请问巫师 #415
上图中，数字代表四个正方形的面积。红色正方形的面积是多少？
首先，黄色方块对我们没有任何帮助。它只是个转移注意力的幌子，所以我们先忽略它。
接下来，考虑橙色正方形左侧的三角形，如下图所示。
BC = sqrt(16) = 4。
AB = sqrt(49) - sqrt(16) = 7-4 = 3。
根据勾股定理，AC 2 = 4 2 + 3 2 = 25。
AC = sqrt(25) = 5。
右边三个正方形的高度均为 sqrt(49) + sqrt(16) + sqrt(1) = 12。
红色正方形的边长与右边三个正方形的高度之比将等于AC与BC之比=5/4。
所以，红色正方形的边长为（5/4）*12 = 15。
因此，红色正方形的面积为15 2 = 225。
我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了类似的难题。
Mind Your Decisions YouTube 频道也有一个类似的谜题。
面积等于周长的最小矩形是多少？
设矩形的尺寸为 x 和 y。
已知：xy = 2x + 2y。
2y-xy=2x
y(2-x) = 2x
y=2x/(2-x)
设 f(x) = 矩形面积 = x*y =
x*2x/(2-x) = 2x 2 /(2-x)
要找到最小面积，请使用商法则求导：
f'(x) = 4x(2-x) + 2x 2 / (2-x) 2 = 0
4x(2-x) + 2x 2 = 0
8x = 2x 2
x=4
如果 x=4，y = 2*4/(4-2) = 8/2 = 4。
让我们求解接近 4 的其他 x 值的 y。
如果 x=3，y=6，面积为 18
如果 x=5，则 y = 10/3，面积为 16+(2/3)。
很容易看出，在 x=4 和 y=4 处的解最小。因此，最小可能的矩形是 4x4 = 16。
[/spoiler]在赌场抽奖中，彩票持有者旁边的转鼓中放有以下数量的彩票：
- 玩家 1 持有 6 张票。
- 玩家 2 持有 2 张票。
- 玩家 3 持有 1 张票。
- 其他 21 名玩家持有 21 张票。
赌场将抽取五张彩票，每张彩票对应五个相同的奖金。每位玩家只能中奖一次。如果抽到的彩票是由已经中奖的玩家抽取的，该彩票将被丢弃，并重新抽取一张新的彩票。
玩家1、2和3同意根据各自在抽奖中的权益分配奖金。如何公平分配？
为了简化这个问题，我假设如果已经中奖的玩家再次抽奖，该奖金将作废。否则，计算起来会非常复杂，几乎需要进行随机模拟。
持有 n 张票的玩家没有赢得奖品的概率是 combin(30-n,5)/combin(30,n)。
因此玩家 A 赢得奖品的概率为 1-combin(24,5)/combin(30,5) = 0.701739。
因此玩家 B 赢得奖品的概率为 1-combin(28,5)/combin(30,5) = 0.310345。
因此玩家 C 赢得奖品的概率为 1-combin(29,5)/combin(30,5) = 0.166667。
这些概率之和为1.178750。这就是该队预期获胜的场次。
在我看来，每个玩家应该获得的份额等于他赢得奖品的概率除以该组预期的总获胜数。
A 获得 0.701739/1.178750 = 0.595324 股。
B 获得 0.310345/1.178750 = 0.263283 股。
C 获得 0.166667/1.178750 = 0.141393 份额。
我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。