⼆⼗⼀点 - 可能性

这是统计学入门课上常见的问题。由于大量随机变量的和总是趋近于钟形曲线，我们可以使用中心极限定理来得到答案。

从我关于庄家优势的部分来看，我们发现二十一点的标准差是1.17。如果你没有学过统计学，你不会理解这一点，但你例子中输钱的概率应该是Z统计量45000*0.005/(45000 ^1/2 *1.17) =~ 0.91。

任何基础统计学书籍都应该有一张标准正态分布表，其Z统计量为0.8186。所以，在你的例子中，领先的概率大约是18%。

当庄家拿到软17点停牌时，爆牌的概率约为29.1%。当庄家拿到软17点要牌时，爆牌的概率约为29.6%。根据我的二十一点附录4 ，净赢的概率为42.42%。然而，如果我们忽略平局，概率为46.36%。因此，连续四张牌赢的概率为0.4636 ^÷4 =4.62%。

感谢您的赞赏。连续出现这种情况，例如庄家抽到 5 到 16，是不可避免的，但无法预测。二十一点不像轮盘赌那样完全是独立尝试的游戏，但牌组本身并不倾向于连续出现。对于不擅长算牌的人来说，可以假设每一轮的胜率都相同。撇开牌组构成的一些细微影响不谈，连续五次抽到 5 到 16 的庄家，下次再次出现这种情况的概率，与连续几个小时爆牌 16 的庄家是一样的。

根据我的二十一点附录4 ，二十一点总胜率是42.22%，平局是8.48%，输掉是49.10%。我假设你为了计算连胜率而忽略平局。在这种情况下，给定已解决的赌注，获胜的概率是46.36%。连续赢n手牌的概率是0.4636 ⁿ 。因此，连续赢六手牌的概率是0.99%，连续赢七手牌的概率是0.46%。

您所经历的很可能是一些非常糟糕的连败造成的。也可能是累进投注或策略失误造成的。基本策略平注的玩家应该对大幅上涨和大幅下跌的预期大致对称，由于赌场优势，以及48%的输牌概率和43%的赢牌概率，他们更倾向于大幅下跌。如果我只是为了娱乐而玩，那么当我不再感到乐趣时，我就会离开牌桌。

设 n 为牌组数量。黑杰克的概率为 2*(4/13)*(4n/(52*n-1))。若 n=6，则概率为 192/4043 = 4.75%。

感谢您的赞赏。您问了一个好问题，但这个问题没有固定的答案。这更多的是一个程度问题，玩得越多，结果就越接近赌场优势。我最近用一些关于标准差的信息替换了我的二十一点附录4，这可能会有所帮助。例如，下表显示，如果您玩10,000手二十一点，扣除由于赌场优势造成的预期损失后，最终结果在192个单位以内的概率为90%。因此，由于随机变量的影响，在10,000手牌中，您赢或输的金额很可能不到总赌注金额的2%。然而，如果我们玩100万手牌，那么由于运气因素，0.2%的波动概率就是90%。一般来说，平均值的变化与您玩的手数的平方根成反比。所有这些都假设平注，否则数学计算就会变得非常复杂。

第一张牌是A的概率是4/52。第二张牌是10点的概率是16/51。因此，第一张黑杰克是A的概率是(4/52)*(16/51)。将这个概率乘以2，因为10点也可能是第一张牌，所以答案是2*(4/52)*(16/51) = 128/2652 = 0.0482655，或者大约是20.7分之一。

自此问题提交以来，一位玩家于2009年5月23日在大西洋城掷了154次骰子。该概率为5,590,264,072分之一。关于掷1到200次的概率，请参阅我的掷骰子生存表。关于如何自行解答此题，请参阅我的MathProblems.info网站，问题204。

您的预期损失为 100*5 美元*0.005=2.50 美元。一手牌的标准差为 1.17，这可以在我的二十一点附录 7中找到。因此，您示例中的一个标准差为 5 美元*1.17*sqr(100)=58.5 美元。因此，由于运气不好而损失 295 美元或更多的概率为 0.00135（-3 的 Z 统计量）。

两副牌中剩余103张牌，其中32张是10。因此，拿到黑杰克的概率为32/103=31.07%。

在六副牌的游戏中，出现同花黑杰克的概率为 2*(4/13)*(6/311) = 0.0118723。

我尝试在我的二十一点附录 8中解决这个问题，但在这里我会更慢地讲解。为了简单起见，我们忽略庄家的二十一点，并假设玩家总是在两张牌后要牌。在六副牌的牌盒中，排列三张牌的方式数为 combin(312,3)=5,013,320。牌盒中有 24 个 7。从 24 个 7 中排列出 3 个 7 的方式数为 combin(24,3)=2024。概率是获胜组合数除以总组合数，即 2024/5013320=0.0004，约为 2477 分之一。

你忘了，有两种可能的顺序：要么是A，要么是10。乘以2，你就得到了答案。

根据斯坦福·黄（Stanford Wong）的《基础二十一点》（Basic Blackjack），如果第一张牌是A，玩家的优势为50.5%（第124页）。然而，你的问题可以改写为：“假设另一张牌不是10，那么A的点数是多少？”为了简单起见，我们用一副无限大的牌来计算黄的数字，如下所示：0.505 = (4/13)*1.5 + (9/13)*x，其中x是你想知道的点数。做一些简单的代数运算，我们得到x=28.5%。

是的！好问题，连我都不知道这一点。牌堆越少，牌的数量越多，这种情况就越明显。为了测试最有可能击中的情况——8 副牌堆，只有 3 张牌——我用我的组合程序运行了所有可能的情况。下表显示了结果。

底行右侧的两个数字表明，要牌的总体预期值为 -0.540355，停牌的总体预期值为 -0.540293。因此，停牌是略微更好的打法。遵循这条规则，每 1117910 手牌就能额外获得一个单位。这条建议需要玩家每周玩 40 小时的二十一点，大约需要 5 年时间才能让他节省一个单位。

根据我的二十一点附录9H，假设16由10和6组成，停牌的预期回报为-0.476476，拿牌的预期回报为-0.408624。因此，如果我拿牌，你每下注1美元就能省下6.79美分。这甚至不算是最低限度的玩法。没有一个简洁的答案能解释你为什么应该拿牌。这些预期值考虑了这手牌可能出现的所有可能结果。十亿手牌的最佳玩法就是一手牌的最佳玩法。如果你想偏离基本策略，这里有一些边缘玩法：12对3，12对4，13对2，16对10。在这些牌上偏离策略会让你损失更少。

(1) 这取决于庄家拿到黑杰克时会发生什么。如果玩家的损失保证不超过原始赌注，那么庄家是否拿第二张牌都无关紧要。如果玩家在加倍或分牌后仍将输掉全部赌注，而庄家拿到黑杰克，那么这对庄家有利。(2) 我不需要模拟这种情况，因为玩家的数量无关紧要。

这取决于牌堆的数量。如果牌堆数量为 n，则概率为 2*pr(A)*pr(10) = 2*(1/13)*(16*n/(52*n-1))，大约等于 21 分之一。以下是不同牌堆数量的准确答案。

如果拿到黑杰克的概率是 p，那么 10 手牌中没拿到黑杰克的概率就是 1-(1-p) ¹⁰ 。例如，在六副牌的游戏中，答案就是 1- 0.952511 ¹⁰ = 0.385251。

我假设每手牌之间从未洗牌。其他三位玩家无关紧要。答案是 2 ³ *(16/52)*(4/51)*(15/50)*(3/49)*(14/48)*(2/47)= 0.00004401，大约是 22722 分之一。如果每手牌之间洗牌，概率会大幅增加。

手的数量无关紧要。概率为 2*(4/13)*(8/103) = 0.0478。

这取决于黑杰克之间是否有洗牌。假设没有，概率为 8*(16/52)*(4/51)*(15/50)*(3/49)*(14/48)*(2/47) = 0.000044011058。其他玩家的数量无关紧要，除非他们导致洗牌。

从我的二十一点附录7中，我们可以看出，在单副牌游戏中，每去掉一张9，赌场优势就会增加0.20%。然而，如果你想作弊，最好去掉一张A，这会使赌场优势增加0.58%。如果你作为庄家加一张牌，你应该加一张5，这会使赌场优势增加0.80%。所以，对玩家来说最好的牌是A，对庄家来说最好的牌是5。

当你感觉运气好的时候，我同意你加大赌注。重要的是你打好牌。除非你算牌，否则你可以随心所欲地下注。我常说，所有投注系统都同样没用，所以从长远来看，凭感觉下注和平注一样好。我说连输8手牌的概率是1/173，意思是从下一手牌开始，连输8手牌的概率是1/173。一局牌越长，连输8手牌的概率就越大。希望这能解答你的问题。

你的另外两张牌是任意两张10点牌的概率是 4*COMBIN(6,4)*COMBIN(6*16,2)*(4/6)*(3/5)*(1/2)/combin(312,6)，即 22,307,231 分之一。然而，同一手牌中出现四张 A 还有其他可能，例如最后一张牌可能是 8 或 9。我必须进行计算机模拟才能考虑所有其他组合。不过，粗略估计，我认为 700 万个组合看起来差不多。

我花了好几年才自己弄好分牌对子。Gambling Tools的 Cindy 给了我很大的帮助。Peter Griffin 在《二十一点理论》第 11 章中也谈到了这个话题。假设我想计算庄家 2 点时分牌 8 的期望值。最多可以重新分牌 4 手。以下是我的做法。

1. 从鞋子里取出一张 2 和两张 8。
2. 确定玩家不会在任何一手牌中拿到第三个八的概率。
3. 遍历除 8 之外的所有点数，从牌堆中减去该点数，用该点数和 8 打出一手牌，确定期望值，然后乘以 2。假设另一个 8 的概率为零，则确定每个点数对应的概率。将每个点数对应的概率与期望值进行点积。
4. 将此点积乘以步骤 2 中的概率。
5. 确定玩家重新分牌为 3 手的概率。
6. 从牌堆中再取出 8。
7. 重复步骤 3，但乘以 3 而不是 2。
8. 将步骤 7 中的点积乘以步骤 5 中的概率。
9. 确定玩家重新分牌为 4 手的概率。
10. 从鞋子里取出另外两个 8。
11. 重复步骤 3，但乘以 4 而不是 2，这次考虑获得 8 作为第三张牌，对应于玩家被迫停止重新分牌的情况。
12. 将步骤 11 中的点积乘以步骤 9 中的概率。
13. 添加步骤 4、8 和 12 中的值。

最难的部分是第三步。我有一个非常难看的子程序，里面全是我用概率树计算的长公式。当庄家拿到10或A时，它就变得特别难看了。

假设有六副牌，玩家总是拿第三张牌（无论是要牌还是分牌）。抽出 3 张同花色 7 的方法数等于花色数 (4) 乘以从牌盒中 6 张该花色 7 中抽出 3 张的方法数。换句话说，4× combin (6,3)=4×20=80。抽出 3 张彩色 7（包括 3 张同花色 7）的方法数等于颜色数乘以从牌盒中的 12 张该颜色 7 中抽出 3 张的方法数，即 2×combin(12,3)=2×220=440。抽出任意 3 张 7（包括 3 张彩色和同花色 7）的方法数等于从牌盒中的 24 张 7 中抽出 3 张的方法数，即 combin(24,3)=2024。 312 张牌中任意 3 张的组合数为 combin(312,3)=5013320。因此，出现 3 张同花色 7 的概率为 80/5013320=0.000015957。出现 3 张不同花色、有色 7 的概率为 (440-80)/5013320=0.0000718。出现 3 张混合颜色 7 的概率为 (2024-440)/5013320=0.00031596。

是的，我用组合方法计算二十一点赔率，分析玩家和庄家牌的所有可能出牌方式，并在每个决策点取最大期望值。这比模拟编程更难，但我觉得它更优雅，在递归编程中也是一种不错的挑战。不过，我仍然尊重我的同行进行模拟。用今天的计算机，运行十亿次投注并不需要很长时间，这非常接近最优策略的回报。

允许重新分牌A的赌场并不多，所以你应该庆幸自己在允许重新分牌的地方玩。你的座位位置无关紧要。这种情况的概率是牌盒里前四张牌是A，后四张牌是10的概率，即 (combin(24,4)/combin(312,4))*(combin(96,4)/combin(308,4)) = 1/4,034,213。

我似乎每个月都会被问到一次类似的问题。为了计算方便，我们假设每手牌后都会洗牌。如果某件事发生的概率是 p，那么它连续发生 n 次的概率就是 p ⁿ 。在一副牌的游戏中，拿到黑杰克的概率是 4*16/combin(52,2) = 64/1326。所以连续拿到四张牌的概率是 (64/1326) ⁴ = 16777216/ 3091534492176 = 1/184270。然而实际概率要小得多，因为随着玩家每次拿到黑杰克，牌堆中 A 与剩余牌的比例会降低。如果不知道庄家拿到了什么牌，我就无法告诉你确切的答案。

不客气，谢谢你的赞美。从六副牌的牌盒中连续发出三张百搭牌（加上三张百搭牌）的概率是 1/combin(315,3) = 1/5,159,805。另一个解是 (3/315)*(2/314)*(1/313)。

每位资深二十一点专家都认同，在其他规则相同的情况下，随着牌堆数量的减少，赌场优势会降低。然而，原因却很难解释。首先，在单副牌中，你拿到一张小牌和一张大牌的概率确实比在多副牌中更大。例如，如果我们将 2 到 6 定义为小牌，将任何 10 点牌或 A 定义为大牌，那么在单副牌中，拿到每张牌各一张的概率为 2*(20/52)*(20/51) = 30.17%。在 8 副牌中，这个概率为 2*(160/416)*(160/415) = 29.66%。虽然僵牌可以任意选择，但玩家可以自由选择停牌，庄家必须始终拿牌。

以下是概率：

玩家 1 0.048265
玩家 2 0.036735
玩家 3 0.024823
经销商 0.012560

乘积为 1 比 1,808,986。

谢谢你的赞美。恐怕我不知道有哪个资料来源，包括我自己，能提供游戏分析的代码。我花了好几年才让我的二十一点引擎完美运行（当庄家有10或A时分牌非常棘手）。获取二十一点庄家优势的一个更简单的方法是编写一个随机模拟程序。我想有一天写一本关于我如何分析游戏的书，但恐怕只有你会买。

2*(4/13)*(4n/(52n-1))

概率为 (4/52)*(3/51)*(2/50)*(1/49)*(4/48) = 3,248,700 分之一。

谢谢你的夸奖。

假设一场六副牌的游戏，庄家在软 17 点停牌，玩家玩基本策略，以下是基于 1 亿手牌模拟得出的近似结果。

如果您玩的游戏没有庄家优势，那么使用任何系统，在投入 5000 美元的风险下赢得 200 美元的概率都是 5000/(5000+200) = 96.15%。如果资金为 b，赢得 w 的通用公式是 b/(b+w)。因此，资金越多，您的获胜几率就越大。庄家优势会降低成功概率，降低的幅度难以量化。对于像二十一点这样低庄家优势的游戏，成功概率的降低幅度很小。需要进行随机模拟才能确定。如果我不想费心去做这件事，请原谅我。VegasClick使用 Martingale 做了一个关于成功概率的小模拟。

这并非事实。剩余的牌组需要表现出一定程度的偏斜，才能使赔率偏向玩家。假设在一副牌的游戏中，任何同花对子的赔率都是3比1。牌组顶部的牌获胜的概率是4* combin (13,2)/combin(52,2) = 23.53%。但是，如果你弃掉两张不同花色的牌，获胜的概率就会降至2*(combin(13,2)+combin(12,2))/combin(50,2) = 23.51%。如果你弃掉两张相同花色的牌，获胜的概率就会升至(3*combin(13,2)+combin(11,2))/combin(52,2) = 23.59%。如果每种点数各去掉一张牌，获胜概率就会降至 4*combin(12,2)/combin(48,2) = 23.40%。由此可见，如果牌的分布呈均匀分布，获胜概率会下降；但如果分布非常不均匀，获胜概率就会上升。随着牌堆的玩法减少，获胜概率有时会变高，有时会变低，但从长远来看，获胜概率会趋于平均，保持在 23.53%。

在典型的拉斯维加斯规则下（6副牌，庄家拿到软17点），始终停牌的赌场优势为15.7%。短期内你还能克服这个风险，但长期来看，你会损失惨重。

在Cryptologic，他们使用 8 副牌，庄家在软 17 点时停牌。根据我的二十一点附录 2 ，庄家以 6 点爆牌的概率为 0.422922。因此，不爆牌的概率为 1 - 0.422922 = 0.577078。7 次中有 7 次不爆牌的概率为 (0.577078) ⁷ = 2.13%。

哇！这个概率是 (combin(24,6)/combin(312,6)) * (24/306) * (combin(18,5)/combin(305,5)) = 287,209,346,813,617 分之一。

该概率为 52/ combin (260,5) = 5/9525431552 = 1/1,905,086,310。

假设拉斯维加斯大道的规则较为宽松（六副牌，庄家在软17点停牌，分牌后允许加倍，允许后期投降，允许再次分牌A），以下是最初两张牌加倍时各种可能结果的概率。这不包括分牌后加倍。

从我的二十一点附录 4中，我们可以看到每手初始牌的以下概率。

• 胜率 42.43%
• 损失49.09%
• 平局 8.48%

因此，连续输掉19次的概率是0.4909^19*(1-0.4909) = 1/1,459,921。相比之下，在视频扑克中拿到同花大顺的概率是649,740分之一，也就是2.25倍。众所周知，狂热的视频扑克玩家可能会拿到好几次同花大顺，所以如果你经常玩二十一点，你最终很可能会遭遇这样的连败。

策略会根据你手中牌的数量而变化，如附录 18 所示，因为每张牌离开牌堆都会改变剩余牌的概率。一个很好的例子是，单副牌基本策略规定，如果牌堆是 10，则放弃 7.7；但如果是其他 14，则应该拿牌。你应该放弃的原因是，一半的 7 已经从牌堆中被拿走了。你需要再拿一张 7 才能凑成 21，这是唯一能击败庄家 20 的牌。因此，7 的不足会将拿牌的预期价值降低到赌注的一半以下，因此放弃是更好的选择。

八副牌盒中有416张牌。这看起来可能很多，但16点对10点的牌型非常危险，即使只拿走一张牌，停牌也是一种更好的选择。规则是，在八副或更少的牌盒中，如果你的16点由三张或更多牌组成，而庄家有一张10点，那么你应该停牌。两张16点牌型中，每张牌的平均点数为8点；三张16点牌型中，平均点数为5.33点。在三张牌型中，由于牌堆中小牌越多，剩余牌堆的大牌越多，要牌的风险就越大，最终导致停牌的胜率更高。

我指出，这条规则对玩家来说价值0.026%。尽管面对庄家2-7的牌，玩家有打出7,7的动机，但玩家仍然应该遵循基本策略，分牌。

我的二十一点附录14显示，如果你的第一张牌是6，你的预期价值就已经约为-21%。例如，如果他下注100美元，那么卖出这手牌并下注的合理价格大约是79美元。或许你可以利用他的抱怨，提出以低于79美分的合理价格买下他的牌。我建议75美分的出价，这样既能给你带来优势，又不会占太多便宜。

为了其他读者的利益，完整的规则如下：

• 单层。
• 庄家在软 17 点时停牌。
• 赢了二十一点，赔付等额的钱。
• 玩家可以将前两张牌加倍。
• 分牌后不加倍。
• 玩家可以重新分成四手牌，包括 A。
• 不抽牌来分牌 A。
• 不投降。
• 六张牌查理（未爆破六张牌的玩家自动获胜）。
• 每手牌结束后都会洗牌。
• 如果游戏中的牌用完了，则所有未爆牌的玩家都会自动获胜。

使用全额依赖型基本策略的赌场优势为2.13%。我进行了一个7人模拟游戏，使用全额依赖型基本策略，平均每轮使用牌数为21.65张，标准差为2.72张。在近1.9亿轮游戏中，最多使用牌数为42张，共发生7次。

在我看来，即使计算机完美地运用基于牌型的策略，玩家实际上也永远看不到最后一张牌。根据你玩牌过程中看到的所有牌，你可以使用基于牌型的策略来进一步降低赌场优势。然而，一开始就背负着2.13%的赌场优势，无论你多么努力，你都永远无法接近收支平衡。

根据我的游戏比较，二十一点玩家每小时大约玩70手牌。六副牌游戏中出现二十一点的概率是24*96/combin(312,2)=4.75%。我假设二十一点平局仍然会盖章。所以大约需要30/0.0475=632手牌才能填满牌，也就是9.02小时。

假设玩了280手牌，那么在4小时内完成牌局的概率是3万分之一，前提是每次只玩一手牌。我怀疑任何在4小时内达到目标的玩家，每次至少都玩了两手牌。

这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。

在这些规则下，庄家恰好拿到9张牌的21点的概率是32,178,035分之一。以下是不同牌组数量以及庄家拿到软17点时是否要牌或停牌的概率。

为了回答这个问题，我假设有六副牌。

如果庄家只对赢的黑杰克支付6比5的赔率，那么通常不允许“等额赔付”。不过，我相信你，名胜世界确实提供这种赔率。

如果玩家的胜率是6比5，那么玩家拿到黑杰克对A的胜率将达到赌注金额的83%。因此，赢得100%的胜率非常划算。这种情况发生的概率为0.352%。总而言之，对玩家来说，这笔钱的价值为0.00352 × (1 - 0.83) = 0.0006。换句话说，它降低了0.06%的赌场优势。

我必须提醒读者，如果黑杰克的赔率是3比2，玩家应该拒绝。在这种情况下，一张黑杰克对一张A的价值是下注金额的1.037倍，所以只接受一个单位的赔率是一个糟糕的决定。