非赌场游戏 - 常问问题

首先，让我来回答一个未被提及的问题：某个特定数字在一张随机钞票上出现 n 次的概率。一张钞票上有 8 位数字，因此特定数字出现 n 次的概率为 combin(8,n)*0.1 ⁿ *0.9 ^8-n /10 ⁸ 。下表显示了特定数字出现 0 到 8 次的概率。

欲了解更多信息，请参阅我的“骗子扑克”页面。

无论你将总存款分成多少次，预期收益都是相同的。一个好的策略是尽可能多次地重复存取同一笔资金。不过，你的胜率可能太低，以至于不值得这么麻烦。

三个匹配的概率是1/216。两个匹配的概率是3*5/216。一个匹配的概率是25*5/216。0个匹配的概率是5*5*5/216。因此，预期回报为3*(1/216)+2*(15/216)+1*(75/216)-1*(125/216)=-17/216=-7.87%。没有最佳投注次数，无论您做什么，您都会损失预期投注金额的7.87%。

这些赌注可以在骰宝和掷骰子游戏中进行。

这大概是我最常被问到却又无法回答的问题了。至今为止，还没有人做过完整的克朗代克纸牌游戏。或许，等电脑速度提升一百万倍，最终会有人做到。不过，据说拉斯维加斯的赌场至少在五十年代就提供过这种游戏。我问过不少拉斯维加斯老玩家，想证实这一点，但至今无人能证实。

每次新掷骰子时，接下来四次掷骰子均为双六的概率为 (1/36) ⁴ = 1/1679616。

首先从3颗珍珠的那一行移除2颗珍珠，剩下1+4+5。无论对手在下一轮做什么，都留下以下任意一张：1+1+1、1+2+3或4+4。用其中任意一张珍珠，迫使对手的牌堆变成两堆，每堆2颗或以上，或者奇数堆，每堆1颗。

我最喜欢橙色组合。它能带来最佳的投资回报率。例如，橙色组合中，酒店租金为 500 美元，平均租金为 966.67 美元，租金与费用比率为 1.93。唯一一个比率更高的组合是浅蓝色组合，为 2.27。然而，浅蓝色组合的最高租金只有 600 美元。橙色组合中三栋房屋的租金与浅蓝色组合中的酒店租金相同，但成本低 20%，而且还有扩建空间。此外，橙色组合非常适合刚出狱的年轻人。所以听我的建议，交易时尽量买橙色组合。

本站最好的建议可能是：第一轮，总是选布。这是因为业余玩家往往第一次就选石头。只要每次伸出手，一次一个，你就会发现石头是最舒服、最自然的选择。如果你重复玩几轮，你应该选择任何能在最后一轮击败对手的概率小于三分之一的牌。这是因为我相信业余玩家重复玩的次数不到三分之一。如果你与一个你担心会闯入你脑海的职业选手比赛，那么通过查看手表的秒针随机化，将秒数除以三取余数，然后将余数映射如下：0=石头，1=剪刀，2=布（或任何其他提前确定的映射）。所以下次你去荷兰式餐厅时，我建议你先玩一轮结账，然后再选布。你以后会感谢我的。

对于那些不熟悉这款游戏的人来说，《Risk》是有史以来最伟大的桌游。没玩过的人还不算真正体验过。在常见的3对2战斗中，以下是可能的结果：

• 防守方两败俱伤：37.17%
• 各输一分：33.58%
• 攻击者两败俱伤：29.26%

下表根据您玩 Yahtzee 所需的额外骰子数量显示了最后一次掷骰子的成功概率。

下表显示了改进的概率。左列显示每次掷骰前需要掷出多少个骰子，上列显示每次掷骰后需要掷出多少个骰子。正文部分显示了达到给定改进程度的概率。

下表显示了首次掷骰子时需要 0 到 4 个骰子才能掷出 Yahtzee 的概率。

下表显示了根据第一次掷骰子后所需掷骰子数，改进并最终成功的概率。例如，如果玩家需要再掷3个骰子才能完成Yahtzee游戏，那么第二次掷骰子后改进为再掷2个骰子并在第三次掷骰子时完成Yahtzee游戏的概率为0.010288066。

要得到最终答案，请将前两张牌上掷出所需的数字与最后一列上掷出一张牌的最终成功概率相乘。结果为：0.092593*0.012631+0.694444*0.029064+0.192901*0.093364+0.019290*0.305556+0.000772*1=4.6028643%。为了验证这一点，我进行了1亿次游戏模拟，模拟的概率为4.60562%。

首先，我们可以排除出纸的可能性。无论对方出什么，你都可以通过用炸药盖住纸来获得相同或更好的结果。一旦纸被盖住，炸药就变成了新的纸，打败了石头，输给了剪刀。所以，完美的策略是在石头、剪刀和炸药之间随机选择，并且概率相同。

我向Fun Industries Inc.的Randy Hill咨询了这个问题。他说你应该伸直手臂，手掌向下，让钱在你的手掌和手臂底部膨胀起来。等到钱攒够了，就把钱塞进投币口。

我们将 x 称为从起点开始的翻转预期次数。
如果其中一方的翻转次数占多数，则我们将 y 称为剩余翻转的预期次数。
如果一方的翻转次数占多数，则我们将 z 称为剩余翻转的预期次数。

E(x) = 1 + E(y)
E(y) = 1 + 0.5*E(x) + 0.5*E(z)
E(z) = 1 + 0.5*E(y)

由此，用矩阵代数很容易得出 E(x) = 9，E(y) = 8，E(z) = 5。因此，平均需要抛掷 9 次才能使正面和反面的概率差达到 3。因此，对于每次抛掷都能赢取 1 卢比的人来说，8 卢比的赌注是一个不错的选择，因为他平均能赢 9 卢比，但只损失 8 卢比。对于赌徒来说，赌场优势是 11.11%。9 卢比的赌注是公平的，7 卢比的赌注则为 22.22%。

我在2002年11月28日那一栏解释了当只剩下三行时该如何玩。以下是我的四行策略。轮到你时，查看左栏的排列，然后根据右栏的排列进行游戏。例如，起始位置3456列在最后，这表明你应该从有5颗珍珠的那一行中移除4颗，剩下1346颗。如果左栏显示“输”，即使对手采取最优策略，你也绝对不可能获胜，而Transcience的游戏似乎总是如此。

这张表的一个规律似乎是，你应该迫使对手陷入这样一种境地：最小行和最大行的珍珠总数等于中间两行的珍珠总数。这就意味着珍珠数量最少的那一行留零。

Brad S. 写信来信，希望添加一个适用于任意数量珍珠和行数的通用策略。首先，你需要将每一行分解成二进制部分。例如，Transscience 游戏的起始位置如下。

• 3 = 2 + 1
• 4 = 4
• 5 = 4 + 1
• 6 = 4 + 2

然后，你尽量让每个2的幂都留下偶数个。例如，上式中有两个1、两个2和三个4。所以多了一个4。然后，你从任何包含4的行中移除4。继续这样做，直到你能让对手的1的数量减少到2、2或奇数个。

在《珍珠3》游戏中试试这个策略，你每次都能赢。如果你像我在第10局游戏（4+7+8+11）那样一开始就输了，你可以点击“走”让他先走。

你在二进制数上的思路没错，但这并非真正的制胜策略。首先，如果你能让对手留下奇数行，每行一个，那就这样做。否则，将每一行分解成二进制元素。例如，99 就是 64+32+2+1。然后把所有行上每个元素的数量加起来。最后，寻找一种能让对手所有行上所有二进制元素数量为偶数的玩法。

我们来看一个例子。假设轮到你了，场景如下。

下表将每一行分解为二进制组件。

可以看到，1、2、4 和 16 的数量都是奇数。显然，我们需要让 25 这一行小于 16，才能消除 16 这个数字。为了使二进制数字的和保持偶数，我们需要去掉 1，加上 2，加上 4，保留 8，然后去掉 16。这意味着最佳玩法是最后一行 2+4+8=14。保留最后一行 14，我们得到以下结果。

计算机轮流做事，把这个留给我们。

这是它的二进制分解。

这里我们需要去掉一个 2 和一个 4，才能使总数相等。只有一行，也就是 14，包含这两个部分。所以从中去掉 6，剩下 8。

计算机轮流做事，把这个留给我们。

现在我们需要更改 1、4 和 8 列。

可以通过将行 8 更改为 5 来实现，如下所示。

计算机轮流做事，把这个留给我们。

现在我们需要更改 2 和 4 的总数。

这可以通过将 6 更改为 0 来实现。

计算机轮流做事，把这个留给我们。

现在我们需要改变 2 和 4。

这可以通过将 5 行改为 3 行来实现。如果您能让对手陷入 x,x,y,y 局面，您就必然会获胜，前提是您可以将同样的局面保持到最后。

接下来的几步，我让计算机继续按照 x,x,y,y 的模式走。这里计算机给我的结果是 2,2,3,2；所以我给它留下的是 2,2,2,2。

然后计算机给了我2，2，1，2。我留下2，2，1，1。

然后计算机给我的结果是2,2,1。我给它留下的是2,2。如果你能把对手的棋子分成两行，你就赢了，只要保持两行棋子相等就行了。

然后计算机给我留下一堆 2，然后我拿走 1。

游戏到此结束。

因此，有30个黑色号码、30个红色号码和4个绿色号码。这样，黑色中奖的概率为30/64，红色中奖的概率为30/64，绿色中奖的概率为4/64。如果某个事件的概率为p，则公平赔率为(1-p)/p比1。因此，任何红色号码的公平赔率为(34/64)/(30/64) = 34比30 = 17比15。黑色号码的公平赔率为(60/64)/(4/64) = 60比4 = 15比1。对于特定号码，公平赔率为(63/64)/(1/64) = 63比1。

我建议红黑投注赔率为1比1，绿投注赔率为14比1，任何单个数字的赔率为60比1。赌场优势的一个公式是(ta)/(t+1)，其中t是真实赔率，a是实际赔率。在本例中，投注红色或黑色的赌场优势为(63-60)/(63+1) = 3/64 = 4.69%。投注绿色的赌场优势为(15-14)/(15+1) = 1/16 = 6.25%。投注单个数字的赌场优势为(63-60)/(63+1) = 3/64 = 4.69%。

VLT 是被美化的拉片游戏。它有一个预先设定的结果池。当你玩的时候，游戏会从结果池中随机选择一个结果，并以老虎机或视频扑克游戏的形式向玩家显示获胜结果。由于结果是注定的，任何技巧因素都是虚构的。例如，如果你拿到了同花大顺，然后把它扔掉，你抽牌时会再得到一张。我通常说，在赌博中过去并不重要，但在这种情况下，存在着“消除效应”。如果你玩了一次输了，那么它会略微提高剩余游戏结果的赔率，直到虚拟拉片的供应耗尽，我猜虚拟转盘会被重新填满。我相信你的忽冷忽热只是正常的运气，任何宿命都是虚构的。

后来，一位读者在该主题中添加了以下内容。

我对你2月14日的“问问巫师”专栏（第183期）有一点看法。其实这和你回答的问题没什么关系，只是你可能会觉得有趣而已。

在1A提案通过（允许全面开展3类博彩）之前，我们曾安装过几年小型的VLT系统。我们的系统由SDG（现为Bally的一部分）运营，奖池初始为400万次抽奖。当奖池缩减至200万时，我们又增加了一个400万的奖池，使总奖池达到600万次抽奖。当奖池再次缩减至200万时，我们又重复了这个过程。

假设玩家总是持有出现次数最多的数字，则平均值为11.09。下表显示了在8260万次随机模拟试验中，掷骰次数的分布。

西洋双陆棋是我最喜欢的赌博游戏之一。我没有写过关于它的文章，因为玩家对战游戏极其难分析。而且我似乎也找不到任何可以突破的玩法。所以，我还是把建议留给其他人吧。以下是我推荐的资源：

保罗·马格里尔的《西洋双陆棋》 ：如果说西洋双陆棋有一本圣经，那一定是这本了。我骄傲地拥有一本老精装版。这本书会是很好的入门书。虽然这本书写于1976年，但其中的建议仍然适用。

比尔·罗伯蒂的《501道西洋双陆棋基本题》 ：多年来我一直想通读这本书，但到现在才完成了一半。一半的题目都答错，真是令人沮丧，甚至让我觉得自己玩西洋双陆棋就像打高尔夫一样糟糕。然而，每错一道题，都蕴藏着宝贵的经验教训。对于中高级棋手来说，这本书是一本宝贵的学习工具，能让人谦卑下来。

Snowie 西洋双陆棋软件：我每年用它下大约1000盘。Snowie 不仅棋艺近乎完美，还能精准地告诉你失误的代价有多大。它还有很多我从未探索过的功能。如果说我从 Snowie 身上学到了什么，那就是我最大的问题在于，有时我看不清明显的走法，从而犯下愚蠢的错误。就像下象棋一样，一步错棋就能毁掉一百步好棋。

Motif 网站：在购买 Snowie 之前，我和 Motif 打过无数盘。在我看来，Motif 的策略非常扎实。没有什么比与更强大的对手比赛更能提升自己的水平了。

下表显示了每位玩家的获胜概率，根据第一位玩家的首次旋转，玩家1先出，然后是玩家2，玩家3最后出。最下面一行显示了首次旋转前的总体获胜概率。

以下是 6×20 ^{6 种}可能组合中的获胜数。

按照你的玩法，第三张牌匹配为平局，如果前两张牌之间至少有六个点数差（六张牌差），赔率就会对你有利。我在奥兰治县玩的时候，第三张牌匹配的结果是双输。根据这条规则，八张牌差的赔率是收支平衡的。如果第三张牌匹配的结果是一倍输，那么你需要七张牌差的赔率才能对你有利。

希望你满意；我花了一整天时间研究这个问题。答案和解答可以在我的另一个网站mathproblems.info上的第 203 题找到，或者在 Jason Swanson 的学术论文《博弈论与扑克》中找到。

为了方便其他读者理解，点数指的是贷款收取的佣金。例如，一笔25万美元的贷款，一个点数就是2500美元。我假设借款人会把这个点数加到本金余额中，并且绝不会提前偿还本金。

下表为按一个点的利率和期限计算的无点等值利率。

这表明，5.75% 的利率加上一个点，相当于 5.842% 的利率（没有点）。换句话说，假设收取的点数加到本金余额中，两种情况的还款金额相同。您的另一个报价是 5.875% 的利率（没有点数），高于 5.842%，所以我会选择 5.75% 的利率（加上点数）。

PS 对于那些想知道我如何求解 i 的人，我使用了 Excel 中的速率函数。

根据格雷戈里·贝尔 (Gregory Baer) 所著的《人生：概率（以及如何提高概率）》 ，在 PGA 巡回赛中，在标准杆 3 杆洞中一杆进洞的概率是 2491 分之一。我相信这些距离都属于标准杆 3 杆范围内。

1差点已经很不错了，所以跟美巡赛球员相比，我不会打太大折扣。假设你儿子每杆3杆洞的概率是3000分之一。一个典型的高尔夫球场大约有四个3杆洞。假设你儿子每天都打球，那么他一周要打28个3杆洞。那么恰好打出两个一杆进洞的概率就是 (28,2)×(1/3000) ^² ×(2999/3000) ^²² =24017分之一。

为了简单起见，我们忽略这样一个事实：你买的彩票越多，每张彩票的价值就越低，因为你是在与自己竞争。也就是说，输掉五张彩票的概率是 (12/13) ⁵ = 67.02%。所以至少赢得一次奖的概率是 32.98%。在你买彩票之前，彩票桶里总共有 7033×13=91,429 张彩票。91,429-40=91,389 张彩票不是大奖。五张彩票中不了大奖的概率是 (91,389/91429) ⁵ = 99.78%。所以至少赢得一次大奖的概率是 0.22%，也就是 458 分之一。

首先，“72法则”只是对资金翻倍所需时间的近似估计，而非确切答案。下表列出了不同年利率下“72法则”的数值以及确切的年数。

为什么是 72？不一定非要恰好是 72。这只是一个与实际投资利率相符的数字。它几乎恰好对应于 7.8469% 的利率。72 本身并没有什么特别之处，就像 π 或 e 一样。为什么任何数字都可以呢？假设利率是 i，那么我们来计算一下投资翻倍所需的年数 (y)。

2 = (1+i) ^y
ln(2)= ln(1+i) ^y
ln(2)= y×ln(1+i)
y = ln(2)/ln(1+i)

这可能不是我迄今为止最好的答案，但请尝试遵循这个逻辑：让 y=ln(x)。
dy/dx=1/x。
当 x 的值接近于 1 时，1/x =~ x。
因此，当 x 值接近于 1 时，dy/dx =~ 1。
因此，当 x 值接近 1 时，ln(x) 的斜率将接近 1。
因此，当 x 值接近于 0 时，ln(1+x) 的斜率将接近于 1。
“72 规则”是指 .72/i =~ .6931/ln(1+i)。
我们已经确定，当 i 的值接近于 0 时，i 和 ln(1+i) 相似。
因此，当 i 的值接近于 0 时，1/i 和 1/ln(1+i) 相似。
使用 72 而不是 69.31 可以调整 i 和 ln(1+i) 之间的差异，使 i 的值在 8% 左右。

希望你理解得通。我的微积分学得有点生疏，我花了好几个小时才解释清楚。

这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。

这款游戏的行业术语是Razzle Dazzle。我记得小时候在南加州见过，去年在墨西哥圣费利佩也见过。它通常被设计成看起来像一场足球比赛。在我看来，这款游戏是嘉年华游戏骗局中最恶劣的。纽约州应该为允许这种游戏而感到羞耻。根据一些研究，虽然各个地方的规则各不相同，但骗局的本质总是一样的。

它基于与掷骰子游戏中的“场地投注”相同的原理。对于那些不熟悉“场地投注”的读者来说，如果两颗骰子掷出的总点数为2、3、4、9、10、11或12，玩家就赢了。输的点数为5、6、7和8。赢的赔率相同，但掷出2的赔率为2比1，掷出12的赔率为3比1（在吝啬的哈拉斯赌场除外，那里只有掷出12的赔率为2比1）。数学能力较弱的赌徒可能会错误地认为这是一个不错的赌注，因为有7个点数会赢，只有4个点数会输。赔率对赌场有利的原因是，掷出输的点数的可能性最大。

以下是 Razzle Dazzle 的具体规则，摘自唐纳德·A·贝里 (Donald A. Berry) 和罗纳德·R·瑞格尔 (Ronald R. Regal) 撰写的《赢得某场嘉年华游戏的概率》一文，该文发表在 1978 年 11 月的《美国统计学家》杂志上。

1. 游戏的目标是在足球场上前进100码。玩家完成目标后将获得一些奖励。
2. 玩家每次玩时开始支付指定的费用，例如 1 美元。
3. 玩家将把 8 颗弹珠投掷到 11 x 13 的网格上。每颗弹珠都会落入 143 个孔中的一个。
4. 每个洞都有从 1 到 6 的点数。下表显示了每个点数的频率。
   
   

   Razzle Dazzle 积分分配

   积分	数字 在船上	可能性
   1	11	0.076923
   2	19	0.132867
   3	三十九	0.272727
   4	四十四	0.307692
   5	19	0.132867
   6	11	0.076923
   全部的	143	1.000000

5. 总分将被累加。裁判员将在换算表上查找总分，以计算出选手前进了多少码。换算表如下所示。
   
   

   Razzle Dazzle转换表

   积分	码 获得
   8	100
   9	100
   10	50
   11	三十
   12	50
   十三	50
   14	20
   15	15
   16	10
   17	5
   18至38岁	0
   三十九	5
   40	5
   41	15
   四十二	20
   43	50
   四十四	50
   45	三十
   46	50
   四十七	100
   四十八	100

6. 如果玩家掷出的总点数为 29，则所有后续掷骰的费用将翻倍，并且当玩家到达足球场的另一端时，他将获得一个额外的奖品。

每颗弹珠的平均得分为 3.52 分，标准差为 1.31。请注意，3 分和 4 分的概率最高。这使得标准差保持在较低水平，并且多颗弹珠的总得分接近预期。相比之下，单个骰子掷出的标准差为 1.71。

接下来，请注意码数转换表上总共有20个获胜结果和21个失败结果。那些在嘉年华游戏上赌博的傻瓜可能会错误地认为他们的晋级概率是20/41或48.8%。如果嘉年华工作人员谎称这是晋级概率，我一点也不会感到惊讶。然而，就像场地投注一样，最有可能的结果并不会赢任何东西。

下表显示了每回合得分、码数和预期码数的概率。右下角单元格显示每回合平均码数为0.0196。

以下是对 1750 万场游戏进行随机模拟的一些结果。

我本来想指出每场游戏的平均总投注额，但我的电脑无法处理这么大的数字。在平均每场5239轮的游戏中，玩家平均加倍投注560次。模拟中的一局游戏，玩家加倍投注1800次。即使平均加倍560次，假设起始投注额为1美元，每轮的投注额也高达3.77×10^ ¹⁶⁸美元。这比已知宇宙中的原子数量还要大几个数量级（来源）。

即使是最幼稚的玩家，如果每355次才晋级一次，也玩不了多久。嘉年华工作人员一开始会做的就是为了玩家好而作弊。他们可能会发现玩家有免费掷骰子的机会，或者在加分时撒谎，让玩家赢取总分，以增强他们的信心。我从未玩过这个游戏，但我猜想，当玩家接近红区（距离触地得分20码或更短）时，嘉年华工作人员就会开始公平地比赛。玩家可能会想知道为什么自己突然一无所获，但既然已经投入了资金，而且距离终点线如此之近，他肯定不会轻易放弃，放弃已经支付的码数。

链接

• 《Razzle Dazzle》 ，摘自《On the Midway》一书。
• Razzle Dazzle Carny 棋盘游戏街机骗局。
• 唐纳德·A·贝里和罗纳德·R·里格尔合著的《赢得某场嘉年华游戏的概率》

有八种获胜方式：三行、三列和两条对角线。从 9 个方格中抽出 3 个，一共有(9,3)=84 种组合方式。因此，获胜概率为 8/84 = 9.52%。

这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。

这是我的巫师玩大富翁游戏的基本策略：

• 买下所有东西。如果房产无法帮助你垄断、阻止他人，或者作为筹码的价值不高，高级玩家可能会破例。在资金短缺的情况下，公共设施也可能被拒绝。
• 尽可能地交易。这就是技巧的用武之地。尽量交易你能交易到的最佳套装。我通常将它们按以下顺序排列：橙色、黄色、浅蓝色、深蓝色、浅紫色、红色、绿色、深紫色。具体顺序会根据具体情况而有所不同。在资金紧张的游戏中，优先选择开发成本较低的套装，例如浅蓝色套装。在资金充裕的游戏中，选择那些更有可能花钱购买的套装，例如黄色或深蓝色套装。
• 一旦你拥有一套房产，无论是自然而然的还是通过交易获得的，都要迅速积累。尽量尽快在每处房产上建三栋房子。三栋之后，每栋房子的边际收益率就会下降。把大部分其他房产抵押出去，把现金花掉。你应该留下一点净资产来应对一些小开支。不花钱就像战场上的士兵不用子弹一样。
• 反对所有愚蠢的规则。尤其要反对“免费停车”的奖金池（我受不了那个！）。如果你比对手更熟练，你就应该尽量减少游戏的随机性。

魔方的六个中心面是固定的。旋转这些面只能重新排列角和棱。如果将魔方拆开，那么无论每个部分的方向如何，八个角的排列方式就有 8!=40,320 种。同样，无论方向如何，十二条棱的排列方式也有 12!=479,001,600 种。

每个角有 3 种方向，总共有 3 ⁸ = 6,561 种角方向。同样，每个边块有两种方向，总共有 2 ¹² = 4,096 种边方向。

所以，如果我们把魔方拆开，重新排列棱角，那么就会有 8! × 12! × 3 ⁸ × 2 ¹² = 519,024,039,293,878,000,000 种可能的排列组合。然而，并非所有这些排列组合都能通过旋转面从起始位置得到。

首先，不可能只旋转一个角，而其他部分保持不变。任何旋转组合都无法做到这一点。基本上，每个动作都必须有一个反应。如果你想旋转一个角，它会以某种方式干扰其他棋子。同样，也不可能只翻转一个边棋子。出于这些原因，我们必须将排列数除以 3 × 2 = 6。

其次，在不干扰魔方其他部分的情况下，不可能交换两个边块。这是这个答案中最难解释的部分。魔方所能做的就是每次旋转一个面。每次转动都会旋转四个边块和四个角块，总共移动八个块。一系列旋转可以用能被 8 整除的块移动次数来表示。通常，一系列移动会导致两个移动相互抵消。但是，任何旋转序列都会移动偶数个块。交换两个边块需要一个移动次数，即奇数次，这不能通过任何偶数集的总和来实现。数学家称之为奇偶校验问题。因此我们必须再除以 2，因为在不干扰其他块的情况下无法交换两个边块。

因此，魔方的排列组合共有 3 × 2 × 2 = 12 种可能。如果你拆开一个魔方，然后随机地重新组装，那么有 1/12 的概率，它能够被解开。因此，魔方的排列组合总数为 8! × 12! × 3 ⁽¹²⁾ × 2 ^(12/12 ) = 43,252,003,274,489,900,000。如果有 70 亿只猴子（大约相当于世界人口）随机玩魔方，以每秒旋转一次的速度，魔方平均每 196 年就会经过一次解开的位置。

链接

• 汤姆·戴维斯 (Tom Davis) 的《魔方群论》(PDF)
• 维基百科上的魔方条目

对于不熟悉红心牌规则的人来说，游戏开始时会给四位玩家各发13张牌。红心花色对游戏至关重要，所以你拿到多少张红心也很重要。下表显示了拿到0到13张红心的概率。

这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。

希望你满意。为了回答这个问题，我在Office Depot买了一大卷彩票。然后我把其中500张彩票放进一个纸袋里，一半对折，大约90度角，另一半展开。之后，我让六位志愿者每人每次抽取40到60张彩票，并进行替换，同时我记录结果。结果如下。