请问巫师 #395
上图由四个直角三角形和一个大正方形内嵌的小正方形组成。大正方形的边长为1。五个圆的直径相同。半径是多少？
[剧透=答案]
半径 = (sqrt(3)-1)/4 =~ 0.183013。
[剧透] [剧透=解决方案]
让我们考虑其中一个三角形。定义：- r = 圆的半径
- s = 大正方形任意角与其内接三角形的切线最近的圆之间的距离。
观察图像中的三角形，距离为：
- 短腿 = r+s
- 长腿 = 3r+s
- 斜边 = 1
使用勾股定理公式：
(r+s) 2+ (3r+s) 2 =1
r² +2rs+ s² + 9r² +6rs+ s² =1
10r2 + 2s2 +8rs=1
我们需要另一个方程来解决这个问题。我们先来看一下大正方形的边长，已知它是1。AB = AC。AB = 2r+s，所以 AC = 2r+s。大正方形的剩余边长是s。所以：
2r + 2s = 1。
2秒=1-2r
s = 1/2 - r
让我们将其代入毕达哥拉斯公式的方程中：
10r 2 + 2(1/2 - r) 2 + 8r(1/2 - r) = 1
10r 2 + 2(1/4 - r + r 2 ) + 4r - 8r 2 = 1
2r 2 + 1/2 - 2r + 2r 2 + 4r = 1
4r 2 + 2r - 1/2 = 0
8r 2 + 4r - 1 = 0
使用二次方程：
r = (-4 +/- 平方根(48))/16
r = (sqrt(3)-1)/4 =~ 0.183013。
这个问题来自Mind Your Decisions YouTube 频道。Presh 提供了一个不需要勾股定理的解决方案。
[剧透]
我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。
你对“正确与错误方式系统”有什么看法？它的运作方式是，玩家下注一个单位的“不过关”。如果掷出任何点数，玩家就在该点数上押注一个单位。如果掷出该点数，玩家就盈利；如果掷出七，玩家就不赔不赚。这看起来像是一场免费比赛。我是不是漏掉了什么？
假设点数为4或10，玩家只需支付5%的赢利佣金。我们遵循拉斯维加斯的规则，如果come out掷出12，则在“不过线”投注中算“和局”（在内华达州北部，掷出2则算“和局”）。话虽如此，以下是所有可能的结果：
- 掷出 2 或 3：玩家因不通过赌注而赢得一个单位。
- 掷出 12 点：玩家继续下注，不通过。
- 掷出 7 或 11：玩家因不通过赌注而输掉。
- 点数为 4 或 10 且点数获胜：玩家在买入赌注中赢得 1.95 个单位，在不通过赌注中输掉 1 个单位，净赢 0.95 个单位。
- 点数为 5 或 9 且点数获胜：玩家在位置投注中赢得 1.4 个单位，在不过关投注中输掉 1 个单位，净赢 0.4 个单位。
- 点数为 6 或 8 且点数获胜：玩家在位置投注中赢得 7/6 个单位，在不过关投注中输掉一个单位，净赢 1/6 个单位。
- 点数为 4 或 10 且点数输：玩家在买注中输掉 1 个单位，在不通过净推中赢得 1 个单位。
- 点数为 5 或 9 且点数输：玩家在位置投注中输掉 1 个单位，在不及格投注中赢得 1 个单位，以进行净推。
- 点数为 6 或 8 且点数输：玩家在位置投注中输掉 1 个单位，在不及格投注中赢得 1 个单位，以进行净推。
下表总结了所有可能的结果。该表显示了所有可能结果的概率、收益以及对回报的贡献。右下角单元格显示预期损失为 0.02951 个单位。
正确与错误的方法系统
| 事件 | 支付 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|
| 出来2或3 | 1 | 0.083333 | 0.083333 |
| 出来12 | 0 | 0.027778 | 0.000000 |
| 出场 7 或 11 | -1 | 0.222222 | -0.222222 |
| 4分获胜 | 0.95 | 0.027778 | 0.026389 |
| 5分获胜 | 0.4 | 0.044444 | 0.017778 |
| 6分获胜 | 0.166667 | 0.063131 | 0.010522 |
| 8分获胜 | 0.166667 | 0.063131 | 0.010522 |
| 9分获胜 | 0.4 | 0.044444 | 0.017778 |
| 10分获胜 | 0.95 | 0.027778 | 0.026389 |
| 4分损失 | 0 | 0.055556 | 0.000000 |
| 5分损失 | 0 | 0.066667 | 0.000000 |
| 6分损失 | 0 | 0.075758 | 0.000000 |
| 8分损失 | 0 | 0.075758 | 0.000000 |
| 9分损失 | 0 | 0.066667 | 0.000000 |
| 10分损失 | 0 | 0.055556 | 0.000000 |
| 全部的 | 1.000000 | -0.029512 |
该策略预期值为负的原因在于come out roll的掷出结果。掷出2或3时，有3种获胜方式，掷出7或11时，有8种输掉方式。诚然，如果玩家在come out roll中幸存下来，他就能获得正的赢利，但这不足以弥补come out roll的预期损失。
我妻子有20%的时间是生气的。当被问到“你生气了吗？”时，她90%的时间会在生气时回答“不”。当被问到同样的问题时，她95%的时间会回答“不”。我的问题是，根据这个问题的答案，她生气的概率是多少？
这是一个经典的贝叶斯概率问题。
[剧透=答案]如果她回答“不”，那么她生气的概率就是 9/47 = 19.15%。
如果她回答“是”，那么她疯了的概率就是 1/3 = 33.33%。
[剧透] [剧透=解决方案]对于以“如果 A 则 B”表示的问题，答案的公式是概率（A 和 B）/概率（B）。
如果答案为“否”，那么她生气的概率是 (0.2*0.9)/(0.2*0.9 + 0.8*0.95) = 0.18/0.94 = 9/47。
如果回答“是”，那么她生气的概率是 (0.2*0.1)/(0.2*0.1 + 0.8*0.05) = 0.02/0.06 = 1/3。
[剧透]