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Wizard 巫师推荐

请问巫师 #394

你有一个咖啡杯，最初是空的。一位女服务员开始以恒定的速率往里面倒咖啡。通常情况下，用一个好杯子，倒满需要5秒钟。然而，这个杯子底部有一个漏孔。咖啡漏出的速率与杯中咖啡的体积成正比。当杯子装满咖啡时，咖啡漏出的速率为每秒0.1杯。

将杯子装满 90% 需要多长时间？

anonymous

10*ln(20/11) =~ 5.9783700075562 秒。

[剧透=解决方案]

要解决此问题，需要对微分方程有基本的了解。

让：
V = 杯中咖啡的体积
t = 服务员开始倒酒的时间
c = 积分常数

我们给出 dV/dt = (1/5) - (v/10)

dv = (2-V)/10 dt
(10/(2-v)) dv = dt
-10*ln(2-v) = t + c

我们知道，在 t=0 时，V=0。将这些值代入上面的公式，即可解出 c：

c = -10*ln(2)

因此，连接 V 和 t 的方程为：

t = 10*ln(2) - 10*ln(2-V)

我们想知道在 t 时 v=0.9 的值。因此，求解 V=0.9 时的 t。

t = 10*ln(2) - 10*ln(2-0.9) = 10*(ln(2) - ln(1.1)) = 10*ln(20/11)

[剧透]

如何使用六面骰子生成从 0 到 36 的随机值，并且每个值出现的可能性均等？

TxGammon

实现这一点的方法有很多种。但我认为所有方法都必须有重掷的可能性。我认为下面的方法比较简单，只需要四个不同颜色的骰子，重掷概率低于 0.08%。具体操作如下。

把骰子分别命名为 d1、d2、d3 和 d4。它们的颜色不同，所以你可以区分它们。

定义 x = (d1-1) + 6*(d2-1) + 36*(d3-1) + 216*(d4-1)。x 的值范围为 0 到 1,295。

设 y = 我们寻找的随机数，其中 0 到 36 之间的 37 个值概率相等。根据 x 为 y 赋值，如下所示：

  • x = 0 至 34：y = 0
  • x = 35 至 69：y = 1
  • x = 70 至 104：y = 2
  • x = 105 至 139：y = 3
  • x = 140 至 174：y = 4
  • x = 175 至 209：y = 5
  • x = 210 至 244：y = 6
  • x = 245 至 279：y = 7
  • x = 280 至 314：y = 8
  • x = 315 至 349：y = 9
  • x = 350 至 384：y = 10
  • x = 385 至 419：y = 11
  • x = 420 至 454：y = 12
  • x = 455 至 489：y = 13
  • x = 490 至 524：y = 14
  • x = 525 至 559：y = 15
  • x = 560 至 594：y = 16
  • x = 595 至 629：y = 17
  • x = 630 至 664：y = 18
  • x = 665 至 699：y = 19
  • x = 700 至 734：y = 20
  • x = 735 至 769：y = 21
  • x = 770 至 804：y = 22
  • x = 805 至 839：y = 23
  • x = 840 至 874：y = 24
  • x = 875 至 909：y = 25
  • x = 910 至 944：y = 26
  • x = 945 至 979：y = 27
  • x = 980 至 1014：y = 28
  • x = 1015 至 1049：y = 29
  • x = 1050 至 1084：y = 30
  • x = 1085 至 1119：y = 31
  • x = 1120 至 1154：y = 32
  • x = 1155 至 1189：y = 33
  • x = 1190 至 1224：y = 34
  • x = 1225 至 1259：y = 35
  • x = 1260 至 1294：y = 36
  • x = 1259：重新掷骰子

请注意，只有一个 x 值会导致重新滚动。

我特别感谢维加斯巫师 (Wizard of Vegas) 的成员 ThomasK 和 ThatDonGuy 对这个问题的帮助。以上是 ThomasK 的解答。ThatDonGuy 在论坛上证明了，如果不将某些掷骰结果映射到重新掷骰结果，就无法解决这个问题。完整的讨论内容请参见下方链接。

我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。

从一副52张牌的牌堆中抽牌，直到出现一张红牌。包括一张红牌在内，平均抽出的牌总数是多少？

anonymous

[剧透=答案]53/27 =~ 1.962962963[/剧透]

[剧透=一般情况的公式]

根据维加斯巫师 (Wizard of Vegas) 成员 ThatDonGuy 的说法，如果牌的总数为 c，阻挡牌的数量为 b，那么预期抽出的牌为 (c+1)/(b+1)。

例如，在当前问题中，c=52 和 b=26，因此答案是 53/27。

如果抽车直到出现 A，就会有四个阻挡者，所以答案是 53/5 = 10.6

[剧透]

我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。