张 A）= 概率（两张或更多张 A）/概率（至少有一张 A）= 0.041684/ 0.341158 = 0.122185。

对于那些不熟悉贝叶斯定理的人来说，它指出给定 B 时 A 的概率等于 A 和 B 的概率除以 B 的概率，或者 Pr(A 给定 B) = Pr(A 和 B)/Pr(B)。

下表显示了从牌堆中移除黑桃 A 后，其他 A 的每个数量的组合和概率。

这表明至少再出现一张 A 的概率为 0.221369。

为了好玩，让我们用贝叶斯定理来解答同样的问题。假设随机发牌，直到找到一手包含黑桃 A 的牌。假设牌中包含黑桃 A，那么至少再出现一张 A 的概率可以改写为概率（假设手中有黑桃 A，则至少有两张 A）。根据贝叶斯定理，这等于概率（手中有黑桃 A 且至少还有一张 A）/概率（手中有黑桃 A）。我们可以将分子分解为概率（包括黑桃 A 在内的 2 张 A）+概率（包括黑桃 A 在内的 3 张 A）+概率（4 张 A）。使用第一个表格，这等于 0.039930×(2/4) + 0.001736×(3/4) + 0.000018 = 0.021285。出现黑桃A的概率为5/52 = 0.096154。因此，给定黑桃A，至少出现两张A的概率为0.021285/0.096154 = 0.221369。

因此，如果至少有一张 A，则出现两张或两张以上 A 的概率为 12.22%，如果是黑桃 A，则出现两张或两张以上 A 的概率为 22.14%。

让我们看另一个更简单的情况。假设女性A说：“我有两个孩子，至少有一个是男孩。” 女性B说：“我有两个孩子，大一点的叫约翰。” 我们可以假设没有一个叫约翰的女孩，也没有女性会给多个孩子取同一个名字。使用条件概率，女性A的两个孩子都是男孩的概率是pr（两个男孩）/pr（至少一个男孩）= pr（两个男孩）/（1-pr（两个女孩））= (1/4)/(1-(1/4)) = (1/4)/(3/4) = 1/3。然而，女性B的较小孩子是男孩或两个孩子都是男孩的概率是？，因为说大孩子叫约翰并不能告诉我们关于较小孩子的任何信息。

再举一个例子，假设你去捷飞络 (Jiffy Lube)，他们以相同的价格提供两种方案。方案 A 是他们会检查四个零件，只更换第一个发现的缺陷零件。方案 B 是他们只检查一个问题，如果发现问题就会修复。你难道不想选择方案 A 吗？你的车进来时预计有相同数量的坏零件，但在方案 A 下发现问题的概率更大，因此在方案 A 下你离开时预计会有少量缺陷零件。同样，测试任何 A 都可能出现唯一的 A，而测试黑桃 A 时不会检查其他三种花色，因此它们更有可能是 A。

首先，我将同花顺分为两种：四张连续同花色的牌和五张连续同花色的牌。五张同花顺的数量等于花色数 * 跨度数（A 到 10 为最低牌）= 4*10 = 40。对于四张同花顺，有 11 种不同的跨度（A 到 J 为最低牌）。对于 A234 和 JQKA 同花顺，第五张牌可以是 47 张牌中的一张（52 张牌减去已经取出的 4 张牌和可以组成五张同花顺的第五张牌，这四张牌已经计算在内）。因此，跨度为 A234 或 JQKA 的同花顺共有 4*2*47=376 张。对于其他九张牌，第五张牌有 46 种可能的牌（52 张牌减去已经取出的 4 张牌和可以组成五张同花顺的两张牌）。因此，跨度为 2345 到 TJQK 的同花顺数量为 4*9*46=1656。因此，4张同花顺的总数为40+376+1656=2072。

只有45张牌才能保证顺子。例如，即使你发了A、2、3、4、6、7、8、9、JQ和K，总共44张牌，你仍然无法凑成顺子。

你这么奉承我，我怎么能拒绝呢？首先，从 52 张牌中随机抽取 7 张牌，不考虑顺序，一共有(52,7) = 133,784,560 种组合方式。七张牌的顺子有 8 种可能的组合范围（最小的牌可能是 A 到 8）。如果牌型有 7 种不同的大小，那么花色就有⁴⁷ = 16384 种排列方式。注意，这包括所有相同花色的牌，这样就能组成同花顺。所以概率是 8*16,384/133,784,560 = 1/1020.6952。

零张黑桃的概率为 (39/52)*(38/51)*(37/50)*(36/49) = 0.303818。因此，至少出现一张黑桃的概率为 1-0.303818 = 0.696182。

从概率101可知，Pr(A或B) = Pr(A) + Pr(B) - Pr(A和B)。因此，Pr(A和B) = Pr(A) + Pr(B) - Pr(A或B)。假设A拿到一张A，B拿到一张2。Pr(A) = Pr(至少一张A) = 1-Pr(没有A) = 1-combin(48,4)/ combin (52,4) = 1-0.7187 = 0.2813。没有2的概率显然相同。按照同样的逻辑，pr(A或B) = Pr(至少一张A或2) = 1-Pr(没有A也没有2) = 1-combin(44,4)/combin(52,4) = 1 - 0.501435 = 0.498565。因此，获得至少一张 A 和一张 2 的概率是 0.2813 + 0.2813 - 0.498565 = 0.063962。

任意一手拿到它的概率是 6/52。连续 27 手拿到它的概率是 (6/52) ²⁷ = 20,989,713,842,161,800,000,000,000 分之一。

每对牌有六种组合方式，可以从四种花色中抽出两种。单张牌有 44 张。因此，成功组合数为 6*6*44 = 1584。总共有 2,598,960 种组合方式，概率为 0.0609%。

只有一种方法可以拿到那一手牌。所以概率是 1/combin(52,5)，也就是 2,598,960 分之一。

我对这个概念非常熟悉。五张牌共有134,459种不同的牌型。我之所以知道这一点，是因为我的第一个视频扑克程序分析了所有2,598,960种可能的牌型，并花了好几天才跑完一张赔率表。然而，如果只运行这134,459种牌型中的一种，并根据该类别中所有牌型的数量进行加权，就可以将运行时间缩短95%。有时，如果游戏的花色是特定的，比如我最近分析的“黑杰克红利扑克” ，我就不得不重新启用我的旧程序，用慢节奏的方式运行。

请注意，我颠倒了葫芦和同花的顺序。

两种花色可以分成 4 和 1 或 3 和 2。我们先来看看 4/1 分割的情况。对于有 4 张牌的牌，有 4 种花色可供选择；对于有 1 张牌的牌，剩下 3 种花色可供选择。从 13 种花色中选择 4 种花色，共有 combin(13,4)=715 种方法。选择一个花色则有 13 种方法。因此，两种花色 4/1 分割的方式有 4×3×715×13=111,540 种。按照类似的逻辑，3/2 分割的方式有 4×3×combin(13,3)×combin(13,2)=267,696 种。因此，总概率为 (111540+267696)/combin(52,5) = 14.59%。

谢谢。（4 ⁵ -4）/combin（52,5）= 1020/2598960 = 2,548 中的 1。

估算获胜概率的一个简单方法是假设每张牌都有12/13的概率不匹配指定的点数。为了赢得这场赌注，受害者必须成功下注52次。52次获胜的概率是(12/13) ^/52=1.56% 。合理的赔率是63.2比1。在20比1的赔率下，文斯的优势是67.3%（哎哟！）。

根据数学能力比我强的GM的说法，实际概率是1.6232727%。造成这种差异的原因是，每次选择的结果都与之前的选择呈正相关。

在翻牌圈未出现任何牌型的情况下，任意三个点数不出现在翻牌圈的概率为： combin (40,3)/combin(52,3) = 9880/22100 = 44.71%。所以这名玩家的优势是 10.59%。

我更喜欢用组合函数来回答概率问题。这样一来，从一副牌中的48张非K牌中，选出四张非K牌的方法有(48,4) = 194,580种。从剩下的51张牌中，选出任意四张牌的方法有(51,4) = 249,900种。因此，接下来四张牌中没有K的概率是194,580/249,900 = 77.86%。因此，至少选出一种K的概率是100% - 77.86% = 22.14%。

有些人说，组合函数可能超出了问这类简单概率问题的人的理解范围。我并不反对这种说法，但创建这个网站的主要原因是想教我的读者一些数学知识。组合函数在概率论中非常有用，可以节省大量时间。然而，即使没有它，我们手头的问题也很容易回答。

第二张牌不是K的概率是48/51。这是因为牌堆里还剩下48张非K牌，而牌堆里总共剩下51张牌。如果第二张牌不是K，那么第三张牌也不是K的概率就是47/50（47张非K牌除以剩余的50张牌）。如此类推，其他四张牌都不是K的概率是(48/51)×(47/50)×(46/49)×(45/48) = 77.86%。其他四张牌都不是K的概率，换句话说，至少有一张K的概率是100% - 77.86% = 22.14%。

令人惊讶的是，尽管52张牌中有30张是偶数，但奇数点数的可能性却高达50.03%。下表显示了奇数/偶数点数的概率。

第一张牌是黑桃，后两张不是的概率是 (13/52)×(39/51)×(38/50) = 14.53%。你应该将这个概率乘以 3，因为黑桃可能是三张牌中的任何一张。所以答案是 3×14.53% = 43.59%。对于喜欢使用组合函数的人来说，答案是 13×combin(39,2)/ combin (52,3) = 9,633/22,100 = 43.59%。

对于两个数字，答案是 1/3；对于 n 个数字，答案是 1/(n+1)。我把答案发布到我的数学题页面，也就是第 194 题和第 195 题。

希望你满意，我花了一整天时间做第二部分，但答案还是错的。为了避免让读者失去同样的乐趣，我不会在这里直接说出答案。我把这个问题分成了两个问题，并在mathproblems.info上发布了答案和解答，分别是问题 196 和 197。

必须有一种花色包含两张牌，还有三种花色，每张牌包含一张牌。出现两次的花色有四种可能的花色。对于出现两次的花色，有 (13,2)=78 种组合方式可以从 13 种花色中选择 2 种。对于其他三种花色，每种花色都有 13 种可能的花色。因此，总组合数为 4 × 78 × 13 × 13 × 13 = 685,464。从 52 张牌中选择 5 张牌，有 (52,5)=2,598,960 种组合方式。因此，概率为 685,464/2,598,960 = 26.37%。

根据随机模拟，概率是48.64%。所以，我会接受这个赌注。

是的。首先给每张卡片分配一个从 0 到 51 的值。将卡片命名为 c1 到 c5，并按 c1 为最低、c5 为最高的顺序排列。然后调用以下函数：

int GetIndex（int c1，int c2，int c3，int c4，int c5）
{
返回组合(c5,5) + 组合(c4,4)+ 组合(c3,3) + 组合(c2,2) + 组合(c1,1);
}

其中，combin 返回传统值，但如果第一个值小于第二个值，则返回 0，如下所示：

int 组合（int x，int y）
{
如果（y>x）
返回 0；
别的
{
int i,n;
n=1；
对于（i = x-y + 1；i <= x；i ++）
n*=i;
对于（i=2；i<=y；i++）
n/=i；
返回 n；
}
}

如果您这样做是为了访问数组元素，请按如下方式加载数组。

计数=0；
对于（c5 = 4；c5 < 52；c5 ++）
{
对于（c4 = 3；c4 < c5；c4++）
{
对于（c3 = 2；c3 < c4；c3++）
{
对于（c2 = 1；c2 < c3；c2++）
{
对于（c1 = 0；c1 < c2；c1 ++）
{
index_array[count]=无论你想要什么；
计数++；
}
}
}
}
}

这是一个二项分布问题。其一般公式是：如果某个事件的概率为 p，且每个结果都是独立的，那么该事件在 t 次试验中恰好发生 w 次的概率为(t,w)×p ^w ×(1-p) ^tw 。

在这种情况下，有两种方法可以组成同花顺。你需要一张方块8和另一张方块6或J。从牌堆剩下的47张牌中抽出2张，一共有combin(47,2)=1,081种方法。因此，任何一手牌中抽出同花顺的概率是2/1,081 = 0.0018501。10张牌中抽出3张的概率是combin(10,3)×0.0018501 ³ ×(1-0.0018501) ⁷ = 0.000000750178，即1/1,333,017。

有 4 张红色 3 和 104 张其他牌。只有一种方法可以凑齐所有 4 张红色 3。玩家有 (104,50)= 1.46691 × 10 ²⁸种组合方式可以凑齐另外 104 张牌中的 50 张。总组合数为 (108,54)= 2.48578 × 10 ³⁰ 。组合数 (104,50)/组合数 (108,54) = 0.059012。

如果您不喜欢处理如此大的数字，这里有一个替代解决方案。将四个红色三号按 1 到 4 进行编号。第一个红色三号在玩家牌堆中的概率是 54/108。现在移除前三个。玩家拥有第二个红色三号的概率是 53/107，因为玩家剩余 53 张牌，而牌堆里还有 107 张。同样，玩家拥有第三个红色三号的概率是 52/106，第四个红色三号的概率是 51/105。(54/108) × (53/107) × (52/106) × (51/105) = 0.059012。

这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。

有意思。我之前写过，我估计内华达州每23.7年就会出现一次这种手。我想那次就是其中一次。

我的概率是48.6279%。如果你想下注的话，“是”的合理赔率是1.0564比1。

也有传言称，2011 年在沃里克郡举行的一场惠斯特牌局中也发生过类似的事情。为了方便其他读者，我想问的是，将一副 52 张牌的扑克牌分成四组，每组 13 张，每组完全由某一花色的 13 张牌组成的概率是多少。

将 52 张牌分成四组，每组 13 张，一共有 combin(52,13)combin(39,13)*combin(26,13) = 53,644,737,765,488,800,000,000,000,000 种可能的方式。4! = 24 是获胜组合数，因为您可以按照自己希望的方式将四种花色分配给四位玩家。因此，获胜几率等于 2,235,197,406,895,370,000,000,000,000 分之一。为了更直观地理解这个数字，假设地球上 75 亿人以每秒一次的速度打桥牌，那么在 50 亿年后太阳爆炸之前，有人发出所谓完美牌型的概率是 16,558 分之一。

然而，有些人将“完美”牌型定义为一位玩家拿到任意花色的全部13张牌。我指出，这种情况发生的概率是39,688,347,497场游戏中的1分之一。这种情况在地球上的某个地方可能偶尔会发生。

首先，让我们确定可能发生这种情况的玩家牌和公共牌的组合数。显然有四种花色。那么，从给定花色的 13 张牌中选出 4 张，一共有 combin(13,4)=715 种组合方式。

其次，一种可能发生这种情况的方式是，玩家在牌桌上有三张相同花色的牌，另外两张在另外39张牌中。牌桌上有三张相同花色的牌，组合方式有(9,3)=84种。然后，有组合方式有(39,2)=741种，可以从另外三种花色的39张牌中再选出两张。因此，牌桌上有三张相同花色的牌，组合方式有84*741=62,244种。

第三，另一种可能发生这种情况的方式是，玩家在公共牌上有四张相同花色的牌，另一张在另外 39 张牌中。公共牌上有所选花色剩余 9 张牌中的 4 张，共有 combin(9,4)=126 种方法。然后，有 39 种方法可以从其他三种花色的另外 39 张牌中再选一张。然而，并非所有这些方法都会导致两位玩家都使用两张底牌。要满足该条件，公共牌上必须有该花色的最小牌。在 8 张该花色的牌中，出现这种情况的概率是 4/8 = 1/2。因此，公共牌上有四张该花色的牌共有 126*39*(1/2)=2,457 种方法。

第四，最后一种情况是，玩家手中持有五张相同花色的牌。共有 combin(9,5)=126 种组合方式，即牌桌上有五张相同花色的牌。然而，并非所有组合方式都会导致两位玩家都使用两张底牌。要满足该条件，牌桌上必须有该花色的最小两张牌。在当前牌桌上有九张相同花色的牌中，出现这种情况的概率为 combin(5,2)/combin(9,2) = 10/36 = 5/18。因此，共有 126*(5/18)=35 种组合方式，即牌桌上有四张相同花色的牌。

因此，发生这种情况的组合数为 715*(62,244 + 2,457 + 35) = 46,286,240。

从 52 张牌中挑选 4 张作为玩家底牌，然后从牌面上剩余的 48 张牌中挑选 5 张作为玩家底牌，总组合数为 combin(52,4)*combin(48,5) = 463,563,500,400。

因此，概率为 46,286,240 / 463,563,500,400 = 0.000399395 = 2,504 分之一。

这个问题是在我的Wizard of Vegas论坛中提出并讨论的。

[剧透=解决方案]

每次发牌给一位玩家。第一位玩家拿到每种等级的牌的概率为 4^3/combin(12,3) = 64/220。

假设第一个玩家拿到顺子，那么牌堆里每个点数的牌就剩下三张了。第二个玩家拿到每个点数一张的概率是 3^3/combin(9,3) = 27/84。

假设前两位玩家拿到顺子，那么牌堆里每种点数的牌就剩下两张了。那么第三位玩家拿到每种点数各一张的概率是 2^3/combin(6,3) = 8/20。

假设前三名玩家拿到了顺子，那么牌堆里就剩下一张牌，每张牌都剩一张。这三张牌显然组成了顺子。

因此，四名玩家全部拿到顺子的概率为 (64/220)*(27/84)*(8/20)*1 = 216/5775 = 72/1925 = 3.74%。

这个问题是在我在 Wizard of Vegas 的论坛上提出并讨论的，从这篇文章开始。

让我们从 100% 开始，减去导致少于四种花色的概率。

例如，48张牌中没有红桃的概率是多少？有36张牌不是红桃。从36张牌中选出15张的方法数为combin(36,15) = 5,567,902,560。从全部48张牌中选出15张的方法数为1,093,260,079,344。因此，15张牌中没有红桃的概率为5,567,902,560 / 1,093,260,079,344 = 0.005093。

接下来，让我们将其乘以四，得到缺少任何花色（而不仅仅是红心）的概率：4 × combin(36,15)/combin(48,15) = 0.02037174。

然而，这会导致某些情况重复计算。假设拿到 15 张黑牌。这样会忽略红桃和方块。这种情况就会重复计算。因此，我们需要进行修正。从四种花色中选择两种花色，共有 combin(4,2) = 6 种方法。所有 15 张牌都是任意两种特定花色的概率为 combin(24,15)/combin(48,15) = 1307504/1,093,260,079,344 = 0.00000120。如上所述，从四种花色中选择两种花色有六种方法，因此所有牌都是两种花色的方法数为 6 × combin(24,15)/combin(48,15) = 0.00000718。

减去重复计算的结果，我们得到出现两套或三套花色的概率为 0.02037174 - 0.00000718 = 0.02036456。

请注意，我们不需要担心一种花色的代表，因为不可能从 12 张牌中选择 15 张。

最后一步，从 100% 中减去 2 种或 3 种花色的概率，得到全部四种花色出现的概率：1.00000000 - 0.02037174 = 0.97963544。

我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。

如果存在的话，这就是马尔可夫链类型的问题。

下表显示了从 1 到 52 的所有牌张中，0 到 4 张牌的预期等级数。

我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。

要想获胜，对手的三次预测都必须全部错误。第一次预测有 10/13 的概率是错误的。第二次预测有 9/12 的概率是错误的，因为我们可以排除第一个猜测的排名的可能性。第三次预测有 8/11 的概率是错误的，因为我们可以排除前两个猜测的排名的可能性。

这三件事必须同时发生，你才能获胜。因此，你获胜的概率是 (10/13) * (9/12) * (8/11) = 720/1716 = 41.96%。

在均等赌注下，从您的角度来看，这场赌注的庄家优势是 16.08%（哎哟！）。

这个问题摘自欧文·埃谢 (Owen E'Shea) 所著的《命题赌注之书》(第 7 期)。

两次掷出 12 点的平均等待时间确实是 36 次，包括掷出 12 点本身。然而，这并不意味着它们每 36 次掷出一次。掷不出 12 点的概率是 (35/36)。27 次掷出 12 点的概率是 (35/36)^27。因此，至少掷出一次 12 点的概率是 1-(35/36)^27 = 53.26%。

下表显示了在20至36次投掷中至少掷出12的概率。注意，需要掷出25次才能在均等赔率下获得优势。

让我们一次讨论一种类型的手。

• 五张相同的牌：一副牌中有 52 张不同的牌，有 52 种组合。
• 四张同点牌：四张同点牌有 52 种可能，单张同点牌有 51 种可能。因此，四条共有 52*51 = 2,652 种可能的组合。
• 三张相同的牌，两张不同的牌：三张相同的牌有 52 种可能，一对有 51 种可能。因此，葫芦有 52*51 = 2,652 种可能的组合。
• 三张相同的牌和两张不同的单张牌：三张相同的牌有 52 种可能的组合，而两张单张牌的组合有 (51,2)=1,275 种可能的组合。因此，三条有 52*1,275 = 66,300 种可能的组合。
• 两对相同的牌和一张单张牌：两张不同的牌组成对子，一共有 (52,2)=1,326 种组合。单张牌还有 50 种组合。因此，两对牌共有 1,326*50=66,300 种可能的组合。
• 一对相同的牌和三张单张牌：该对牌共有 52 张可能的牌。那么，从剩下的 51 张单张牌中选择 3 张，组合方式共有 (51,3)=20,825 种。因此，一对牌的组合数为 52*20,825 = 1,082,900。
• 五个单例：从 52 张牌中选择 5 张牌共有 combin(52,5)=2,598,960 种方法。

所有这些组合的总和是 3,819,816。

我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。