⼆⼗⼀点 - 特殊规则和促销
Wiz，你真是个好人！你的赌博网站绝对是网上最好的。作为一名精算师（ACAS），我很高兴看到有人能充分发挥自己的数学技能。
我的问题是——既然允许后期投降，你还想在10点亮牌的情况下分8点吗？我猜是的，但BJ中最难的玩法之一就是在10点亮牌的情况下分8点。
顺便提一下，我刚在拉斯维加斯待了三天，如果你还没去过，一定要试试拉斯维加斯俱乐部和世界上最自由的二十一点规则。3张或4张牌可以加倍，6张牌<=21点自动赢，也可以晚点投降。六副牌，我估计庄家优势是0.14%。感谢你们的辛勤付出！
谢谢你的赞美，吉姆。是的，即使有人建议你晚点投降，你仍然应该分牌。即使分牌后不能加倍，你也应该拒绝投降。基于两副牌的游戏，分牌后不能加倍，那么分牌8对10的预期值为-0.480673，比投降的-0.5要好。
尽管他们声称拥有“世界上最自由的二十一点规则”，但在马蹄铁赌场（Horseshoe）或金门赌场（Golden Gate）街对面，却有更好的单副牌游戏。拉斯维加斯俱乐部（Las Vegas Club）的六副牌才是真正对玩家不利的。别因为被他们的招牌所蒙蔽而感到难过，我年轻时也曾上当受骗，那时我还不知道规则变化的后果。
更新：这个问题之后，拉斯维加斯俱乐部修改了规则，在他们所谓的“世界上最自由的二十一点规则”中，对二十一点的赔率是6比5。6比5甚至不能算作真正的二十一点游戏。在任何普通的3比2游戏中，你的赔率都要高得多，这种游戏在其他地方很容易找到。
在纳奇兹，我们有一家河船赌场，允许玩皇家对子（Royal Match，版本1）的二十一点游戏，使用六副牌。他们还有一个额外奖励：如果玩家和庄家在同一手牌中都拿到皇家对子，玩家将额外获得1,000美元。这会对赌场优势产生什么影响？
假设赌注为 1 美元，那么这 1000 美元的奖金将使赌场优势从 6.67% 降低到 6.00%。
首先，网站很棒！我太喜欢了！我在里诺看到过一款游戏，规则如下：六副牌，庄家拿到软17点，分牌后加倍，除了A之外的任何牌都可以重新分牌，玩家可以用任意数量的牌加倍。例如，玩家可以抽到四张牌总点数为11点，然后加倍。这款游戏的庄家优势是多少？
你没有说明投降规则，所以我假设这是不允许的。根据我的二十一点庄家优势计算器，在考虑“任意牌张加倍”规则之前，庄家优势是0.64%。根据我的规则变化列表，允许任意牌张加倍（巴拿马常见的规则）的庄家优势是0.23%。因此，整局游戏的庄家优势是0.64% - 0.23% = 0.41%。
在下列赌场条件下，二十一点能被打败吗：
- 游戏从 8 副牌盒中发出面朝上的牌，在发出 5 副牌后（切牌后 3 副牌）会出现切牌。
- 庄家在软 17 点时停牌。
- 不投降。
- 在没有 A 的情况下，任何两张牌的总数都可以加倍。
- 只能分 A 一次，每张一张牌。
- 可以将任何其他对子拆分为最多 3 手。
- 分牌后可以加倍。
- 庄家只接受二十一点的原始赌注。
- 当庄家的明牌是 A 时，可以在二十一点游戏中赢得等额的钱。
- 表格最大值是表格最小值的 50 倍。
- 如果算牌者玩了牌盒中的第一手牌，并且每手牌都参与，则允许算牌。算牌者可以玩任意数量的牌盒，并下注任意金额。算牌者可以随时停止，但不能在错过一手牌后重新加入牌盒，也不能加入已进行到一半的牌盒。
我没有做过任何模拟，但我的明智之举是肯定的，这个游戏是可以赢的。这个游戏的策略是，当赔率对你不利时，下最小注，当赔率对你有利时，下最大注。通常情况下，赌注突然增加50倍会引起巨大的警觉，但在你的游戏中，算牌者似乎可以肆无忌惮地这样做。大西洋城刚开业时，赌场无法要求算牌者离开，整张赌桌都坐满了人，他们的赌注突然从5美元涨到300美元，或者不管最低和最高限额是多少。在遭受重创后，大西洋城赌场恳求博彩当局修改规则，他们得到了批准。这不仅可以被打败，而且我认为这会是算牌者的梦想。
您是否掌握以下规则的基本策略？庄家接受17-17、18-18和19-19的平局，允许分牌后加倍，允许重新分牌3次，禁止偷看，玩家可以在7-11点（软牌和硬牌）加倍，庄家在软17点停牌，六副牌。
Stanford Wong 的Blackjack Count Analyzer非常适合解决这类问题。只需输入规则，它就能立即生成一个基本策略，并准备进行模拟。以下是他根据这些规则制定的基础策略。我用 Blackjack Count Analyzer 模拟了 3100 万手牌，结果显示在这些规则下，赌场优势为 4.13%。我在芬兰的时候，他们玩的是单零轮盘赌，赌场优势比这个游戏低得多。我想知道为什么芬兰的二十一点规则如此严格。
PLR 经销商 PLR 经销商
23456789XA 23456789XA
21 ---------- 软 21 ----------
20 ---------- 软 20 ----------
19 ---------- 软 19 ----------
18 ---------- 软 18 +DDDd-++++
17 ---------+ 软 17 ++++DD+++++
16 -----++--+ 软 16 ++++DD+++++
15 -----+++++ 软 15 ++++DD+++++
14 --++++++ 软 14 ++++D+++++
13 --++++++ 软 13 ++++++++++
12 ++++++++
11 DDDDDDDD++ 对 A /////////+
10 DDDDDDDD++ 对 10 ----------
9 ++DDD+++++ 对 9 /////-/---
8 ++++++++++ 对 8 ///////--+
7 ++++++++++ 对 7 -////+++++
6 ++++++++++ 对 6 /////+++++
5 ++++++++++ 对 5 DDDDDDDD++
4 ++++++++++ 对 4 ++//+++++
对 3 +////+++++
对 2 +////+++++
保险：无
+ = 命中
- = 站立
D = 如果允许则加倍，否则击中
d = 如果允许则加倍，否则停牌，/ = 分开。
前几天我去了一家印第安赌场，那里的二十一点最低下注额是2美元，但每次下注他们都会额外收取25美分（具体做法是，你每持有一美元筹码，他们就会给你4个25美分的特殊筹码），所以基本上你下注2.25美元就能赢回2美元。虽然我还能赚点钱，但我想知道有没有一种快速简便的方法可以计算出这笔“佣金”到底给他们带来了多少赌场优势？我知道，比起荷官在软17点拿牌，这笔佣金肯定要高得多。
总赌场优势为 [费用 + (赌场优势) * (投注额)]/[费用 + 投注额]。假设赌场优势为 0.8%。那么包含费用的赌场优势为 [0.25 美元 + 2.00 美元 * 0.008][0.25 美元 + 2.00 美元] = 11.82%。
然而，一个快速简便的估算方法是简单地将费用除以赌注，作为费用导致的庄家优势的增加。
您的网站太棒了！我很喜欢您的建议，而且您能如此通俗易懂地讲解博彩知识，让我非常惊讶。我的问题是：在玩一款“福利二十一点”游戏时，据我所知，他们遵循了所有“拉斯维加斯”规则，结果我发现他们为二十一点支付了二比一的赔率。这似乎对玩家来说是一个很大的福利；那么福利到底有多大呢？（这不是玩笑或恶作剧，我确实在他们这样做的那张牌桌上玩过！）
谢谢你的赞美。如果我当时在玩这个游戏，我会拼尽全力。假设六副牌，其他都遵循拉斯维加斯规则，玩家优势应该是1.94%。二十一点的2比1赔率，在六副牌的游戏中，玩家的预期收益增加了2.37%。
Flamingo 提供一款采用常规市中心规则 (hs17) 的单副牌二十一点游戏。唯一的区别是，他们将自然赔率从正常的 3 比 2 改为 6 比 5。我的问题是：这会如何影响这款游戏的起始优势？它会是什么？它会如何影响保险投注？具体来说，保险需要支付多少才能让玩家获得“等额投注”并获得 6 比 5 的赔率？
使用我常用的二十一点庄家优势计算器，根据常规市中心规则，庄家优势为 0.1896%。在单副牌游戏中，玩家拿到黑杰克且无庄家拿到黑杰克的概率为 2*(16/52)*(4/51)*(1-2*(15/50)*(3/49))= 0.046492。将黑杰克赢率从 1.5 降至 1.2，会导致庄家优势增加 0.046492*(1.5-1.2)= 1.3948%。因此，这款游戏的庄家优势为 1.3948%+0.1896%=1.5844%（哎哟！）。如果要保证赔率相同，保险赔率必须为 5-1，但玩家只能下注原始赌注的 20%。
与连续洗牌机一起使用的“免费 Ace”优惠券（促销工具）对赌场优势有何影响？
这个问题我已经问过很多次了，足以让我添加一个章节来专门讨论。简而言之，这张优惠券的价值略高于其面值的一半。访问我的“二十一点”附录14，了解更多详情。
我有一张 LVA #115 的优惠券，可以在 Slots of Fun 赌场免费领取最高 25 美元的二十一点保险。它的价值是多少？
我也有那张优惠券，但快没时间用了。假设是单副牌游戏。庄家拿到黑杰克且明牌是A的概率是16/51 = 31.37%。所以，如果你下注50美元，这张优惠券的价值就是(16/51)*50美元=14.71美元。不过，我估计你会因为等待使用优惠券的机会而损失1.23美元，因为赌场有优势。所以，优惠券本身的价值是14.71美元-1.23美元=13.48美元。
图尼卡的好莱坞赌场开始在两张5美元赌桌上提供免费的累积奖金边注。规则是六副牌，庄家拿到软17点，其他所有规则均按标准执行。他们保证游戏规则不会有任何改变（庄家拿牌、DAS、4次分牌、六副牌）。同花色的方块7可获得累积奖金，起码1000美元。其他三张7的累积奖金为50美元。那么，累积奖金需要多高才能达到收支平衡呢？
当目标是最大限度地提高赢得该手牌的机会时（例如，使用比赛优惠券时），在只玩一手牌时应该对二十一点基本策略做出哪些改变？
这取决于玩家是否被允许加倍或分牌投注的比洞赛部分。通常情况下，玩家不允许这样做，这对玩家不利。下表展示了如何调整你的加倍和分牌策略，假设玩家不能加倍比洞赛部分，并且如果玩家分牌，则比洞赛部分将保留，基于无限牌堆和庄家在软17点停牌的情况。要牌/停牌策略相同。
很棒的网站！我觉得它是我在网上见过的所有赌博网站中最好的。关于二十一点投降的问题。有些赌场（比如福克斯伍兹）会提供二十一点比赛优惠券。优惠券的一个好处是，投降时你只会损失一半的本金，并且可以保留全部优惠券。（但无论输赢，优惠券都会丢失。）我猜你在这种情况下会更倾向于投降，但我想知道正确的策略是什么？谢谢！
谢谢。如果你能保持比洞赛，你应该会经常投降。我的二十一点附录9很适合解决这类问题。比洞赛的价值大约只有牌面值的一半。所以，如果这手牌的预期值小于-1/3，你应该投降。假设庄家拿到软17，以下就是这些情况。
- 玩家 6 对阵 10-A
- 12号球员对阵9-A
- 13号球员对阵8-A
- 14号球员对阵8-A
- 15号球员对阵7-A
- 16号球员对阵7-A
- 17号球员对阵8-A
- 玩家 8,8 对阵 9-A
如果庄家在软 17 点上停牌，策略是一样的，只是玩家不会在 A 点上放弃 6 点。
当地一家赌场推出了二十一点大于/小于13点的附加投注优惠。如果您的前两张牌是同花色，您将获得价值5美元的“行动筹码”。如果您的前两张牌和庄家的明牌都是同花色，您将获得价值10美元的行动筹码。行动筹码仅限一次投注，玩家保留所有赢取的奖金，但行动筹码将永远丢失。最低投注额为10美元。使用六副牌。大于/小于13点的投注的赌场优势是多少？
不考虑奖金，高注的赌场优势较低，为 6.55%，正如我在二十一点附录 8中所示。三张同花牌的概率为 4×combin(78,3)/combin(312,3) = 4×76076/5013320 = 0.060699。玩家两张牌是同花，而庄家两张牌不是的概率为 (4×combin(78,2)×234)/(combin(312,2)×310) = 2810808/15039960 = 0.186889。假设行动筹码的价值为面值的 49.5%。那么奖金价值为 0.495×(0.060699×$10 + 0.186889×$5) = $0.76301。高于投注的预期损失为 10 美元×0.0655 美元 = 0.655 美元。因此，每投注 10 美元高于 13 美元，其价值为 0.76301 美元 - 0.655 美元 = 10.8 美分。高于 13 美元投注的玩家总优势为 1.08%。
我想请教一下关于二十一点优惠券的问题。据我了解，优惠券的规则是，任何赢利均可翻倍，最高可达25美元，而且可以随时出示。如果我下注16.50美元，等到出现二十一点时再使用，优惠券将使24.75美元的二十一点赢利翻倍。或者我应该下注25美元，然后在第一次赢利时用这笔钱？两种方式的预期损失是多少？假设赌场优势为0.64%。
首先，让我们计算一下如果您下注 16.50 美元，并等到庄家拿到黑杰克后使用优惠券的预期损失。玩家拿到黑杰克的概率是 A 的数量 × 十的数量 / 从牌盒中的 312 张牌中选择两张牌的组合方式。即 24×96/ combin (312,2) = 0.0474895。如果你们俩都拿到黑杰克，优惠券就没用了。假设玩家拿到黑杰克，庄家拿到黑杰克的概率是 23×95/combin(310,2) = 0.045621。因此，玩家拿到黑杰克的概率是 0.0474895 * (1-0.045621) = 0.045323，即 22.06 手牌中拿到一次。因此，如果您以每手 16.50 美元的价格玩 22.06 手牌，则预期损失为 22.06 × 16.50 × .0064=2.33 美元。
接下来，让我们计算一下如果你下注 25 美元，并等到第一次赢钱后再使用优惠券，预期损失是多少。任何赢钱的概率都是 42.42%，正如我在二十一点附录 4中提到的那样。由于分牌比较复杂，这个统计数据并不完全适用于这种情况，但也足够接近了。因此，想要赢钱，预期需要玩的手牌数量是 1/0.4242 = 2.36。下注 2.36 手，每手 25 美元的预期损失是 2.36 × 25 × 0.0064=0.38 美元，这比等待二十一点的成本低 84%。
下表根据牌数和牌组数量显示了庄家拿到 21 点牌的概率。
庄家21点牌的概率
| 牌 | 1副牌 | 2 副甲板 | 6副甲板 |
| 2 | 0.0482655 | 0.0477969 | 0.0474895 |
| 3 | 0.0537557 | 0.0530246 | 0.0525656 |
| 4 | 0.0184049 | 0.0184945 | 0.0185388 |
| 5 | 0.00310576 | 0.00326001 | 0.00335881 |
| 6 | 0.000291717 | 0.000344559 | 0.000380387 |
| 7 | 0.0000160093 | 0.0000234897 | 0.000029251 |
| 8 | 0.000000456411 | 0.000000997325 | 0.00000152356 |
| 9 | 0.00000000466991 | 0.0000000239012 | 0.0000000526866 |
| 10 | 0.0000000000064214 | 0.000000000262229 | 0.00000000115152 |
| 11 | 0 | 0.0000000000009179 | 0.0000000000148827 |
| 12 | 0 | 0 | 0.0000000000001003 |
| 十三 | 0 | 0 | 0.00000000000000003 |
下表显示了三个奖项的分值。七张牌奖项所在行显示的是庄家七张牌21点牌面每手牌500美元奖金的价值。八张牌奖项所在行显示的是庄家八张牌21点牌面每手牌25,000美元奖金的价值。该值应乘以当前累积奖金与25,000美元的比率，即可得出任意时刻的奖金价值。羡慕奖所在行显示的是同一房间内所有其他牌桌在另一张牌桌上中奖时每手牌500美元奖金的价值。
每手牌的奖金价值
| 奖 | 1副牌 | 2 副甲板 | 6副甲板 |
| 7张牌赢500美元 | 0.80美分 | 1.17美分 | 1.46美分 |
| 8张牌赢25,000美元 | 1.14美分 | 2.49美分 | 3.81美分 |
| 8张卡500美元羡慕奖金 | 0.02美分 | 0.05美分 | 0.08美分 |
假设房间内共有 8 张活跃赌桌，每小时进行 60 轮，累积奖金为 25,000 美元，则此促销活动的价值为单层赌桌每小时 1.26 美元，双层赌桌每小时 2.41 美元，六层赌桌每小时 3.48 美元。
最近，托斯卡纳赌场推出了一项促销活动：如果你在30天内拿到30张黑杰克，就能赢得100美元的奖金。起初，最低下注金额是5美元，就能在卡上盖章。后来我听说最低下注金额提高到了15美元。我给赌场经理写了一封投诉信，信中写道：
如果这是真的，我只是想表达我对这个变化的失望。我从来没有机会利用这个促销活动，现在也怀疑自己是否还能利用。拿到30张黑杰克所需的时间（据说大约需要连续玩8个小时）似乎不合理，因为促销活动的奖金仍然只有100美元。
以下是我收到的回复：
回复您关于二十一点停牌促销活动的电子邮件，我不确定您是从哪里获得关于完成停牌卡需要多长时间的信息的。我们见过玩家在不到四个小时内就完成了这张卡。而且，您有三十天的时间来完成这张卡。我希望您理解，这并不是一项在这么短的时间内无法完成的任务。感谢您的来信。很高兴收到客户的反馈。希望您能尝试一下并赢取一些奖金！
四小时内拿到 30 张黑杰克的概率是多少？
根据我的游戏比较，二十一点玩家每小时大约玩70手牌。六副牌游戏中出现二十一点的概率是24*96/combin(312,2)=4.75%。我假设二十一点平局仍然会盖章。所以大约需要30/0.0475=632手牌才能填满牌，也就是9.02小时。
假设玩了280手牌，那么在4小时内完成牌局的概率是3万分之一，前提是每次只玩一手牌。我怀疑任何在4小时内达到目标的玩家，每次至少都玩了两手牌。
这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。
康涅狄格州一家当地赌场将在七月中旬推出为期一天的促销活动，玩家在二十一点游戏中可以三倍下注。合适的基本策略和赌场优势是什么？
我知道。金神赌场（Mohegan Sun）将于7月15日早上6点开始，推出为期24小时的“三倍下注”促销活动。该活动适用于所有二十一点和西班牙21点赌桌，最高额外投注额为500美元。详情可在金神赌场的促销页面上查看。新闻编辑室之前有以下声明，但已被删除：
点数为 11 点，想加倍下注？7 月 15 日星期四，玩西班牙 21 点或二十一点的玩家，在 7 月 15 日上午 6:00 至 7 月 16 日上午 5:59 期间，将有资格进行三倍下注。玩家收到前两张牌后，可以进行额外下注，最高可达原赌注的三倍。所有赌桌均提供三倍下注，最高下注金额为 500 美元。标准加倍下注规则适用。
被移除的内容表示玩家可以加注四倍，因为总赌注将是初始赌注的四倍。可能是因为印刷错误而被移除。
我听说二十一点使用六副牌，软17点停牌，分牌后允许投降和加倍，但不允许再次分牌A。通常情况下，这些规则下的赌场优势是0.36%。我不确定玩家在分牌后是否允许加倍/三倍。以下是不同规则下的玩家优势：
- 玩家可以在前两张牌上加倍下注，分牌后加倍下注：1.39%
- 玩家可以在前两张牌上三倍下注，分牌后三倍下注：1.59%
- 玩家可以在前两张牌上加倍下注，分牌后加倍下注：3.20%
- 玩家可以在前两张牌上加注四倍，分牌后加注四倍：3.62%
顺便提一下，阿拉莫赌场将他们的二十一点游戏从一副牌改为了四副。鉴于这一规则的改变，现在谁拥有拉斯维加斯最宽松的二十一点规则呢？
谢谢你提供的信息。我刚刚更新了我的二十一点调查问卷，以反映规则的变更。
你说得对，自从这项改变之后，阿拉莫赌场就不再享有拉斯维加斯最自由的二十一点游戏的荣誉了。这项荣誉现在属于埃尔·科尔特斯赌场的单副牌游戏。拉斯维加斯仍然有一些合法的二十一点游戏（即在二十一点游戏中赔率为3-2），但只有埃尔·科尔特斯赌场允许在任何两张前牌上加倍。其他赌场遵循内华达州北部的规则，将加倍限制在10点和11点。埃尔·科尔特斯赌场的单副牌游戏完整规则如下：
- 单层。
- 二十一点赔率为 3-2。
- 庄家拿到软 17。
- 前两张牌加倍。
- 分牌后不加倍。
- 不投降。
- 禁止重新分割 A 牌。
- 无切卡。
赌场优势的分配取决于荷官在决定何时洗牌时的行为。切牌效应在单副牌游戏中非常重要，如果没有切牌效应，赌场优势会降低 0.11%。
据我了解，荷官会在一定轮次后根据牌桌上玩家人数进行洗牌。通常情况下，El Cortez 的单副牌游戏至少有四名玩家，相当于荷官会在两轮后洗牌。只要荷官每副牌恰好发 x 轮，对玩家来说就很有利。考虑到这一规则以及牌桌通常拥挤的情况，我将“实际”赌场优势设定为 0.19%，这也是基本策略玩家可以预期的。
因此，祝贺并赞扬 El Cortez 推出拉斯维加斯最佳二十一点游戏！
加州内华达州的赌场里有一款古老的电子二十一点游戏，规则如下：
- 赢钱（二十一点除外）赔率为 3 比 2（或 1 比 2）
- 二十一点赔率为 6 比 1（或 5 比 1）
- 单层
- 庄家在软 17 点停牌
- 任何最初提供的两张底牌都加倍
- 允许拆分
- 分牌后加倍
- 无需重新拆分
- 不投降
有意思。我假设如果玩家加倍下注并获胜，他仍然只能获得总赌注金额的 1 比 2 的赔付。
首先，这些规则的基本策略如下：
- 硬牌：绝不加倍。其他方面，与常规基本策略类似，但12对3、16对10时停牌。
- 软牌：切勿加倍。如果要软牌17或以下，或者软牌18对9，则停牌。否则，停牌。
- 对子：只有当牌面是 6 到 8 时，才用 8 来分牌。一定要打出两张 A。否则，请遵循硬总点数策略。
根据这些规则和策略，我获得了 7.88% 的庄家优势。