请问巫师 #369
解出 x：
9x + 12x = 16x
[剧透=答案]=(log(1+SQRT(5))-log(2))/(log(4)-log(3)) =~ 1.67272093446233。[/剧透]
这是我的解决方案（PDF）。
我在Wizard of Odds论坛上提出并讨论了这个问题。
这个问题的灵感来自于视频《一个困难的指数问题》 。
找到一个十位数，满足：
- 该数字的第一位数字是整个数字中 0 的个数。
- 该数字的第二位数字是整个数字中 1 的个数。
- 该数字的第三位数字是整个数字中 2 的个数。
- 该数字的第 4 位数字是整个数字中 3 的个数。
- 该数字的第 5 位数字是整个数字中 4 的数量。
- 该数字的第 6 位数字是整个数字中 5 的数量。
- 该数字的第 7 位数字是整个数字中 6 的数量。
- 该数字的第 8 位数字是整个数字中 7 的数量。
- 该数字的第 9 位数字是整个数字中 8 的数量。
- 该数字的第 10 位是整个数字中 9 的个数。
[剧透=答案]6,210,001,000[/剧透]
我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。
一个邪恶的监狱长召集了 100 名囚犯，并给每个人分配了从 1 到 100 的唯一编号。
另一个房间里有100个编号的盒子。监狱长拿出编号为1到100的纸片，随机地将它们放入盒子里，每个盒子一张。
第二天，囚犯将被允许依次进入箱子房间。每个囚犯可以打开50个箱子。如果一个囚犯找到了自己号码的箱子（例如，23号囚犯找到了写着数字23的箱子），那么他就算“成功”了，如果他在第50次打开之前找到它，就可以提前离开。出口与入口不同，而是通过另一扇门。尚未轮到的囚犯不会知道之前任何囚犯的结果。
如果100名囚犯全部成功，他们就会被释放。但是，如果有一人或多人失败，他们就会被立即处死。
囚犯们可以在一起制定一天的策略。一旦第一个囚犯进入箱子房间，就不允许再进行任何交流。交流的例子包括但不限于：移动纸张和打开箱子盖子。一旦发现任何交流，所有囚犯都将被立即处死。
什么策略可以最大程度地提高他们被释放的可能性？
[剧透=仅限策略]
总体思路是，如果至少有一名囚犯失败，那么其他囚犯也可能会失败，因为最终所有人的死亡结果都是一样的。因此，一个好的策略会最大化所有人成功的概率，但同时也会牺牲大量囚犯失败的概率。
设想一种策略：玩家打开任意一个盒子。然后，他读出盒子里纸上的数字，然后第二个打开那个盒子。接着，他读出第二个盒子里的纸，第三个打开写有该数字的盒子。如果他不断重复这个过程，最终会被带回到他最初的那个盒子。
如果玩家遵循这一策略，并且他自己的数字位于该数字循环的某个位置，那么他显然最终会找到，假设他可以打开的盒子没有限制。
为了确保玩家最终总能找到自己的号码，他可以从自己的号码开始。这样，他最终会回到原来的号码，尽管可能需要打开1到100个盒子。
这种策略最终会回到第一个盒子的盒子集合被称为闭环。闭环中的盒子数量就是环的大小。
这个问题的关键是，如果没有大于 50 的闭环，每个囚犯都会成功。
[剧透][剧透=解决方案]
如果存在一个 100 的闭环，囚犯们都会失败。这个概率是多少？第一个盒子不通向自身的概率是 99/100。如果它不通向自身，那么第二个盒子不通向原始数字的概率是 98/99。如果第二个盒子不通向自身，那么下一个盒子不通向自身的概率是 97/98。扩展这个逻辑，存在一个大小为 100 的闭环的概率为 (99/100)*(98/99)*(97/88)*...*(3/4)*(2/3)*(1/2) = 1/100。
那么 99 个闭环呢？有了 99 个闭环，就会出现另一个 1 个闭环。这个 1 个闭环可以是 100 个盒子中的任何一个。对于任何一个盒子，它都有 1/100 的概率通向自身。对于另外 99 个盒子，它们形成闭环的概率是 1/99，按照上面 100 个闭环的逻辑。因此，99 个闭环的概率是 100 × (1/100) & (1/99) = 1/99。
那么 98 个盒子的闭环呢？98 个盒子的闭环意味着另外两个盒子会以某种方式相互连通，要么是两个盒子的闭环，要么是一个两个盒子的闭环。这个“一个盒子”的闭环可能是 100 个盒子中的任何一个。对于任何一个盒子，它都有 1/100 的概率通向自身。对于另外 99 个盒子，根据上面 100 个盒子的闭环的逻辑，它们形成闭环的概率为 1/99。因此，99 个盒子的闭环的概率为 100 × (1/100) × (1/99) = 1/99。
那么，98个盒子的闭环又如何呢？98个盒子的闭环意味着另外两个盒子会以某种方式相互连接，要么形成两个单闭环，要么形成一个双闭环。从100个盒子中选择两个盒子，一共有(100,2)=4950种方法。一旦选择了两个盒子，那么这两个盒子里装有与其盒子编号匹配的纸条的概率（无论以何种方式排列）都是(2/100)*(1/99) = 4950分之一。那么，另外98个盒子形成闭环的概率是1/98。因此，98个盒子形成闭环的概率是(4950)*(1/4950)*(1/98) = 1/98。
我们可以继续遵循这个逻辑，直到 51 的闭环具有 1/51 的概率。
失败的概率是 pr(100 的闭环) + pr(99 的闭环) + pr(98 的闭环) + ... + pr(51 的闭环) = 1/100 + 1/99 + 1/98 + 1/97 + ... + 1/51 =~ 0.6881721793。
如果失败的概率是 0.688172179，那么成功的概率就是 1 - 0.6881721793 =~ 0.3118278207。
[剧透]我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。
这个问题是受到这个 Veritasium 视频的启发。
你的办公室有100名员工，他们会举行一个秘密圣诞礼物交换活动。你会把每个人的名字写在一张纸上，然后把纸放进一顶帽子里，然后每个人随机抽取一个名字作为礼物送给他们。
问题是，平均会有多少个闭环？
大小为 4 的闭环示例：Gordon 给 Don，Don 给 Jon，Jon 给 Nathan，Nathan 给 Gordon。
画出自己的名字将是一个大小为 1 的闭环。
[剧透=答案](1/1) + (1/2) + (1/3) + ... + (1/100) =~ 5.187377518. [/剧透]
[剧透=解决方案]
假设只有一名员工参加秘密圣诞派对。显然他会自己挑选，这样就形成了一个闭环。
然后，第二个员工迟到了，请求加入。他们给了她一份现在两名员工的名单。她选择员工 1 的概率是一半，而自己选择员工 2 的概率是一半。如果她选择了员工 1，那么她就可以挤进员工 1 的循环中，她为员工 1 买东西，员工 1 也为她买东西。所以，现在的概率是 1 + 0.5*1 = 1.5
然后，第三个员工迟到了，要求加入。他们给了她一份现在有3名员工的名单。她选择员工1或2的概率是2/3，而自己选择员工1或2的概率是1/3。如果她选择了员工1或2，那么她就可以被挤进他们的循环中，她会为她选择的员工买单，而原本应该为该员工买单的人现在要为3号员工买单。所以，现在的概率是1.5 + (1/3) = 11/6。
然后，第四位员工迟到了，要求加入。店员给了她一份现在有四名员工的名单。她选择员工 1 到 3 的概率是 3/4，而自己选择员工 1 到 3 的概率是 1/4。如果她选择了员工 1 到 3，那么她就可以被挤进他们的循环中，她会为她选择的员工买单，而原本应该为该员工买单的人现在要为 4 买单。所以，现在的概率是 11/6 + (1/4) = 25/12。
继续这样做，最终答案是 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/100 =~ 5.187377518。
[剧透]我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。