请问巫师 #414

有人向我挑战，要我打以下的赌。我们会掷一对六面骰子，直到以下两个事件之一发生：

如果两个7先出现，我就能赢，而且赔率相同。既然7是最有可能出现的，那我难道没有优势吗？不过，我怀疑这里面有陷阱。谁占了优势？

anonymous

对方占了上风。以下是掷出每个点数的概率：

实现概率为 p 的事件的平均等待时间为 1/p。

掷出总数 7 的概率是 1/6。因此，平均需要掷 6 次才能掷出总数 7。如果掷出两个 7，则平均需要掷 12 次。

掷出总数 6 或 8 的概率为 (5/36) + (5/36) = 10/36。注意，6 和 8 的出现顺序可以任意。因此，掷出 6 或 8 的概率为 1/(10/36) = 36/10 = 3.6。

一旦第一个总数在6和8之间，获得另一个的概率是5/36。等待第二个事件的时间是1/(5/36) = 36/5 = 7.2次。

因此，掷出6和8（无论顺序如何）的预期赔率为3.6 + 7.2 = 10.8。这小于掷出两个7的预期赔率12。因此，掷出6和8是该赌注中更好的选择。

掷一个二十面体（20面骰子）。玩家可以选择保留掷出的美元数，也可以支付1美元再次掷骰子。玩家可以无限次重复此操作。玩这个游戏的正确策略和合理价格是什么？

anonymous

假设玩家能接受的最低掷点数是 r。

一旦实现该目标，平均结果将是 (20+r)/2。

任何一次掷骰子达到目标的概率是 (21-r)/20。因此，达到目标的预期掷骰子次数是其倒数，即 20/(21-r)。

因此，如果目标是掷出 r，预期赢利为 (20+r)/2 - 20/(21-r)。以下是一些 r 合理取值对应的预期赢利。

因此，我们认为预期赢利最大化为 15.17 美元，目标是掷出 15 或更高。

本题改编自 Presh Talwalkar 所著《数学谜题》第三卷第22 题。书中使用了一个 100 面的骰子。

在网球比赛中，假设发球方赢得任意一分的概率为 p。如果比分是 Ad-Out、Deuce 或 Ad-In，发球方赢得比赛的概率是多少？

anonymous

为了方便其他读者理解，网球比赛中，选手必须赢两分才能赢得比赛。落后一分称为“Ad Out”（出局），领先一分称为“Ad In”（入局）。

让我们创建一些术语。

从这里我们可以形成一个马尔可夫链，如下所示：

让我们尝试求解 b，将上面的第一个和第三个方程代入第二个方程中：

b = p(p + (1-p)b) + (1-p)pb

b = p ² + pb - p ² b + pb - p ² b

一些简单的代数运算可以得出...

b = ^p² /(1-2p+ ^2p² )

从那里可以很容易地使用第一个和第三个公式来找到 a 和 c。

下表显示了 p 在不同值时三个可能阶段的概率。