请问巫师 #406
假设没有庄家优势，那么 Crash 游戏中崩溃的平均时间是多少？
为了方便其他读者， Crash是一款在互联网赌场（尤其是基于加密货币的赌场）中很受欢迎的游戏。游戏的玩法是玩家下注，然后一架飞机或火箭从地面起飞。每隔几分之一秒，高度就会上升一小段。玩家可以随时弹射，并根据物体的高度赢得奖励。然而，随着物体每上升一分之一秒，它也可能坠毁。如果物体在玩家弹射之前坠毁，玩家就输了。
也就是说，假设没有庄家优势，达到的平均高度是 1/ln(2) =~ 1.442695041。
在奥马哈和德州扑克中拿到同花大顺的概率是多少？
为了其他读者的利益，这里列出了可以在两种游戏中使用的卡片。
- 德州扑克——玩家可以组成由两张底牌和五张公共牌组成的最佳牌型。玩家可以使用这七张牌中的任意五张。
- 奥马哈 - 玩家必须使用四张底牌中的两张以及五张公共牌中的三张。
使用 Excel 公式，得出每场比赛的概率。
- 德州扑克 -- 4*COMBIN(47,2)/COMBIN(52,7) =~ 30,940 中的 1
- 奥马哈 -- 4*COMBIN(5,2)*COMBIN(47,2)*COMBIN(45,2)/(COMBIN(52,4)*COMBIN(48,5)) =~ 10,829 中的 1
您对游戏节目 Lucky 13 中的策略有什么建议？
为了其他读者的利益，这里制定了以下规则。
- 玩家将被问到 13 个是非题。
- 之后，玩家需要选择一个他认为自己答对的题目数范围。如果答案在这个范围内，他将根据下表获胜。
- 如果玩家正确猜出他答对了多少，还可以获得 25,000 美元的奖金。
- 主持人沙奎尔可以随时提供投降价值。
图片来源： ABC出版社
| 范围校正 | 赢 |
| 十三 | 100万美元 |
| 10到12 | 10万美元 |
| 7到9 | 25,000美元 |
| 4至6 | 15,000美元 |
| 1 至 3 | 5,000 美元 |
下表显示了最大化预期值的策略。例如，如果玩家认为自己能答对9.5，那么他应该选择10到12的范围。虽然9.5不在该范围内，但预期值大于7到9的范围，因为获胜概率是7到9的4倍。
| 估计正确 | 最佳范围 |
| 10.62至13 | 13美元 |
| 7.66至10.62 | 10到12 |
| 5.83至7.66 | 7到9 |
| 2.54至5.83 | 4至6 |
| 0 至 2.54 | 1 至 3 |
至于退约报价，我每次看节目的时候，报价都很低，大概只有预期价值的一半。我建议直接对奥尼尔说“不”。
在这段 YouTube 视频中，Matt Parker 声称横向宾果游戏比纵向宾果游戏更容易中奖。这是正确的吗？
在他的视频中，马特验证了亚瑟·本杰明 (Arthur Benjamin)、约瑟夫·基森韦瑟 (Joseph Kisenwether) 和本·韦斯 (Ben Weiss) 在文章《宾果悖论》中提出的这个问题的一个要素。
假设一个没有空位且没有对角线获胜的简化游戏，他们都认为，如果抽球直到 (1) 每列至少有一个球或 (2) 一列有五个球，以下是哪个情况首先发生的概率。
- 每列至少有一个球（可能的水平宾果）= 0.751779。
- 任意一列中抽出五个球（可能出现垂直宾果）= 0.248221。
我算过账，也同意这个说法。不过，即使有可能出现宾果，也并不意味着在普通游戏中一定会出现宾果。
在我开始之前，只有一张宾果卡，第一个宾果是水平或垂直的概率正好是 50/50。
然而，如果牌的数量有限，并且只有获胜的牌才算数，那么情况就不是这样了。
为了便于分析，我假设每张可能的宾果牌都恰好有一张。也就是说，宾果牌的总数是 6,076,911,214,672,420,000,000,000,000 张。
如果多张牌同时形成宾果，则每次获胜的次数均等。
假设先出现垂直宾果，我给出任意一张牌获胜的概率是 1/3003 =~ 0.000333。假设先出现水平宾果，我给出任意一张牌获胜的概率是 1/8294 =~ 0.000121。
下表列出了第一个可能的宾果牌类型以及任何给定牌型出现宾果牌的概率。右列显示，假设有人叫出宾果牌，则宾果牌为水平方向的概率为 52.3%。
| 宾果 | 可能概率 | 随机卡获胜概率 | 产品 | 比率 |
| 水平的 | 0.751779 | 0.000121 | 0.000091 | 0.523040 |
| 垂直的 | 0.248221 | 0.000333 | 0.000083 | 0.476960 |
| 全部的 | 1.000000 | 1.000000 |
我知道我的 52.3% 与论文中引用的 2 比 1 的比例不同，但这是基于对 1,000 张纸牌游戏的模拟，我不知道他们如何同时计算多个宾果游戏。
我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。