请问巫师 #364
你穿越回一周前，试图赢得一张价值1000万美元的彩票。这张彩票每张售价1美元。请注意，即使你中了奖，你的购票款也不会退还。这一切听起来都很棒。
问题是，你并不孤单。还有另外10位时间旅行者也知道中奖号码。你确信他们每人都会买一张彩票。现在，根据彩票规则，奖金将由所有中奖彩票均分（也就是说，奖金不会平均分配给所有中奖者）。
您应该购买多少张票才能实现利润最大化？
[剧透=提示]
记住商法则：
[f(x)/g(x)] d/dx = (f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x))/(g(x))^2
[剧透] [剧透=答案]9,990 [/剧透] [剧透=解决方案]设 n = 您购买的票数。
假设 w(n) = 购买 n 张彩票的净赢利 = 10,000,000 × (n/(n+10)) - n。
为了找到多一张彩票不会改变净赢利的点，我们对 w(n) 求导。这里使用商法则（参见提示），其中分子为 n，分母为 (n+10)。
w'(n) = 10,000,000 * (1*(n+10) - n*1)/(n+10)^2 - 1 = 0
10,000,000 * 10/(n+10)^2 - 1 = 0
10,000,000 * 10/(n+10)^2 = 1
100,000,000 = (n+10)^2
10,000 = n+10
n = 9,990
[剧透]这个问题是在我的Wizard of Vegas论坛中提出并讨论的。
我在你的论坛上看到有人声称在二十一点游戏中连续60手牌赢钱。平均需要玩多少手牌才能看到这种情况？另外，这与“问问巫师”第363栏中提到的有人在掷骰子游戏中连续18次拿到11点的事件相比如何？
要回答你的问题，我们必须先了解一些二十一点游戏的规则。我将采用所谓的“自由脱衣规则”，具体如下：
- 六副甲板
- 庄家在软 17 点停牌
- 允许分牌后加倍
- 允许重新分牌
- 允许投降
根据这些规则，假设基本策略完美，净赢/输的概率如下：
- 净赢率：42.43%
- 净推：8.48%
- 净亏损：49.09%
我询问了这起事件的目击者，他说这60手牌不包括平局。换句话说，60手牌已经解决了。我还假设，如果玩家分牌，它仍然只算一手牌，并且玩家分牌的所有牌中都有净赢。
正如在关于连续 18 次总数为 11 的问题中所解释的那样，预计等待时间的公式是：
预期等待时间 = [(1/p)^(n+1) - 1] / [(1/p) - 1] - 1，其中：
n = 连续获胜次数
p = 获胜概率
在这种情况下，如果一手牌已解决，那么每手牌净赢的概率为 42.43%/ (43.43% + 49.09%) = 46.36%。更具体地说，是 0.46359564。
使用上述公式，观察该事件的预期等待时间为 (1/0.46359564)^61 - 1]/[(1/0.46359564) - 1] - 1 = 200,941,772,393,648,000,000 手。
相比之下，在掷骰子游戏中，连续18次掷出11点需要等待41,660,902,667,961,000,000,000次，是11点的207倍。所以，据我所知，18岁的故事仍然是拉斯维加斯巫师论坛上讲述的最高故事。
当时我有300美元的赠券，于是邀请一些朋友去餐厅用我的赠券消费。我们玩得很开心，直到账单加税和小费加起来大约386美元。我的朋友们故意没带钱，以为我会帮大家付税和小费。我很生气，告诉他们我觉得应该大家分摊税和小费，因为赠券里不包括税和小费。
他们争辩说，既然是我邀请他们的，而且这些是我的优惠券，他们觉得我应该支付所有的税款和小费。我辩称，出于礼貌，我应该支付公平份额的税款和小费。我的朋友们很反感，认为我不讲道理，拒绝分担税款和小费。我支付了大约 86 美元的税款和小费，因为很明显我的朋友中没有人愿意支付税款和小费。服务员开始着急了。他们不但不感谢我用优惠券支付税款和小费，反而因为我要求他们分担税款和小费而生我的气。我错了吗？
我已经有一段时间没有遇到礼仪问题了，所以谢谢你。
你的朋友不付税和小费，你这话听起来太小气了。顺便说一句，在内华达州，免费用餐是不用缴税的，所以这事肯定发生在其他州。不过，你应该在邀请的时候就明确说明你的期望。所以，我认为双方都有错。
这至少可以作为一个教训。我在拉斯维加斯至少吃过100次免费餐，有时是我提供的，有时是别人提供的。我遵循的礼仪，通常大家都会同意，就是在邀请时，在赠品上注明最高赠品金额的限制。然后，所有受邀者都要支付超出最高赠品金额的部分以及小费。
这个问题是在我的Wizard of Vegas论坛中提出并讨论的。