肯诺 - 常问问题

在前40个、后40个或任意40个中抽取n个数字的概率为combin(40,n)*combin(40,20-n)/combin(80,20)。因此，在前40个中恰好抽取10个数字（在后40个中也恰好抽取10个数字）的概率为combin(40,10)*combin(40,10)/combin(80,20) = 0.203243。一半中奖金额大于另一半的概率为1-0.203243= 0.796757。特定一半中奖金额大于该数字的概率为该数字的一半，即0.398378。如果该赌注赔率相同，则赌场优势为20.32%。如果该赌注赔率相同，则赌场优势为18.70%。如果赔率为4比1，玩家的优势为1.62%。关于正期望值在线二十一点，玩家玩得越多，净盈利的概率就越大。目前最佳游戏是Unified Gaming的单副牌游戏，玩家优势为0.16%。即使玩家平注一百万手，输掉的概率仍然约为8.6%。在Boss Media的单人游戏中，玩家优势为0.07%，一百万手后输掉的概率约为27.5%。

没有区别。

我怀疑某些数字比其他数字更有可能。我的建议是随便选一个，没什么区别。

无论你玩多少台机器，你的总体预期回报都是相同的。当然，你玩的机器越多，中奖的概率就越大，但如果所有机器都输了，你就会损失更多钱。

牌九扑克的波动性最小，而平均而言基诺的波动性最大。

在内华达州，以及我认为在美国其他主要博彩市场，球确实是随机的，结果也由球决定。然而，在印第安赌场有时出现的II类老虎机上，一切皆有可能。

平局投注获胜的概率为 combin(40,10)*combin(40,10)/combin(80,20) = 0.203243。赔率为 3 比 1 时，赌场优势为 18.703%。正面（或反面）投注获胜的概率为 (1-0.20343)/2 = 0.398378。赔率相同时，赌场优势为 20.324%。

赞美能让你事事得心应手。n 次正面朝上的组合数为combin (40,n)*combin(40,20-n)。这是从前 40 个数字中选出 n 个数字，从后 40 个数字中选出 20-n 个数字的方法数。下表显示了 0 到 20 次正面朝上的概率。

在 combin(80,20) = 3,535,316,142,212,180,000 中，全部命中 20 个点的概率为 1。因此，赔率更像是 3.5 千万亿分之一。假设地球上有 50 亿人，并且他们每周都玩一次，那么平均每 1356 万年就会出现一位赢家。大多数赌场对命中接近 20 个点的玩家支付的奖金相同。例如，拉斯维加斯希尔顿酒店对命中 20 个点中 17 个或以上的玩家支付 2 万美元。我从未听说过有人命中 20 个点，并且非常怀疑这种情况是否真的发生过。

我不同意。我想不出哪家拉斯维加斯大道上的大型赌场没有基诺游戏厅。一般来说，唯一没有基诺游戏的赌场是拉斯维加斯郊区的本地赌场，因为我们大多数当地人都知道基诺游戏是个骗人的把戏。

附言：后来有一位读者写信纠正我，说拉斯维加斯的纽约纽约赌场取消了他们的基诺休息室。

希望你满意，我花了一整天时间研究这个问题。编写并运行模拟程序后，我发现任意三行出现11个或更多标记的概率是86.96%！这根本不给对方任何机会。你可以将标记数增加到12个，仍然有53.68%的获胜概率，或者说优势是7.36%。但是，我认为你在空行投注方面选错了方向。至少出现一个空行的概率只有33.39%，最好选择没有空行的另一边。与此同时，我还计算了许多其他概率，并将它们放在了新的基诺投注页面中。以下是从该页面中列出的这些以及其他不错的等额投注选项。好的方面已列出。

与现场基诺游戏非常相似，无论您选择什么，赔率都是相同的，但它们与游戏抽取的球无关。

这实际上是一个相当难的问题。很容易计算出四个球中任意一个被抽出的概率，包括重复的概率。棘手的部分是，假设任意一个球被抽出y次，那么确定x个不同球被抽出的概率。我的答案和解法在我的MathProblems.info页面，问题205上。

1/2。

如果我们用基诺彩票来类比，每个人都有40个基因，每个基因都代表一个基诺球。然而，每个球都有唯一的编号。当两个没有血缘关系的人交配时，就像把他们两人的80个球组合成一个漏斗，然后随机选择40个基因作为交配后代的基因。

所以，当你受孕时，你得到了一半的彩球，另一半则被浪费了。当你的兄弟姐妹受孕时，他/她得到了你出生时抽取的彩球的一半，以及另一半未被抽取的彩球。所以，你们的基因有50%是相同的。这和基诺彩票如果抽取40个号码，连续两次抽取平均会有20个相同的彩球的原因是一样的。

这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。

提醒其他读者，埃及艳后基诺的玩法与传统基诺类似，但如果最后抽出的球与玩家选择的球之一匹配并获胜，则玩家还将赢得12次免费游戏，乘数为2倍。免费游戏并不能获得更多免费游戏。

您没有指定选号数量或赔付表，所以我们以3-10-56-180-1000选号-8赔付表为例。首先，让我们计算一下回报。

在基诺游戏中，从 y 个球中接住 x 个球的方法数，就是从 20 个球中接住 x 个球，从 60 个球中接住 yx 个球的方法数。用 Excel 表达式表示，这等于 combin(20,x)*combin(60,yx)。再提醒一下，combin(x,y) = x!/(y!*(xy)!)。最终 x! = 1*2*3*...*x。

回顾完毕，以下是该赔付表的回报率表。右列显示的是预期赢利平方，我们稍后会用到。

接下来，我们来计算一下平均奖金。从上表可以看出，不计奖金的平均赢利为0.593301。在奖金中，玩家可以获得12次双倍免费旋转。因此，奖金的预期赢利为2×12×0.593301 = 14.239212。

接下来，我们来计算一下赢得奖金的概率。如果玩家抓到四个数字，那么第20个球是这四个数字之一的概率是4/20。一般来说，如果玩家抓到c个数字，那么第20个球对中奖有帮助的概率是c/20。

赢得奖金的公式为：概率（第 4 组）*(4/20) + 概率（第 5 组）*(5/20) + 概率（第 6 组）*(6/20) + 概率（第 7 组）*(7/20) + 概率（第 8 组）*(8/20)。我们可以从上面的回报表中知道任何特定获胜的概率。因此，赢得奖金的概率为：

0.081504*(4/20) + 0.018303*(5/20) + 0.002367*(6/20) + 0.000160*(7/20) + 0.000004*(8/20) = 0.021644。

通过赢得奖金的概率和平均奖金赢额，我们可以计算出奖金的回报为 0.021644 × 14.239212 = 0.308198。

我们不需要知道，但游戏的总体回报是基础游戏的回报加上奖金的回报，等于 0.593301 + 0.308198 = 0.901498。

现在，让我们开始讨论实际的方差。提醒一下，方差的一般公式是：

var(x + y) = var(x) + var(y) + 2*cov(x,y)，其中 var 代表方差，cov 代表协方差。在这个游戏中：

总方差 = var（基础游戏）+ var（奖励）+ 2*cov（基础游戏和奖励）。

方差的基本公式是 E(x^2) - [E(x)]^2。换句话说，就是预期赢利的平方减去预期赢利的平方。

话虽如此，我们先从基础游戏的方差开始。还记得我之前说过，我们需要第一个表格中的预期赢利平方吗？第一个表格的右下角单元格显示预期赢利平方为 19.530214。我们已经知道预期赢利是 0.593301。因此，基础游戏的方差为 19.530214 - 0.593301 ² = 19.178208。

接下来，我们来计算奖金的方差（假设已经中奖）。为此，回想一下：

var(ax) = a ² x，其中 a 为常数。

还记得 n 个随机变量 x 的方差是 nx。

也就是说，如果 x 是奖励游戏中的基础赢利，那么整个奖励的方差为 2 ⁽²⁾ × 12 (x)。从上文可知，基础游戏中单次旋转（不计奖励）的方差为 19.178208。因此，假设已经获得奖励，则奖励的方差为 2 ⁽²⁾ × 12 (x) × 19.178208 = 920.554000。

然而，我们需要知道的是第一个球被抽出之前奖金的方差，包括根本得不到奖金的可能性。不，我们不能简单地将奖金的方差乘以中奖概率。相反，回想一下var(x) = E(x^2) - [E(x)]^2。我们将其重新排列如下：

E(x^2) = var(x) + [E(x)]^2

我们知道奖金的平均值和方差，因此奖金的预期赢利平方为 920.554000 + 19.178208 ² = 1123.309169。

因此，在抽出第一个球之前，奖金赢取的预期平方是 prob(bonus) × E(x^2) = 0.021644 × 1123.309169 = 24.313239。

我们已经计算出，在第一球开球前，奖金的预期赢利为0.308198。因此，在第一球开球前，奖金的总体方差为24.313239 - 0.308198 ² = 24.218253。

下一步是计算协方差。你可能会问：“为什么基础奖金和奖励奖金之间存在相关性？” 这是因为最后一个抽出的球必须对奖金产生贡献才能触发奖励。假设最后一个球对奖金产生贡献，平均奖金就会增加。提醒一下，贝叶斯条件概率公式如下：

P(A 给定 B) = P(A 和 B)/P(B)。

然后，假设最后一个球被击中，让我们重新为基础游戏的回报表：

右下角单元格显示，假设最后一个球被击中，平均胜利为 6.757734。

接下来，回想一下你在大学统计课上学到的内容：

cov(x,y) = exp(xy) - exp(x)*exp(y) 。

在我们的例子中，设 x = 基础游戏胜利，y = 奖励胜利。我们先来计算 exp(xy)。

Exp(xy) = prob(赢得的奖金)*(赢得奖金时的平均基础游戏胜利)*average(奖金胜利) + prob(未赢得的奖金)*(未赢得奖金时的平均基础游戏胜利)*average(未赢得奖金时的平均奖金胜利)。 很容易得出 average(未赢得奖金时的平均奖金胜利) = 0，因此我们可以将其重写为：

Exp(xy) = prob(赢得的奖金)*(赢得奖金后的平均基础游戏胜利)*平均值(赢得的奖金) =

我们已经求解了 E(x) 和 E(y)，因此协方差是：

cov(x,y) = exp(xy) - exp(x)*exp(y) = 2.082719 - 0.593301 × 0.308198 = 1.899865。

让我们回到涉及协方差时的方差总体方程：

总方差 = var(基础游戏) + var(奖励) + 2*cov(基础游戏和奖励) = 19.178208 + 24.218253 + 2×1.899865 = 47.196191。标准差是其平方根，即 6.869948。

好了，就这样吧。这个花了我好几个小时，希望你满意。

我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。

经过一番研究，我发现这并不是一个附加投注，而是20选号彩票中了零分后所支付的金额。以下是我对Station Casinos 20选号彩票的完整分析。

右下角单元格显示该彩票的总体回报率为 69.70%，这是现场基诺彩票的典型回报率。

为了回答关于捕获 0 的问题，概率列显示该概率为 0.001186，并且以 1 赢 200，其回报率为 23.71%。

下表显示了组合数、概率以及对最低球的贡献（球与概率的乘积）。右下角单元格显示预期最低球为 9.1818182。

有一种更简单的方法可以解决这类问题，其中最低球的值为 1。最低球的公式是 (m+1)/(b+1)，其中 m 是球的最大值，b 是球的数量。在本例中，m=100，n=10，所以最低球的值为 101/11 = 9.181818。

我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。