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请问巫师 #400

农夫布朗把六只羊放在一块用栅栏围起来的草地上吃草。它们花了三天时间才把草地上的草吃完。

然后他让草重新长到原来的高度。

然后,他把三只羊放进同一片田地,它们花了七天时间才清理完田地。

然后他让草重新长到原来的高度,并把一只羊放进田里。这只羊要花多长时间才能吃完呢?

假设羊以恒定的速率吃草,草也以另一个恒定的速率生长。

anonymous

63天

[剧透=解决方案]

令 i = 一只羊吃掉最初的一片草所需的天数(假设草没有生长)。

令 g = 一天内草的生长量。

已知六只羊需要三天时间才能吃完最初的草和三天的生长量。我们可以用公式来表示:

i + 3g = 3*6

我们还已知,三只羊需要七天才能吃掉最初的草和三天的生长量。我们可以用公式来表示:

i + 7g = 7*3

我们有两个方程和两个未知数:

i + 3g = 18
i + 7g = 21

很容易求解 i 和 g:

i = 63/4 = 15.75

g = 3/4 = 0.75

问题是,一只羊需要多长时间才能跑完这片田地?我们设 x 为答案。我们可以将方程表达为:

i + xg = x
(63/4)+(3/4)g = x
63/4 = x/4
x = 63。

因此,一只羊需要 63 天才能清理完田地。

[剧透]

一个长方体的尺寸为 x x y x z。它由 xyz 个独立的立方体组成。有人给所有外侧面涂了漆。如果涂漆的立方体数量等于未涂漆的立方体数量,那么长方体的尺寸是多少?

anonymous

我总结了20个可行的不同维度。它们如下。

[剧透=答案]
  1. 5 x 13 x 132
  2. 5 x 14 x 72
  3. 5 x 15 x 52
  4. 5 x 16 x 42
  5. 5 x 17 x 36
  6. 5 x 18 x 32
  7. 5 x 20 x 27
  8. 5 x 22 x 24
  9. 6 x 9 x 56
  10. 6 x 10 x 32
  11. 6 x 11 x 24
  12. 6×12×20
  13. 6 x 14 x 16
  14. 7×7×100
  15. 7×8×30
  16. 7×9×20
  17. 7 x 10 x 16
  18. 8×8×18
  19. 8 x 9 x 14
  20. 8 x 10 x 12
[剧透]

您多次提到,概率为 p 的事件发生所需的平均试验次数是 1/p。我的挑战是证明它是正确的。

anonymous

[剧透=简短的解决方案]

设 x = 某事件发生的预期试验次数。

x = 1*p + (1-p)*(1+x)

x = p + 1 + x - p - px

从两边减去 x:

0 = p + 1 - p - px

取消 p 和 -p:

0 = 1 - 像素

像素 = 1

x = 1/p

[剧透]

[剧透=长解决方案]

我们定义 q = 1-p。换句话说,就是某事件未发生的概率。

设 x = 某事件发生的预期试验次数。

x = 1 * pr(需要一次试验)+ 2 * pr(需要两次试验)+ 3 * pr(需要三次试验)+ ...

= 1p + 2pq + 3pq^2 + 4pq^3 + ...

x/p = 1 + 2q + 3q^2 + 4q^3 + ...

x/p - 1 = 2q + 3q^2 + 4q^3 + ...

x/p - 1 = q * (2 + 3q + 4q^2 + 5q^3 + ...)

x/p - 1 = q * (1 + 2q + 3q^2 + 4q^3 + ... + 1 + q + q^2 + q^3 + ...)

x/p - 1 = q * (x/p + 1 + q + q^2 + q^3 + ...)

令 y = 1 + q + q^2 + q^3 + ...

y-1 = q + q^2 + q^3 + ...

y-1 = q * (1 + q + q^2 + q^3 + ... )

(y-1)/q = 1 + q + q^2 + q^3 + ...

(y-1)/q = y

y/q - y = 1/q

y*(1/q - 1) = 1/q

y*(1/q - q/q) = 1/q

y*[(1-q)/q] = 1/q

y*(1-q) = 1

y = 1/(1-q)

x/p - 1 = q * (x/p + 1/(1-q))

x/p - 1 = q * (x/p + 1/p)

x/p - 1 = q * (1+x)/p

x/p-q*(1+x)/p=1

x/p - qx/p = 1 + q/p

x*(1/p-q/p)=1+q/p

x*(1-q)/p = 1+q/p

x*p/p = 1+q/p

x = 1+q/p

x = 1 + (1-p)/p

x = p/p + (1-p)/p

x = 1/p

[剧透]