请问巫师 #405
x 2 - 3 = sqrt(x+3)。解出 x。
令 y = 两个表达式。因此，我们有：
- y = x^2 - 3
- y = 平方根（x + 3）
注意两个表达式中的 3。让我们将两个等式都表示为一边带 3。首先我们有：
3 = x^2 - y
接下来，让我们对上面的第二个方程求平方：
y^2 = x+3
3 = y^2 - x
让我们将 3 的两个表达式相等：
x^2 - y = y^2 - x
让我们重新排列一下：
x^2 - y^2 + x - y = 0
(x+y)(xy) + x - y = 0
(xy)(x+y+1) = 0
首先让我们检查 xy = 0：
xy = 0
让我们用 y = x^2 - 3 代替 y。
x - (x^2 - 3) = 0
x^2 - x - 3 = 0
使用勾股定理公式：
x = (1 +/- 平方根(1 + 12)/2
x = (1 + sqrt(13)/2 & x = (1 - sqrt(13)/2
其次，让我们检查 x+y+1 = 0：
让我们用 y = x^2 - 3 代替 y。
x + (x^2 - 3) + 1 = 0
x + x^2 - 3 + 1 = 0
x^2 + x - 2 = 0
使用勾股定理公式：
x = (-1 +/- 平方根(1 + 8)/2
x = (-1 +/- 3)/2
x = 1, x = -2
因此，我们的四个答案是：
- x = 1
- x = -2
- x = (1 + sqrt(13)/2 =~ 2.302776
- x = (1 - sqrt(13)/2 =~ -1.302776
感谢 SyberMath 的 YouTube 视频“求解 x^2-3=sqrt(x+3)”提供了这个解题方法。请跳转至 6:28 处查看此方法。
半径为 1 的圆外一点可以看到圆周的 1/3。该点距离圆有多远？
[spoiler=解决方案] 考虑此图表以获得解决方案。
考虑三角形ADE。我们知道：
- 角ADE为90度，因为AD与圆相切。
- 角 AED 为 60 度，因为 E 处的绿色三角形角为 120 度（整个 360 度的 1/3）。
- 角 EAD 必定是三角形 ADE 的另外 30 度。
这是经典的 30-60-90 三角形。我们都知道，这个三角形的边长分别与 1、2 和 sqrt(3) 成比例。
在这种情况下，ED = 1，正如问题中给出的。AE 是该距离的两倍，即 2。
2 给出的是该点到圆心的距离。我们被要求计算该点到圆上最近点的距离。因此，我们减去半径。因此，答案是 2-1 = 1。
[剧透]
鲍勃和汤姆正走过一座火车桥，距离出发点还有三分之一的路程。这时，他们听到身后驶来一列火车。两人都能以每小时5英里的速度奔跑。鲍勃转身，汤姆向前跑去。两人都与火车擦肩而过，只差不到一秒。火车的速度是多少？
记住距离 = 速率 * 时间，我们将其表示为 d = r * t
重写为：t = d/r。
鲍勃和火车在桥的起点相遇的时间是相同的：
让我们：
- x = 火车最初与桥梁起点之间的距离。
- r = 火车速度
首先，我们来看看跑回来的鲍勃。我们来表示一下鲍勃和火车在桥头相遇的时间 t：
鲍勃：t = (1/3)/5
训练：t = x/r
将 t 的两个表达式相等：
(1/3)/5 = x/rr/3 = 5倍
r = 15x
其次，我们来看看汤姆，他跑在前面。我们把汤姆和火车在桥头相遇的时间t表示为：
汤姆：t = (2/3)/5
训练：t = (1+x)/r
将 t 的两个表达式相等：
（2/3）/5 = （1 + x）/ r
2r/3 = 5(1+x)
2r = 15(1+x)
2r = 15 + 15x
此时我们有：
- r = 15x
- 2r = 15 + 15x
我们将第一个方程中 r 的表达式代入第二个方程中：
30倍=15+15倍
15x = 15
x = 1
回想一下，r = 15x。
因此，火车的速度为 15*1 = 15 英里/小时。