请问巫师 #403

有一条1米长的橡皮筋，一端有一只蚂蚁，它以每秒1厘米的速度向另一端移动。从蚂蚁开始移动开始，橡皮筋以每秒1米的速度膨胀。请问蚂蚁需要多长时间才能到达另一端？

anonymous

答案是 e ¹⁰⁰ – 1 =~ 26,881,171,418,161,400,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 秒。

直径为 1 厘米的圆上有一只蚂蚁。从时间 t=0 开始，蚂蚁以 1/(1+t) 厘米/秒的速度沿圆周移动。它转一圈需要多长时间？

Ace2

e^pi -1 =~ 22.140693 秒。

[剧透=解决方案]

蚂蚁可以覆盖π的距离。

计算总行驶距离的方法是将速度与时间积分。设答案为T。

从 0 到 T 的积分 1/(1+t) dt = pi。

积分后，我们得到：

ln(1+T) - ln(1+0) = π

ln(1+T) = π

1+T = e^pi

T = e^pi - 1

[/spoiler]

洗好的牌堆里，一张一张地翻开牌，直到出现第一张皇后。下一张牌更有可能是黑桃皇后还是黑桃国王？

anonymous

我承认我最初对这个问题的回答是错误的。

概率是一样的。

[剧透=解决方案]

下表显示了一副牌中任意位置出现第一张皇后，然后是黑桃皇后的概率。右下角单元格显示，第一张皇后之后的牌是黑桃皇后的概率为 0.019231 = 1/52。

位置第一任女王	可能性第一任女王	概率下一步黑桃Q	产品
1	0.076923	0.014706	0.001131
2	0.072398	0.001086	0.001086
3	0.068054	0.001042	0.001042
4	0.063888	0.000998	0.000998
5	0.059895	0.000956	0.000956
6	0.056072	0.000914	0.000914
7	0.052415	0.000874	0.000874
8	0.048920	0.000834	0.000834
9	0.045585	0.000795	0.000795
10	0.042405	0.000757	0.000757
11	0.039376	0.000720	0.000720
12	0.036495	0.000684	0.000684
十三	0.033758	0.000649	0.000649
14	0.031161	0.000615	0.000615
15	0.028701	0.000582	0.000582
16	0.026374	0.000549	0.000549
17	0.024176	0.000518	0.000518
18	0.022104	0.000488	0.000488
19	0.020153	0.000458	0.000458
20	0.018321	0.000429	0.000429
21	0.016604	0.000402	0.000402
22	0.014997	0.000375	0.000375
23	0.013497	0.000349	0.000349
24	0.012101	0.000324	0.000324
二十五	0.010804	0.000300	0.000300
二十六	0.009604	0.000277	0.000277
二十七	0.008496	0.000255	0.000255
二十八	0.007476	0.000234	0.000234
二十九	0.006542	0.000213	0.000213
三十	0.005688	0.000194	0.000194
31	0.004913	0.000175	0.000175
三十二	0.004211	0.000158	0.000158
33	0.003579	0.000141	0.000141
三十四	0.003014	0.000126	0.000126
三十五	0.002512	0.000111	0.000111
三十六	0.002069	0.000097	0.000097
三十七	0.001681	0.000084	0.000084
三十八	0.001345	0.000072	0.000072
三十九	0.001056	0.000061	0.000061
40	0.000813	0.000051	0.000051
41	0.000609	0.000042	0.000042
四十二	0.000443	0.000033	0.000033
43	0.000310	0.000026	0.000026
四十四	0.000207	0.000019	0.000019
45	0.000129	0.000014	0.000014
46	0.000074	0.000009	0.000009
四十七	0.000037	0.000006	0.000006
四十八	0.000015	0.000003	0.000003
49	0.000004	0.000001	0.000001
全部的	1.000000	0.019231	0.019231

下表显示了一副牌中任意位置出现第一张皇后牌，然后是黑桃 K 牌的概率。右下角单元格显示，第一张皇后牌之后的牌是黑桃 K 的概率为 0.019231 = 1/52。

位置第一任女王	可能性第一任女王	概率下一步黑桃Q	产品
1	0.076923	0.019231	0.001479
2	0.072398	0.019231	0.001392
3	0.068054	0.019231	0.001309
4	0.063888	0.019231	0.001229
5	0.059895	0.019231	0.001152
6	0.056072	0.019231	0.001078
7	0.052415	0.019231	0.001008
8	0.048920	0.019231	0.000941
9	0.045585	0.019231	0.000877
10	0.042405	0.019231	0.000815
11	0.039376	0.019231	0.000757
12	0.036495	0.019231	0.000702
十三	0.033758	0.019231	0.000649
14	0.031161	0.019231	0.000599
15	0.028701	0.019231	0.000552
16	0.026374	0.019231	0.000507
17	0.024176	0.019231	0.000465
18	0.022104	0.019231	0.000425
19	0.020153	0.019231	0.000388
20	0.018321	0.019231	0.000352
21	0.016604	0.019231	0.000319
22	0.014997	0.019231	0.000288
23	0.013497	0.019231	0.000260
24	0.012101	0.019231	0.000233
二十五	0.010804	0.019231	0.000208
二十六	0.009604	0.019231	0.000185
二十七	0.008496	0.019231	0.000163
二十八	0.007476	0.019231	0.000144
二十九	0.006542	0.019231	0.000126
三十	0.005688	0.019231	0.000109
31	0.004913	0.019231	0.000094
三十二	0.004211	0.019231	0.000081
33	0.003579	0.019231	0.000069
三十四	0.003014	0.019231	0.000058
三十五	0.002512	0.019231	0.000048
三十六	0.002069	0.019231	0.000040
三十七	0.001681	0.019231	0.000032
三十八	0.001345	0.019231	0.000026
三十九	0.001056	0.019231	0.000020
40	0.000813	0.019231	0.000016
41	0.000609	0.019231	0.000012
四十二	0.000443	0.019231	0.000009
43	0.000310	0.019231	0.000006
四十四	0.000207	0.019231	0.000004
45	0.000129	0.019231	0.000002
46	0.000074	0.019231	0.000001
四十七	0.000037	0.019231	0.000001
四十八	0.000015	0.019231	0.000000
49	0.000004	0.019231	0.000000
全部的	1.000000		0.019231

我承认我最初的反应是黑桃K的可能性更大，因为第一张Q是黑桃Q的概率是1/4，在这种情况下，再次看到它的概率为零。然而，概率相同的简单原因是，当第一张Q出现时，牌堆里有很多Q。换句话说，在出现第一张Q之前，一堆随机牌被抽走了，这些牌可能是K，但不是其他Q。

《Mind Your Decisions》视频（见下面的链接）中的解释方式如下。

除黑桃皇后外，所有牌共有 51! 种排列方式。如果将黑桃皇后直接放在第一张皇后前面，仍然有 51! 种排列方式。用这个数字除以 52! 种可能的排列方式，黑桃皇后跟在第一张皇后后面的概率就是 51!/52! = 1/52。

您可以做同样的事情，只是省略黑桃 K，然后将其放在第一个皇后前面，仍然得到 1/52。

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这个问题来自Mind Your Decisions YouTube 频道。