⼆⼗⼀点 - 庄家优势和规则集

是的，然而，对于采用基本策略的玩家来说，在真人娱乐场中，优势实际上会更小。这是因为在真人娱乐场中，荷官通常会发牌到一定点数，结束该手牌，然后重新洗牌。如果在切牌或洗牌点时，牌堆里有很多小牌（对荷官有利），那么比起在洗牌点时牌堆里有很多大牌（对玩家有利）的情况，他们更有可能发出更多牌。数千手牌的结果是，发出的小牌数量不成比例地高，这直接导致玩家的投资回报率降低。这种影响并不大，但从数学上讲，在在线赌场使用相同的规则比在实体赌场玩要好。

有关该主题的更多信息，请参阅我的关于切牌效应的二十一点附录 10。

是的。我总是把平局算进赌场优势里。唯一的例外是某些通常会导致平局的掷骰子赌注，例如位置、买入、下注和硬路，这些赌注往往会持续到结果出来。对于这些赌注，我将赌场优势定义为每次解决的赌注的预期损失。

很难找到一款二十一点游戏中，基本策略玩家比庄家更有优势。在我的网站上，单副牌二十一点的玩家优势是基于多副牌规则，而这些规则在单副牌游戏中很少见。我这样整理表格是为了说明牌组数量的影响。Unified Gaming 为基本策略玩家提供了我见过的最佳二十一点游戏。要查看列表，请访问我的在线赌场索引。如果您玩的游戏的庄家优势为负，那么，是的，这意味着您的赔率会比庄家更高，前提是您采用基本策略。

假设赌注为 1 美元，那么这 1000 美元的奖金将使赌场优势从 6.67% 降低到 6.00%。

问得好。可惜我没有根据具体规则制定的确切标准差数字。我网站上的1.15是基于拉斯维加斯大道的宽松规则。我同意分牌后加倍的规则会增加标准差。投降会降低标准差。抱歉，我帮不上什么忙。

你的观点很有道理。你写这篇文章的时候，我根据一套固定的规则来表示赌场优势，这些规则只随牌堆数量而变化。然而，在现实生活中，当提供单副牌时，其他规则总是会变得更加严格。我已经改进了二十一点部分的赌场优势表，使其包含更多不同的规则。典型的拉斯维加斯单副牌游戏不允许在分牌后加倍，并且庄家拿到软17点。按照这些规则，赌场优势为0.18%。最好的单副牌游戏是在Slots-a-Fun（在Circus Circus旁边），庄家拿到软17点后停牌，玩家优势为0.01%。隔壁的Westward Ho允许分牌后加倍，但庄家拿到软17点后赌场优势为0.04%。至于算牌，绝对不行，即使是最优秀的算牌高手也经常输。一个月都可能亏本。只有经过很长一段时间才有可能实现净利润。

更新：自从撰写本文以来，Westward Ho 已被拆除，Slots-a-Fun 只剩下老虎机。

此游戏的庄家优势为 0.51%。

我对这个数字很有信心。它是用我的一个随机模拟程序测算出来的。我猜测软件开发者犯了一个错误，他们只打算像之前的版本一样，在10和A上允许提前投降。我联系了一家使用Unified Gaming的在线赌场，他们甚至不知道新软件允许在A上提前投降。我提供赌场优势数据是为了方便我的访客。（更新于2005年1月22日：Unified Gaming几年前修改了游戏规则，取消了玩家优势）

庄家拿哪张牌并不重要。重要的是，如果庄家拿到黑杰克，玩家是否能输掉比原始赌注更多的钱。例如，在Starnet赌场，如果庄家拿到10，而玩家拿到11并加倍，那么庄家可以随后抽一张A，也就是黑杰克，玩家将输掉原始赌注和加倍的赌注。为了适应这条欧洲的“不偷看”规则，当庄家可能拿到黑杰克时，玩家在加倍和分牌时应该更加谨慎。

有关欧洲无底牌规则的更多信息，请参阅我的欧洲二十一点基本策略。

你说得对，庄家更有可能拿到好牌。以下是我在二十一点附录2中列出的，如果明牌是5，庄家最终总点数的概率。假设庄家拿到软17点时停牌，我相信你也会这么做。

• 17：12.23%
• 18：12.23%
• 19：11.77%
• 20：11.31%
• 21：10.82%
• 破产：41.64%

对于那些不明白你问什么的人，现在有新的洗牌机，可以在每手牌后将二十一点弃牌随机放回牌堆。如果你使用基本策略，那么由于没有切牌效应，洗牌机实际上会稍微降低赌场优势。我的理解是，它们确实提供了公平的随机洗牌。然而，洗牌机让荷官可以减少洗牌时间，花更多时间发牌。这意味着你会花更多时间玩，从而导致赌场优势对你造成更大的压力。

有关连续洗牌机的数学效应的更多信息，请参阅我的二十一点附录 10 。

我假设使用八副牌，并且如果庄家拿到黑杰克，则奖金不适用。使用黑杰克计数分析器，我下注 5 美元，玩家优势为 1.4%。遗憾的是，由于奖金的可比收益会降低，而且下注 25 美元及以上需要支付额外费用，因此下注金额越大，优势就越小。下注 24 美元时，赌场优势为 1.4%，下注 25 美元时为 3.3%。这确实是一款非常有趣的游戏。如果你玩过，请告诉我你的感受。

假设你最看重玩家赔率，我建议你选择Unified Gaming赌场。如果你遵循正确的策略，你将享受0.57%的玩家优势。

你没有说明投降规则，所以我假设这是不允许的。根据我的二十一点庄家优势计算器，在考虑“任意牌张加倍”规则之前，庄家优势是0.64%。根据我的规则变化列表，允许任意牌张加倍（巴拿马常见的规则）的庄家优势是0.23%。因此，整局游戏的庄家优势是0.64% - 0.23% = 0.41%。

1986 年我去赫尔辛基时确实见过这些规则。毫无疑问，这是我见过的最糟糕的二十一点规则。

回答你的问题，我的二十一点赌场优势计算器显示，赌场优势为0.54%，这还不包括17-20平局输钱的规则。我的规则变化列表显示，17-20平局输钱的概率为8.38%，对赌场有利。所以，整体赌场优势应该是8.92%（哎哟！）。

我编写了自己的组合程序，循环遍历所有可能的事件，并根据概率对所有可能的结果进行加权计数。除了需要重新拆分对的情况外，我的计算完全正确。

您所经历的很可能是一些非常糟糕的连败造成的。也可能是累进投注或策略失误造成的。基本策略平注的玩家应该对大幅上涨和大幅下跌的预期大致对称，由于赌场优势，以及48%的输牌概率和43%的赢牌概率，他们更倾向于大幅下跌。如果我只是为了娱乐而玩，那么当我不再感到乐趣时，我就会离开牌桌。

我没有做过任何模拟，但我的明智之举是肯定的，这个游戏是可以赢的。这个游戏的策略是，当赔率对你不利时，下最小注，当赔率对你有利时，下最大注。通常情况下，赌注突然增加50倍会引起巨大的警觉，但在你的游戏中，算牌者似乎可以肆无忌惮地这样做。大西洋城刚开业时，赌场无法要求算牌者离开，整张赌桌都坐满了人，他们的赌注突然从5美元涨到300美元，或者不管最低和最高限额是多少。在遭受重创后，大西洋城赌场恳求博彩当局修改规则，他们得到了批准。这不仅可以被打败，而且我认为这会是算牌者的梦想。

如果您在二十一点中只赢了等额的钱，那么赌场优势就会增加2.3%。我推荐“双倍或全无”功能，因为它的赌场优势为零。但是，只在您可以承受损失的金额上加倍投注。

根据我的二十一点庄家优势计算器，在完美策略下，六张查理规则之前的庄家优势和分牌后的二十一点 3-2 之前的庄家优势为 0.34%。

我的规则变体列表显示，六张查理规则的赔率为 0.16%，而分牌 A 后，3-2 赔付的黑杰克的赔率为 0.19%。分牌 10 仍然不赔付。因此，整体赌场优势为 0.34% - 0.16% - 0.19% = -0.01%。换句话说，玩家优势为 0.01%。

总赌场优势为 [费用 + (赌场优势) * (投注额)]/[费用 + 投注额]。假设赌场优势为 0.8%。那么包含费用的赌场优势为 [0.25 美元 + 2.00 美元 * 0.008][0.25 美元 + 2.00 美元] = 11.82%。

然而，一个快速简便的估算方法是简单地将费用除以赌注，作为费用导致的庄家优势的增加。

你应该遵循我的多副牌策略，但面对A牌时，也应该像单副牌策略一样投降。我还没研究过这种游戏是否比单副牌游戏更赚钱，但我很想听听那些按照你的建议去做的人的意见。

假设有六副牌，庄家拿到软17点，如果庄家被迫每手牌都出完，那么根据我的二十一点附录2B，庄家爆牌的概率是28.58%。然而，在一对一游戏中，如果玩家拿到黑杰克或先爆牌，庄家就不会费心抽牌，那么根据我的二十一点附录4，庄家爆牌的概率是24.36%。

根据彼得·格里芬的《额外资料》，玩家因失误造成的平均损失为 1.41%。这高于假设基本策略正确的情况下的赌场优势。不同地方的赌场优势也有所不同，例如，大西洋城的玩家比拉斯维加斯的玩家更胜一筹。您之前关于糟糕策略的问题非常好，我已将其添加到我的二十一点专栏中。请参阅我关于糟糕策略的评论。

谢谢你的赞美。这个问题问得好。如果没有足够的钱加倍或分牌，但其他方面都玩得正确，赌场优势就会增加1.9%。

谢谢你的赞美。如果我当时在玩这个游戏，我会拼尽全力。假设六副牌，其他都遵循拉斯维加斯规则，玩家优势应该是1.94%。二十一点的2比1赔率，在六副牌的游戏中，玩家的预期收益增加了2.37%。

你问这个问题的时候，他们仍然在二十一点上支付3-2。在考虑3张或4张牌加倍规则以及六张查理规则之前，我的二十一点赌场优势计算器显示赌场优势为0.50%。我的规则变化列表显示，3张或4张牌加倍的赌场优势为0.23%，六张查理规则的赌场优势为0.16%。因此，总赌场优势为0.50% - 0.23% - 0.16% = 0.11%。

然而，自从你写到之后，他们就修改了规则，对同花二十一点的赔率是2比1，对其他所有二十一点的赔率是1比1。这导致赌场优势从1.13%上升到1.24%。他们仍然挂着“世界上最自由的二十一点”的牌子，如果你把“自由”理解为最低的赌场优势，这显然是不真实的。

确实如此。我在我的二十一点附录10中解释了原因。玩家数量无关紧要。

根据斯坦福·黄（Stanford Wong）的《基础二十一点》（Basic Blackjack） ，这条规则会使玩家的预期收益增加0.2%。黄还在第60-61页指出了这条规则下的一些策略偏差。

谢谢你的赞美。我手头没有八副牌的现成数字，但在四副牌的游戏中，如果庄家在软17点停牌，假设第一张牌是A，我算出的玩家优势是51.66%。斯坦福·黄（Stanford Wong）在《基础二十一点》（Basic Blackjack）一书中指出，六副牌的游戏中，如果庄家在软17点停牌，玩家优势是50.5%。有时，拉斯维加斯的趣味书籍会提供优惠券，可以用A代替二十一点中的第一张牌。黄在书中也提到了你遇到的这种情况。

我在拉斯维加斯的俱乐部见过这种事，不过我记得他们只会从六副牌中切掉两副。这是一种欺骗手段，看起来用的牌比实际的要少。从数学上讲，赌场优势与洗牌机的总牌数相同。对于非算牌者来说，穿透力并不重要。因此，无论是机器还是人从六副牌盒中切掉两副牌，牌都是从六副牌盒中取出的。

使用我常用的二十一点庄家优势计算器，根据常规市中心规则，庄家优势为 0.1896%。在单副牌游戏中，玩家拿到黑杰克且无庄家拿到黑杰克的概率为 2*(16/52)*(4/51)*(1-2*(15/50)*(3/49))= 0.046492。将黑杰克赢率从 1.5 降至 1.2，会导致庄家优势增加 0.046492*(1.5-1.2)= 1.3948%。因此，这款游戏的庄家优势为 1.3948%+0.1896%=1.5844%（哎哟！）。如果要保证赔率相同，保险赔率必须为 5-1，但玩家只能下注原始赌注的 20%。

我的赌场优势计算器是基于洗牌后的第一手牌计算的。因此，它非常适合连续洗牌机游戏。与普遍的看法相反，手牌洗牌游戏的赌场优势实际上比连续洗牌机游戏略高。我将在二十一点附录 10中更详细地解释这一点。

确切的数字很难计算，我就不多说了。不过你的推测是对的，如果荷官在弃牌架上留下很多大牌，但又会把很多小牌放回去，那么胜算就更大了。这和优先洗牌是一样的，在手持式游戏中，荷官会在点数好的时候洗牌，如果点数不好就会再发一轮。优先洗牌在拉斯维加斯确实存在，所以你所描述的情况我也不会感到惊讶。

我在二十一点附录10中详细解释了切牌效应。赌场优势统计数据基于非切牌游戏，可能是出于传统和数学上的简单性。不过，你说得对，将切牌纳入赌场优势数据会更准确。不过，我仍然坚持以刚洗好牌的第一手牌为基础来计算赌场优势数据。分析二十一点本身就够难的了，更别提总是担心切牌效应了。

我通常会参考“二十一点规则和特别活动”来了解拉斯维加斯哪里有最好的二十一点游戏。令人惊讶的是，他们说凯撒宫拥有最好的基本策略游戏：双副牌，任意两张牌加倍，庄家在软17点停牌，以及延迟投降，赌场优势为0.13%。

根据斯坦福·黄（Stanford Wong）的《基础二十一点》（Basic Blackjack），如果第一张牌是A，玩家的优势为50.5%（第124页）。然而，你的问题可以改写为：“假设另一张牌不是10，那么A的点数是多少？”为了简单起见，我们用一副无限大的牌来计算黄的数字，如下所示：0.505 = (4/13)*1.5 + (9/13)*x，其中x是你想知道的点数。做一些简单的代数运算，我们得到x=28.5%。

(1) 这取决于庄家拿到黑杰克时会发生什么。如果玩家的损失保证不超过原始赌注，那么庄家是否拿第二张牌都无关紧要。如果玩家在加倍或分牌后仍将输掉全部赌注，而庄家拿到黑杰克，那么这对庄家有利。(2) 我不需要模拟这种情况，因为玩家的数量无关紧要。

这取决于牌组数量。我只在单副牌游戏中见过这条规则，所以我们假设只有一副牌。单副牌游戏中出现黑杰克的概率是 2*(4/52)*(16/51)=0.0483。假设玩家有黑杰克，而庄家没有黑杰克的概率是 1-2*(3/50)*(15/49) = 0.963265。因此，玩家有黑杰克而庄家没有黑杰克的概率是 0.046492。每次发生这种情况，赌场都会额外收取 0.3 个单位的佣金，赌场优势因此增加 0.3*0.046492 = 0.013948，约为 1.39%。这是一个巨大的增长，使得这款游戏成为拉斯维加斯最糟糕的黑杰克游戏。

实际上，黑杰克几乎每21手牌就会出现一次。更具体地说，在六副牌的游戏中，黑杰克出现的概率是2*(4/13)*(24/311) = 0.047489。额外的25美分价值0.25*0.047489 = 0.011872。除以2.50美元的赌注，玩家的预期值将增加0.004749。大多数庄家在软17点停牌或使用1或2副牌的游戏，其赌场优势都低于这个数字。所以，是的，你可以获得一些优势。假设六副牌，庄家在软17点停牌，基于每小时100手牌，玩家每小时的预期利润为16美分。

是的，这确实很坑爹，尤其是在明牌是10的情况下。这相当于买保险。这里的赌场在这种情况下总是提供“等额赌注”，如果你拒绝，庄家和其他玩家都会把你当傻子一样对待。然而，当庄家有一张A时，黑杰克的预期价值是1.04个单位，比你接受等额赌注的1.00个单位要好。所以，除非你擅长算牌，并且知道剩下的牌是10，否则永远不要接受等额赌注。我很高兴我的基本策略帮你赢了。

人们普遍误以为连续洗牌机在数学上等同于无限牌组游戏。其实不然。例如，如果第一张牌是 A，第二张牌是 A 的概率略小于 1/13，因为已经从牌盒中取出一张 A。正如我在二十一点附录 10中详细解释的那样，与切牌游戏相比，连续洗牌机实际上略微降低了赌场优势。然而，荷官从不停下来洗牌，所以你每小时会接触到更多手牌，因此预计每小时的损失也会更大。我非常怀疑 Mohegan Sun 是否允许提前投降，如果他们允许，玩家的优势将是 0.28%。假设你真的是指延迟投降，那么根据 Blackjack Edge 软件的计算，赌场优势恰好是 0.28%。

这使得赌场优势增加了1.39%！这是迄今为止拉斯维加斯最糟糕的二十一点游戏。

这是拉斯维加斯流行的新花招。许多赌场都挂着醒目的“单副牌”二十一点招牌。然而，在一个更小的招牌上，却写着“二十一点赔率 6 比 5”。除了 6 比 5 的规则外，赌场优势为 0.05%。然而，如果二十一点的赔率是 6 比 5，玩家将额外损失 1.39%，总赌场优势高达 1.44%。这是城里迄今为止最糟糕的二十一点游戏，我强烈建议你避免玩。

在7点牌局中，他们每小时可以发更多手牌。然而，每手牌的优势是一样的。我个人很讨厌这种7点牌桌。

从我的二十一点附录7中，我们可以看出，在单副牌游戏中，每去掉一张9，赌场优势就会增加0.20%。然而，如果你想作弊，最好去掉一张A，这会使赌场优势增加0.58%。如果你作为庄家加一张牌，你应该加一张5，这会使赌场优势增加0.80%。所以，对玩家来说最好的牌是A，对庄家来说最好的牌是5。

如果您不能加倍或分牌，那么赌场优势就会增加1.9%。这说明，如果您需要，应该随时准备好加倍或分牌的资金。

因为我们已经知道牌盒里有一张A被拿走了。这样一来，牌盒里剩下的牌就稍微重了10点。牌盒里10点的比例越大，保险投注赢的可能性就越大。牌盒越少，这种效果就越明显。投保20点（A/9除外）会增加保险投注的赌场优势，因为牌盒里少了两张10点。

这可是个傻瓜式的赌注。庄家爆牌的可能性最大的是牌面朝上6点。然而，即使如此，庄家爆牌的概率也只有42%，具体多少取决于具体规则，而赌场优势只有16%。

多点牌二十一点的策略与常规二十一点相同。如果点数为 16，而点数为 8，则停牌，输光的几率会更低。然而，安全的做法并不总是正确的。要牌会增加赢得两手牌或三手牌的几率。可以把它想象成连续玩三手相同的牌。适合一手牌的策略也适合三手牌，或者任何数量的牌。

在六副牌的游戏中，拿到同花黑杰克的概率是：花色数量 * 特定花色的A数量 * 特定花色的十位数 / 312 种组合中的两张牌组合数 = 4*6*24/组合(312,2) = 576/48516 = 1.19%。我假设黑杰克平局是平局，所以当庄家没有黑杰克时，拿到同花黑杰克的概率是 1.13%。如果庄家有 1.13% 的概率额外获得半个单位，赌场优势就会降低 0.57%。在这种情况下，赌场优势从 0.62% 降至 0.05%！

感谢您的赞赏。与多玩家视频扑克类似，假设规则相同，多玩家二十一点的赌场优势与常规二十一点相同。如果玩家拿到二十一点，他三手牌都能赢。但是，如果玩家拿到16点，他三手牌都必须跟注。总的来说，一切都平衡了。

在切牌游戏中，答案是否定的。然而，在庄家每副牌恰好发 x 手牌的游戏中，答案可能是肯定的。原因很难解释。更多信息，请参阅我的二十一点附录 10 。

我在蒙特利尔的赌场也见过这条规则。没错，这的确是玩家串通的好机会，坐在座位上的玩家下小注，然后为了后面的大注玩家做出牺牲。Stanford Wong 的《基础二十一点》一书对这个话题进行了深入探讨。分牌策略有很多变化，例如，坐在座位上的玩家应该始终分牌，而后面的玩家应该在牌面朝4到6时两手都出牌，否则只出一手。使用 Wong 的完整策略可以将赌场优势降低 0.2%。

无论切掉多少副牌，双层牌游戏的赌场优势都是一样的。许多荷官错误地声称，切掉一半的双层牌游戏的胜率与单层牌游戏相同。事实并非如此。除非你把切牌的位置也算进去，否则切牌的位置没有任何区别。

只要双方都同意，赌场就不太可能阻止你。在某些情况下，这可能不太实际，因为玩家可能想拿超过3张牌。然而，在10对4的情况下，玩家不应该拿第四张牌，因此这是一个好主意。虽然有点不切实际，但如果双方能商定价格，你也可以主动提出买下玩家的牌，然后自己出牌。我的二十一点附录9显示了所有牌的公平价值。例如，假设另一位玩家拿到了黑杰克，而庄家拿到了一张A。大多数玩家会接受等额的赌注。你可以给该玩家提供高于等额的赌注，但低于103.8%，然后自己出牌，这样就可以赚钱。但是，不要把这个提议扩展到算牌者身上。

谢谢你的赞美。假设庄家拿到软17点，你在双牌游戏中使用4-8牌策略会增加0.012%的赌场优势。而在六牌游戏中使用双牌策略则会增加0.008%的赌场优势。为了进一步探讨这个问题，我想到一种更极端的情况：在单牌游戏中，庄家拿到软17点时停牌，而你也使用4-8牌策略。在这种情况下，错误的基本策略会增加0.038%的赌场优势。

我以前从未听说过这条规则。根据我的分析，允许分牌后加倍会使赌场优势降低0.08%。然而，与分牌到四手牌相比，不允许重新分牌任何一对会使赌场优势增加0.06%。因此，两条规则结合起来会使赌场优势降低0.02%。以下是分牌后何时加倍的基本策略，假设牌堆中有4到8副牌，并且庄家在软17点停牌：

软 12 至软 16：对任何牌加倍
软 17：对 2 至 9 的牌加倍
软 18：3 比 6 时加倍
软19到21：永不加倍

谢谢你的赞美。我好像之前在某个地方回答过这个问题，但允许玩家在分牌A上加倍，会让玩家的预期值额外增加0.08%。这远不及玩家在黑杰克上以6比5输掉1.39%的预期值。

是的，我理解这个问题的意思是，庄家可以在第二张牌发到分牌A之后加倍。如果玩家可以单独用每张A加倍，那么赌场优势就会降低0.21%（基于无限牌堆）。如果只有一张A，玩家应该选择在庄家任何明牌的情况下加倍。

这规则太棒了！只要你投降输掉3美元赌注的三分之一，就能增加2.25%的预期回报。你没告诉我其他规则，但如果我们假设投降规则之前的庄家优势为0.5%，那么之后的玩家优势就是1.75%。以下是六副牌游戏中你应该投降的牌型（软17点要牌或停牌都无所谓）。

• 玩家 6 对抗 10。
• 玩家 12 或 13 对抗庄家 9、10、A。
• 玩家 14 或 17 对抗庄家 8、9、10 或 A。
• 玩家 15 或 16 对抗庄家 7、8、9、10 或 A。

通常情况下，唯一一手牌是8.8对10，并且你通常会选择投降。这个建议只适用于3美元的下注。随着奇数下注的增加，投降的价值会逐渐降低。

这真是个好机会。假设有六副牌，庄家拿到黑杰克的概率是 2*(4/13)*(24/311)*(1-2*(95/310)*(23/309)) = 4.53%。所以每次黑杰克下注一半，价值 2.27%。假设庄家优势为 0.5%，那么玩家优势就是 1.77%。策略和常规黑杰克一样。可惜我错过了。

不允许分牌A，会使庄家优势增加0.18%。只有牌面为6时才应该加倍，否则要牌。

是的！如果你把七算作-12，其他牌算作+1，那么当真实点数（流水点数除以剩余牌堆）达到或超过5点时，边注的赔率就会向玩家倾斜。根据我在六副牌游戏中的模拟，在没有三张牌保证的情况下，渗透率为75%，真实点数达到或超过5点的概率为23.2%，此时玩家的平均优势为27.3%。在有三张牌保证的游戏中，平均优势则上升到29.1%。

根据我的计算，在最佳策略下，这将使玩家获得约 8.8% 的优势。在大多数情况下，最佳策略与双重曝光策略相同。但是，如果你认为庄家会再次亮出底牌，我建议你不要让对方知道你的底牌，也不要做出通常看起来很荒谬的出牌（比如在 20 点的情况下拿到 19 点）。

不分割将使玩家损失 0.58%。
不加倍会使玩家损失 1.47%。
不分牌也不加倍会使玩家损失 1.91%。

是的。在内华达州，任何纸牌游戏的视频版本都必须使用公平洗牌的牌组进行发牌。换句话说，您应该能够预期与规则相同的现场游戏结果相同。因此，基本策略表也适用于视频二十一点。

[Bluejay 补充道：我见过的每一个视频二十一点游戏都只对自然牌支付等额的钱，这大大增加了赌场优势。]

斯坦福·黄（Stanford Wong）在其著作《基础二十一点》（Basic Blackjack）中给出了这样的基本策略，见表46。他还提到，1995年拉斯维加斯波旁街赌场（Bourbon Street casino）曾推出一项促销活动，每50分钟，荷官会亮出自己的两张牌，持续五手。据黄称，在此期间，玩家的优势约为10%。

当我发现赌场不公平时，我通常不会回去查看他们是否已经停止了游戏。有时，如果赌场要求我停止游戏，并且我觉得问题可能是意外，我才会这么做。以下是一个基于无限牌堆的基本策略，庄家在软17点时停牌并发出第二张牌。我所说的第二张牌是指，如果第三张牌，且只有第三张牌，足以让庄家破牌，那么这张牌就会被跳过，然后发出下一张牌，无论它是什么。否则，游戏继续正常进行。这种游戏的赌场优势为9.3%。我以前也请求过捐款，但收到的捐款很少，所以我就放弃了。现在，该网站已经完全靠广告收入维持运营了。

我的二十一点附录7可以用来近似解答这个问题。加一张A牌会让玩家的胜率增加0.005816/24 = 0.00024。去掉一张2牌会让玩家的胜率增加0.003875/24 = 0.000161。所以总效果是0.000404，也就是赌场优势降低0.04%。

不。如果分牌是正确的玩法，你应该每次都这么做，否则就永远不这么做。所以，如果你玩得正确，这条规则就毫无意义。

谢谢你的赞美。计算过程中有几个假设可能会导致细微的差异。例如，每手牌后是洗牌还是使用切牌？玩家使用的是完全依赖型基本策略还是组合依赖型基本策略？是否考虑了规则间的相互作用，还是计算器只是简单地将每条规则的影响相加？我的数据是基于使用完全依赖型基本策略的随机模拟得出的，这两种策略都对玩家不利，这可能是我的得分略高的原因。也可能是因为随机模拟中的样本量不足。尽管存在所有这些因素，我认为差异仍然可以忽略不计：每玩11,000手牌，只有一次下注。

不客气。这游戏挺有意思的。假设除了二十一点以外，其他牌型的赔率都是1比2，二十一点的赔率是13比2，我算出玩家优势是0.7%，假设有六副牌。以下是这款游戏的基本策略。

这取决于你的游戏行为。如果你玩得激进，总是押注一半的资金，你的优势可以非常接近10%，直到你的资金翻倍，或者在尝试中破产。我的建议是保持短线操作，要么赢大钱，要么输光所有钱，无论哪个先发生。

谢谢。如果你能保持比洞赛，你应该会经常投降。我的二十一点附录9很适合解决这类问题。比洞赛的价值大约只有牌面值的一半。所以，如果这手牌的预期值小于-1/3，你应该投降。假设庄家拿到软17，以下就是这些情况。

• 玩家 6 对阵 10-A
• 12号球员对阵9-A
• 13号球员对阵8-A
• 14号球员对阵8-A
• 15号球员对阵7-A
• 16号球员对阵7-A
• 17号球员对阵8-A
• 玩家 8,8 对阵 9-A

如果庄家在软 17 点上停牌，策略是一样的，只是玩家不会在 A 点上放弃 6 点。

我认为，在家庭游戏中，荷官应该制定宽松一些的规则。用苛刻的规则坑朋友可不是什么好事。如果你使用双副牌，我建议前两张牌加倍，分牌后加倍，庄家在软17点停牌。否则，遵循标准规则。这样一来，赌场优势只有0.19%。然而，如果玩家失误，赌场优势应该远不止于此。

1986年我去赫尔辛基的时候确实见过这些规则。当时我才20岁，我不好意思说我玩过这个游戏，因为在美国我还未成年，而且距离成为巫师还有好几年的时间。事实上，那应该是我玩过的第一场合法的二十一点游戏。当时，旁边就有一张单零轮盘赌桌。

我假设两种情况下庄家都会在软17点停牌。据我了解，瑞典允许分牌后加倍，但芬兰不允许。假设我在瑞典的赌场优势为5.99%，在芬兰的赌场优势为8.93%。以下是基本策略图表。

我觉得芬兰的规则很糟糕。我猜平局算输。平局打平根本没道理，这比赢要好。所以，如果平局输，赢了一半赔率，而黑杰克的赔率是11比2，那么赌场优势就是51%！

圣经里不是有一条戒律禁止偷窃吗？我算了一下，这个游戏的庄家优势是9.3%（哎哟！）。以下是针对这种“平局输掉二十一点”变体的适用基本策略。请参阅第110栏，了解玩家在软牌上可以加倍的版本。

谢谢。从314张牌的牌盒中发出的两张牌中至少有一张百搭牌的概率是1-( combin (312,2)/combin(314,2)) = 1.27%。因此，将普通牌型变成自动赢家的概率是1.27%。假设普通牌型的预期值为-0.005，那么第一条规则的值为0.0127*(1-(-0.005)) = 1.28%。您可以从我的二十一点部分看到，五张查理规则的价值为1.46%。假设每手牌后都会洗牌，或者您被迫平注，那么作为玩家，如果可以选择，我会选择五张查理规则。然而，百搭牌规则很容易被进一步利用。牌盒中百搭牌与普通牌的比例越大，您就应该下注越多。有了至少 50% 的甲板穿透率，这应该足以使其成为更好的规则。

哇！根据我的计算，这会导致玩家优势达到 6.4%。我假设这条规则在加倍和分牌后也适用。以下是该规则的基本策略。

一般来说，如果你的16点牌中至少有一张4或5，那么赔率通常有利于停牌。这显然是因为4或5会让你得到20或21点，而剩下的牌堆里至少少了一张。16点对10点的胜负是如此微妙，以至于这种效应可能会对游戏结果产生影响。在两副牌的游戏中，我证明遵循45规则可以将赌场优势降低0.015%。而在六副牌的游戏中，它只能将赌场优势降低0.003%。

正如我的二十一点部分所示，二十一点的2比1赔率价值2.27%，三张牌加倍的赔率价值0.23%。除此之外，规则看起来很标准。综合考虑，二十一点游戏中的庄家优势是玩家优势的2.1%。掷骰子游戏中，4点或10点获胜的概率是(6/36)×(3/9) = 5.56%。每次出现这种情况，你都会获得一个额外的单位，因此价值5.56%。通常情况下，来注的庄家优势是1.41%，因此，根据此规则，玩家优势总体为4.15%。所以我同意掷骰子是更好的游戏。

假设有六副牌，抽到同花黑杰克的概率为 4×6×24/combin(312,2) = 1.19%。因此，每手牌的 25 美元奖金价值为 25×0.0119 美元 = 0.2968 美元。抽到同花 7-7-7 的概率为 4 × combin (6,3)/combin(312,3) = 0.000015957。因此，抽到 100 美元的价值为 0.0016 美元。抽到同花 6-7-8 的概率为 4×6 ³ /combin(312,3) = 0.00017234。因此，抽到 100 美元的价值为 0.0172 美元。抽到同花黑桃 A 和 J 的概率为 6×6/combin(312,2) = 0.0007420。所以，额外加100美元，价值0.0928美元（玩家已经因为同花黑杰克获得了25美元）。加起来，奖金价值11.25美分。所以，这远远不足以弥补50美分的佣金。

gamblingtools.net (www.gamblingtools.net/bj/ppbj.html) 上的二十一点计算器非常适合这类游戏。现在你只需要让赌场允许你在赌桌上使用电脑即可。

我读到这些规则时，它们如下：

• 1副甲板
• 庄家拿到软17
• 仅限 9 至 11 点双倍
• 允许分牌后加倍（遵守 9 比 11 规则）
• 不投降
• 二十一点赔率为 3 比 2
• 发牌人总是偷看二十一点

这是基本策略。

根据这些规则，赌场优势为 0.16%。

假设有六副牌，你的牌与庄家的明牌相同但不同点的概率为 (77/311)*(234/310) = 18.69%。你的两张牌与庄家的明牌相同但不同点的概率为 (77/311)*(76/310) = 6.07%。从我的二十一点附录4中，我们可以看到二十一点赢的概率为42.39%，输的概率为49.10%。赢的概率比输的概率高出42.39%/(42.39%+49.10%) = 46.33%。因此，一个行动筹码的价值约为面值的46.33%。本次促销活动的价值为46.33%*(18.69%*$5+6.07%*$10) = 0.7142，或每手牌约0.71美元。 5美元二十一点赌注的预期损失约为3美分。根据我的二十一点附录8，我们看到超过13点赌注的赌场优势为6.55%，因此5美元赌注的预期损失为5美元*0.0655 = 0.3275。因此，由于赌场优势，两笔赌注的预期损失约为36美分，预期收益为71美分，每对赌注的净收益为35美分。

这取决于具体的规则，但通常赔率较高，因为二十一点的通用规则是只赔等额。我在Suncoast赌场查了一下，他们的规则如下：一副牌，庄家在软17点停牌，二十一点赔等额，允许后期投降，玩家只能在10点或11点加倍，不允许分牌后加倍，分牌的A牌每张得一张牌，只允许分牌一次，六张牌查理，庄家必须在六张牌时停牌。这款游戏的赌场优势为2.39%。

我的二十一点附录4显示，假设遵循大西洋城规则，二十一点净赢、净输和平局的概率分别为40.59%、42.69%和12.44%。不计平局，赢的概率为40.59%/(40.59%+46.97%) = 46.36%。跳过平局，连续赢三局的概率为0.4636 ^÷3 = 9.96%。假设有六副牌，2比1的二十一点赔率额外价值0.02267。因此，玩家将获得0.0996*0.02267 = 0.002258。赌场优势通常高于此，但这已经是一个不错的降低。所有这些都假设你进行平注。如果您可以在“火热”牌上投入更多赌注，您就可以以 1.5% 到 2.0% 的庄家优势击败它们，具体取决于具体规则。

我指出，这条规则对玩家来说价值0.026%。尽管面对庄家2-7的牌，玩家有打出7,7的动机，但玩家仍然应该遵循基本策略，分牌。

先是庄家赢平局，现在又这样。芬兰的二十一点规则真是奇葩到爆，简直是世界第一。以下是你的根本策略。

假设有六副牌，没有庄家底牌，庄家在软 17 点停牌，不投降，允许分牌后加倍，并且允许重新分牌 A，我的庄家优势为 1.86%。

根据唐·施莱辛格 (Don Schlesinger) 的《黑杰克攻击》中著名的“Illustrious 18”表，从通过依赖点数的策略变化获得的价值来看，保险是算牌者最有价值的牌。当真实点数为 +3 或更多时，购买保险的价值可为玩家的整体优势增加 0.117%，基于高低点数，范围从 1 到 8。但是，这还不到策略变化带来总优势的一半。只看前 18 种依赖点数的打法（Illustrious 18）加上前 4 种依赖点数的投降（Fab Four），算牌者的总价值为 0.469%。因此，正确的保险仅占策略变化价值的 25%。一个好的算牌者会通过在好的点数下注更多来获得另外 1% 的收益。因此，取消保险选项只会使点数的总价值减少约 8%。在英国，这个数字会略低，因为你仍然可以用黑杰克投保。优势数字比较粗略，取决于很多因素。所有退保偏差的价值与保险偏差的价值大致相同。

为了其他读者的利益，二十一点规则如下。

• 8副甲板
• 庄家在软 17 点停牌
• 发牌人总是偷看二十一点
• 仅限硬 8 至 11 的双倍
• 允许分牌后加倍
• 每手牌后洗牌
• A 牌不可拆分。其他所有相同大小的牌只能拆分一次。
• 同花二十一点赔率为 2 比 1
• 5 张牌 21 点自动获胜，赔率为 2 比 1

根据这些规则，我的赌场优势是0.02%。以下是基本策略。

至于其他游戏，百家乐中庄家投注的佣金为2.75%，赌场优势为0.03%。轮盘赌和视频扑克的赌场优势为零。

二十一点、百家乐和轮盘赌的投注限额为 5 至 50 英镑，视频扑克的投币额为 1 英镑，最高投注额为 5 个硬币。

谢谢，不客气。是的，一般来说，规则越好，最低投注额就越高。

在六副牌的牌盒中，出现黑杰克的概率为 2 × (6/312) × (12/311) = 0.001484。我假设如果庄家也拿到黑杰克，那么这手牌就是平局。也就是说，假设玩家拿到了黑杰克，而庄家没拿到的概率为 1 - 2 × (23/310) × (95/309) = 0.954379。因此，赢得黑杰克的概率为 0.001484 × 0.954379 = 0.001416。每当出现这种情况时，额外 8.5 个单位的价值为 8.5* 0.001416 = 1.2039%。假设拉斯维加斯大道的规则较为宽松，赌场优势为0.28% ，那么按照 10 比 1 规则，玩家优势为 0.92%。

根据我对拉斯维加斯二十一点规则的调查，这款游戏的赌场优势为 1.30% 或 1.33%，具体取决于牌的数量是五副还是八副。任何二十一点赔率 3 比 2 的游戏中，胜率都会更高。如果你玩这款游戏（其实你不应该玩），你仍然应该始终持有二十一点。我个人认为，招牌上“世界上最自由的二十一点”的宣传是虚假广告。

您提到的游戏是 Shufflemaster 为其 TMS-300 系列游戏开发的。它在数学上等同于手牌游戏。应该使用常规的基本策略。在宾夕法尼亚州，为了满足博彩法规，每位玩家使用单独的牌盒，这样一位玩家的行动就不会影响其他玩家。在其他所有州，都使用单牌盒。Shufflemaster 告诉我，以下规则适用于所有单位。

7 张牌的查理。
允许分牌后加倍。
允许延迟投降。
玩家只能分牌一次。
分开的 A 牌每人得一张牌。
在六副牌游戏中，牌盒穿透2/3后洗牌。洗牌时间不通知玩家。在单副牌游戏中，每局牌后洗牌。

下表显示了可配置规则和每个变体下的庄家优势，假设完全依赖的基本策略。

哎呀！不允许分牌A会让玩家损失0.18%。根据完全依赖基本策略和切牌游戏，这些规则下的赌场优势总体为0.81%。

为了其他读者的利益，完整的规则如下：

• 单层。
• 庄家在软 17 点时停牌。
• 赢了二十一点，赔付等额的钱。
• 玩家可以将前两张牌加倍。
• 分牌后不加倍。
• 玩家可以重新分成四手牌，包括 A。
• 不抽牌来分牌 A。
• 不投降。
• 六张牌查理（未爆破六张牌的玩家自动获胜）。
• 每手牌结束后都会洗牌。
• 如果游戏中的牌用完了，则所有未爆牌的玩家都会自动获胜。

使用全额依赖型基本策略的赌场优势为2.13%。我进行了一个7人模拟游戏，使用全额依赖型基本策略，平均每轮使用牌数为21.65张，标准差为2.72张。在近1.9亿轮游戏中，最多使用牌数为42张，共发生7次。

在我看来，即使计算机完美地运用基于牌型的策略，玩家实际上也永远看不到最后一张牌。根据你玩牌过程中看到的所有牌，你可以使用基于牌型的策略来进一步降低赌场优势。然而，一开始就背负着2.13%的赌场优势，无论你多么努力，你都永远无法接近收支平衡。

我假设玩家必须支付这50美分。我的二十一点赌场优势计算器显示，根据这些规则，不含税的赌场优势为0.36%。再加上0.5/10 = 5%。所以总赌场优势是5.36%。在我看来，仅凭原则，玩家就应该拒绝玩这个游戏。

是的，确实如此。Shufflemaster 告诉我，为了符合老虎机的定义，一个玩家的行为不能影响其他玩家，就像真人二十一点一样。为了规避这一规则，每位玩家和庄家都会从一副独特的六副牌盒中发牌。所以，你掌握着自己的命运，而不是其他玩家或庄家的命运。我知道这款游戏是用六副牌盒设计的。根据我的模拟，为玩家和庄家使用不同的牌盒会使赌场优势增加 0.06%。

谢谢你的赞美。我假设庄家拿到软17，并在允许分牌后加倍。根据Don Schlesinger在《Blackjack Attack》一书中的D17表，每副牌去掉一张10会使赌场优势增加0.5512%。如果用六副牌来算，除以6，赌场优势就会增加0.09%。

洛杉矶县的每家赌场似乎都有不同的二十一点规则，而且经常变化。这些规则通常很难分析。恐怕我已经采取了一项非正式的政策，不再花时间在洛杉矶怪异的二十一点场景上。

谢谢，我已记录。通常情况下，在Palace Station规则（双副牌，庄家拿到软17，分牌后加倍，再分牌A）下，赌场优势为0.40%。这条规则将赌场优势提升至0.86%。下表显示了这条规则带来的赌场优势的提升。

基于六副牌，我证明，如果玩家持有21点，而对手是黑杰克，赌场优势会降低0.37%。如果玩家持有黑杰克，赔率为3比2，赌场优势会降低0.32%。无需调整策略。

类似问题的答案可以用我的赌场优势计算器来找到，只需修改一条规则，并记录对赌场优势的影响即可。通常我会让你这么做，但今天我比较耐心，所以就给你：

6副牌，庄家在软17点停牌：0.0726%
8副牌，庄家在软17点停牌：0.0758%
6副牌，庄家拿到软17点：0.0882%
8副牌，庄家拿到软17点：0.0916%

除非你算牌，否则你应该尽可能多地重新分牌，在六副牌的牌盒中最多可以分24手牌。无限次重新分牌的价值与最多三次相比微不足道。这取决于是否允许分牌后加倍，但无论如何，其价值远低于0.01%。

如果你下注 5 美元（不包括 50 美分的手续费），那么赌场优势就会增加 9.09%！增加额的一般公式是 c/(b+c)，其中 b 代表投注额，c 代表佣金。假设每小时玩 60 手牌，那么佣金将花费你每小时 30 美元（哎哟！）。

为了方便其他读者，俄克拉荷马州的赌场与洛杉矶地区的赌场类似，玩家轮流押庄。如果您有能力承担支付赌桌上所有其他赌注的风险，那么请务必这样做。如果还没轮到您押庄，就不要下注。

我认为，在那些配有大屏幕和魅力荷官的大型“桌王”（Table Master）机位上，你赢钱的几率最高。这类机位现在越来越容易找到，但我不清楚具体的名单。在低赌注赌场，你找到这类机位的几率会更高。有些赌场的二十一点赔率是3比2，而有些只有6比5。例如，里维埃拉赌场的机位规则如下：

• 6副牌（4副牌后洗牌）
• 二十一点赔率为 3 比 2
• 庄家拿到软 17
• 允许分牌后加倍
• 允许任意两张牌加倍
• 允许投降
• 只分成两只手
• 七张牌查理（未爆牌的 7 张牌自动获胜）
• 投注范围：2美元至200美元

根据这些规则，赌场优势为0.68%。如果您玩的是等额投注游戏，赌场优势将为1.4%到2.0%，具体取决于其他规则。请务必使用玩家卡来赢取赌场提供的任何现金、免费游戏或赠品。

下图展示了其中一种产品。

你拿到黑杰克的赔率是21比32。这相当于额外的1/42，也就是2.38%。在六副牌的游戏中，黑杰克获胜的概率是4.53%。所以，这相当于2.38% × 4.53% = 0.11%，这还不错。然而，我认为这不是一个很优雅的技巧。

假设每小时玩70手，赌场优势为0.64%，下注5美元，那么扣除手续费前的玩牌成本为5美元×70×0.0064=2.24美元。相比之下，20美元的手续费相当高。考虑到你每小时下注350美元，预期总损失为22.24美元，赌场优势为22.24美元/350美元=6.35%（哎哟！）。

这取决于其他规则，但假设六副牌且分牌后加倍是正常允许的，那么赌场优势只会增加0.39%。如果分牌后加倍通常不允许，那么赌场优势只会增加0.24%。这种情况实际上适用于Triple Shot游戏，由于它是单副牌游戏，我的赌场优势为0.33%。请记住，在二十一点游戏中，这些数字可能会有0.03%左右的误差，具体取决于分析方法。

这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。

大西洋城的标准规则是 6 副或 8 副牌，庄家在软 17 点停牌，分牌后允许加倍，不投降，不重新分牌 A，玩家只能分两次其他对子。然而，Resorts 也有一些遵循这些规则的牌桌，只不过庄家要了软 17 点。使用我的二十一点庄家优势计算器，假设有 8 副牌，如果庄家在软 17 点停牌，庄家优势为 0.46%，如果要牌，则为 0.67%。如果每手牌必须支付不可退还的费用，则庄家优势增加的一般公式是 f/(b+f)，其中 f 是费用，b 是初始赌注。在这样做时，我将庄家优势定义为预期损失与赌注和费用之和的比率。因此，下注 2 美元，庄家优势增加 0.25/2.25 = 11.11%。下注5美元时，涨幅为0.25/5.25 = 4.76%。我猜想，在这些牌桌上，庄家可能会拿到软17，这样一来，下注2美元时，赌场整体优势为11.78%，下注5美元时，赌场整体优势为5.43%。这比拉斯维加斯的6比5游戏或等额投注游戏要糟糕得多。不过，这比我在芬兰看到的平局输钱规则要好得多。

这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。

假设有六副牌，庄家在软17点停牌，玩家可以重新分牌，最多分到四手牌。每次基本策略变化的影响在于该手牌出现的概率以及出现错误打法的成本。我的二十一点附录9显示了每手牌出现的概率以及每种打法的预期价值。假设玩家选择要牌而不是分牌，对游戏预期价值的影响如下：

概率(8,8 vs A)×(EV(击中)-EV(拆分)) + 概率(8,8 vs 9)×(EV(击中)-EV(拆分)) + 概率(8,8 vs 10)×(EV(击中)-EV(拆分))
= 0.0003036 × (-0.513551 -(-0.364371)) + 0.0004404 × (-0.505707 -(-0.38995)) + 0.0016249 × (0.535361 -(-0. 475385))
= -0.019%。

因此，如果庄家拿到 9、10 或 A，而玩家拿到 8、8，赌场优势就会增加 0.019%，也就是说，每玩 5,300 手牌，赌场优势就会增加一次。如果玩家选择投降而不是拿牌，赌场优势就会降至 0.013%。所以，这并不是一个重大错误。相比之下，在六副牌的游戏中，如果玩家拿到“等额赌注”，而庄家拿到 A，赌场优势就会增加 0.014%。如果玩家对每张黑杰克和 20 都投保（这是一个常见的错误），那么错误成本就会跃升至 0.149%！

这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。

我指出，牌桌上每增加一名玩家（不包括您自己），该规则的赌场优势为 0.10%。根据我的二十一点庄家优势计算器，在考虑该规则或允许三张牌加倍的规则之前，赌场优势为 0.48%。三张或三张以上牌加倍的赌场优势为 0.23%。为了做出合理的推测，我们假设恰好三张牌加倍的赌场优势为 0.20%，将赌场优势降至 0.28%。考虑到 2-1 的二十一点规则，以下是根据包括您在内的所有玩家人数计算的赌场优势。

我表明规则组合具有 0.65% 的玩家优势！

最后提到的规则在澳门的法老宫也适用。不过，那里的牌局是收支平衡的，因为还有其他一些不好的规则，比如只有11点才加倍。我在澳门巫师的二十一点页面上有一个针对五张牌半赢规则的策略。

我知道。金神赌场（Mohegan Sun）将于7月15日早上6点开始，推出为期24小时的“三倍下注”促销活动。该活动适用于所有二十一点和西班牙21点赌桌，最高额外投注额为500美元。详情可在金神赌场的促销页面上查看。新闻编辑室之前有以下声明，但已被删除：

点数为 11 点，想加倍下注？7 月 15 日星期四，玩西班牙 21 点或二十一点的玩家，在 7 月 15 日上午 6:00 至 7 月 16 日上午 5:59 期间，将有资格进行三倍下注。玩家收到前两张牌后，可以进行额外下注，最高可达原赌注的三倍。所有赌桌均提供三倍下注，最高下注金额为 500 美元。标准加倍下注规则适用。

被移除的内容表示玩家可以加注四倍，因为总赌注将是初始赌注的四倍。可能是因为印刷错误而被移除。

我听说二十一点使用六副牌，软17点停牌，分牌后允许投降和加倍，但不允许再次分牌A。通常情况下，这些规则下的赌场优势是0.36%。我不确定玩家在分牌后是否允许加倍/三倍。以下是不同规则下的玩家优势：

• 玩家可以在前两张牌上加倍下注，分牌后加倍下注：1.39%
• 玩家可以在前两张牌上三倍下注，分牌后三倍下注：1.59%
• 玩家可以在前两张牌上加倍下注，分牌后加倍下注：3.20%
• 玩家可以在前两张牌上加注四倍，分牌后加注四倍：3.62%

任何收费的游戏（这在加州的纸牌赌场很常见）的赌场优势增量为 f/(f+b)，其中 f 是费用，b 是赌注。在这种情况下，我将赌场优势定义为玩家预期损失与赌注加费用之和的比率。因此，如果你的二十一点赌注为 2 美元，那么赌场优势增量为 0.25/2.25 = 11.11%。如果你下注 5 美元，那么赌场优势增量为 0.25/5.25 = 4.76%。

我的建议是，如果您无法承担最低 10 美元的费用以避免费用，那么可以玩视频二十一点或其他游戏。

www.pressofatlanticcity.com上有一篇关于此的文章。

斯坦福·黄（Stanford Wong）在他的著作《基础二十一点》（Basic Blackjack）中探讨了二十一点中的百搭牌。书中他指出，每副牌中每张百搭牌对玩家来说价值4.2%。因此，每副牌中半张百搭牌的价值为2.1%。书中还介绍了一种策略，根据你的其他牌以及庄家的明牌，决定将哪张牌作为百搭牌。

这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。

我假设有六副牌，庄家拿到软17，分牌后加倍，投降，然后重新分牌。如果不允许小牌加倍，那么我的玩家优势是4.9%。这是正确的策略。显然，这个策略可能会引发一些危险信号。

如果允许小额加倍，那么我采用以下策略可以获得最高9.4%的玩家优势。小额加倍时，尽量少下注，最好只加一分钱。我的9.4%是基于小额加倍下注的假设。实际上，大多数赌场都要求至少达到赌桌最低投注额才能加倍。

这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。

我指出，与最多分牌至四手牌相比，无限次重新分牌的价值，如果该规则适用于所有对子（包括A），则价值为0.05%；如果不包含A，则价值为0.02%。这个问题是在我的配套网站“拉斯维加斯巫师”（Wizard of Vegas）的论坛上提出并讨论的。