请问巫师 #400
农夫布朗把六只羊放在一块用栅栏围起来的草地上吃草。它们花了三天时间才把草地上的草吃完。
然后他让草重新长到原来的高度。
然后，他把三只羊放进同一片田地，它们花了七天时间才清理完田地。
然后他让草重新长到原来的高度，并把一只羊放进田里。这只羊要花多长时间才能吃完呢？
假设羊以恒定的速率吃草，草也以另一个恒定的速率生长。
令 i = 一只羊吃掉最初的一片草所需的天数（假设草没有生长）。
令 g = 一天内草的生长量。
已知六只羊需要三天时间才能吃完最初的草和三天的生长量。我们可以用公式来表示：
i + 3g = 3*6
我们还已知，三只羊需要七天才能吃掉最初的草和三天的生长量。我们可以用公式来表示：
i + 7g = 7*3
我们有两个方程和两个未知数：
i + 3g = 18
i + 7g = 21
很容易求解 i 和 g：
i = 63/4 = 15.75
g = 3/4 = 0.75
问题是，一只羊需要多长时间才能跑完这片田地？我们设 x 为答案。我们可以将方程表达为：
i + xg = x
（63/4）+（3/4）g = x
63/4 = x/4
x = 63。
因此，一只羊需要 63 天才能清理完田地。
[/spoiler]一个长方体的尺寸为 x x y x z。它由 xyz 个独立的立方体组成。有人给所有外侧面涂了漆。如果涂漆的立方体数量等于未涂漆的立方体数量，那么长方体的尺寸是多少？
我总结了20个可行的不同维度。它们如下。
- 5 x 13 x 132
- 5 x 14 x 72
- 5 x 15 x 52
- 5 x 16 x 42
- 5 x 17 x 36
- 5 x 18 x 32
- 5 x 20 x 27
- 5 x 22 x 24
- 6 x 9 x 56
- 6 x 10 x 32
- 6 x 11 x 24
- 6×12×20
- 6 x 14 x 16
- 7×7×100
- 7×8×30
- 7×9×20
- 7 x 10 x 16
- 8×8×18
- 8 x 9 x 14
- 8 x 10 x 12
您多次提到，概率为 p 的事件发生所需的平均试验次数是 1/p。我的挑战是证明它是正确的。
[剧透=简短的解决方案]
设 x = 某事件发生的预期试验次数。
x = 1*p + (1-p)*(1+x)
x = p + 1 + x - p - px
从两边减去 x：
0 = p + 1 - p - px
取消 p 和 -p：
0 = 1 - 像素
像素 = 1
x = 1/p
[/spoiler] [剧透=长解决方案]我们定义 q = 1-p。换句话说，就是某事件未发生的概率。
设 x = 某事件发生的预期试验次数。
x = 1 * pr（需要一次试验）+ 2 * pr（需要两次试验）+ 3 * pr（需要三次试验）+ ...
= 1p + 2pq + 3pq^2 + 4pq^3 + ...
x/p = 1 + 2q + 3q^2 + 4q^3 + ...
x/p - 1 = 2q + 3q^2 + 4q^3 + ...
x/p - 1 = q * (2 + 3q + 4q^2 + 5q^3 + ...)
x/p - 1 = q * (1 + 2q + 3q^2 + 4q^3 + ... + 1 + q + q^2 + q^3 + ...)
x/p - 1 = q * (x/p + 1 + q + q^2 + q^3 + ...)
令 y = 1 + q + q^2 + q^3 + ...
y-1 = q + q^2 + q^3 + ...
y-1 = q * (1 + q + q^2 + q^3 + ... )
(y-1)/q = 1 + q + q^2 + q^3 + ...
(y-1)/q = y
y/q - y = 1/q
y*(1/q - 1) = 1/q
y*(1/q - q/q) = 1/q
y*[(1-q)/q] = 1/q
y*(1-q) = 1
y = 1/(1-q)
x/p - 1 = q * (x/p + 1/(1-q))
x/p - 1 = q * (x/p + 1/p)
x/p - 1 = q * (1+x)/p
x/p-q*（1+x）/p=1
x/p - qx/p = 1 + q/p
x*(1/p-q/p)=1+q/p
x*(1-q)/p = 1+q/p
x*p/p = 1+q/p
x = 1+q/p
x = 1 + (1-p)/p
x = p/p + (1-p)/p
x = 1/p
[/spoiler]