请问巫师 #416
一个游泳池里装满了盐水。一根软管以恒定的速率将淡水注入游泳池。当淡水流入时，水以相同的速率从另一端流出。当与游泳池体积相等的水量注入游泳池后，剩余的盐水比例是多少？
[剧透=答案]1/e = 36.7979% [/剧透]
这是我的解决方案（PDF）。
在一档游戏节目中，您将获得0至20美元的奖金，奖金将根据均匀且连续的分布随机确定。奖金发放后，您可以保留它，也可以支付1美元来抽取新的奖金。您可以根据需要多次执行此操作。
最佳策略是什么？遵循该策略的预期收益是多少？
设 x = 您将接受的最小值。
x 的平均值是 (20+x)/2。
您接受任何给定报价的概率是 (20-x)/20。
您将拒绝的平均报价数量是 1/((20-x)/20) = 20/(20-x)。
令 f(x) = 平均最终胜利 = (20+x)/2 - 20/(20-x)。
要找到最大胜利，当 f'(x)=0 时解出 x。
f'(x) = 1/2 - 20/(20-x)^2 = 0
20/(x^2 - 40x + 400) = 1/2
x^2 - 40x + 400 = 40
x^2 - 40x + 360 = 0
使用二次公式求解 x...
x = (40 - 4*sqrt(10))/2 = 20 - 2*sqrt(10) = 13.67544468。
这使得平均胜利 (20 + 13.67544468)/2 - 20/(20-13.67544468) =~ 14.675445。
[剧透]sqrt(3-x) = 3-x 2
解出 x。
[剧透=答案] x = -1, 2, (sqrt(13)-1)/2, -(sqrt(13)+1)/2 [/剧透]
[剧透=解决方案]计算两边的平方，得到 3-x = x 4 - 6x 2 + 9
f(x) = x 4 - 6x 2 + x + 6 = 0
接下来，使用有理根定理来找到 x 的一个因子。
可能的根是 x = +/- (1/1, 2/1, 3/1, 6/1)
如果 x=-1，则 f(x) = 0。所以 (x+1) 是一个因数。
x 4 - 6x 2 + x + 6 = (x+1)(x 3 - x 2 -5x + 6)
再次应用有理根定理，我们得到 x = +/- (1/1, 2/1, 3/1, 6/1) 的可能根。
经过反复试验，我们发现 x=2 是一个解。因此 (x-2) 是一个因式。
x 3 - x 2 -5x + 6 = (x-2)(x 2 + x + 3)
使用二次公式求解 x 2 + x + 3 = 0，我们得到 x = (-1 +/- sqrt(13))/2。
因此，所有解均为 x = -1, 2, (-1 + sqrt(13))/2, (-1 - sqrt(13))/2。
[剧透]