请问巫师 #358
在美食频道最新的游戏节目《蔓越莓还是破产》（Cranberries or Bust）中，你需要在两扇门之间做出选择：A 门和 B 门。一扇门后面有足够你一生享用的蔓越莓酱，而另一扇门后面什么也没有。小伙子，你肯定超爱蔓越莓酱吧？
当然，这其中还有个小插曲。主持人会给你一枚硬币，硬币的两面分别标有A和B，分别对应着一扇门。主持人会告诉你，这枚硬币的权重偏向蔓越莓门——但不会告诉你是哪扇门——而且蔓越莓门对应的字母出现的概率是60%。比如，如果酱汁在A门后面，那么硬币出现的概率是A门的60%，而B门的40%。
你可以抛硬币两次，之后你必须做出选择。假设你优化了策略，你选择蔓越莓酱那扇门的概率是多少？
额外加分：如果允许你翻转三次、四次……十次，而不是两次呢？那么，你选择带蔓越莓酱的门的概率是多少？
单次抛掷的情况相当简单。硬币有 60% 的概率落在有蔓越莓酱的门上。玩家的策略应该是选择硬币落在的任何一扇门。因此，他有 60% 的概率选对。
[剧透] [剧透=两次翻转解决方案]假设A门上有蔓越莓酱，B门什么也没有。那么，硬币A面有60%的概率。玩家的策略应该是选择硬币大多数情况下落在的门。如果结果相同，玩家可以选择任意一扇门，因为他没有有用的信息。
以下是可能的结果及其概率。A 和 B 混合的情况可以按任意顺序排列：
AA：60%^2 = 36%
AB：2*60%*40%=48%
BB：40%^2 = 16%
如果硬币两次都落在 A 上，玩家就能选对门。如果硬币一次落在 A 上，一次落在 B 上，玩家将不会获得任何有用的信息，并且选门的概率是 50%。如果硬币两次都落在 B 上，玩家就会选错门。
因此，在两次翻转的情况下，玩家选择正确门的概率为 60% + 48%*(1/2) = 60%。
[剧透] [剧透=三次翻转解决方案]假设A门上有蔓越莓酱，B门什么也没有。那么，硬币A面中奖的概率是60%。玩家的策略应该是，硬币大部分时间落在哪扇门就选哪扇。
以下是可能的结果及其概率。A 和 B 混合的情况可以按任意顺序排列：
AAA：60%^3 = 21.6%
AAB：3*60%^2*40% = 43.2%
ABB：3*60%^2*40%=28.8%
BBB：40%^3 = 6.4%
如果硬币至少两次落在 B 上，玩家就能选对门。如果硬币两次或两次以上落在 B 上，玩家就能选错门。
因此，在三次翻转的情况下，玩家选择正确门的概率为 21.6% + 43.2% = 64.8%。
[剧透] [剧透=四次翻转解决方案]假设A门上有蔓越莓酱，B门什么也没有。那么，硬币A面有60%的概率。玩家的策略应该是选择硬币大多数情况下落在的门。如果结果相同，玩家可以选择任意一扇门，因为他没有有用的信息。
以下是可能的结果及其概率。A 和 B 混合的情况可以按任意顺序排列：
AAAA：60%^4 = 12.96%
AAAB：4*60%^3*40% = 34.56%
AABB：6*60^2*40%^2 = 34.56%
ABBB：4*60%*40%^3 = 15.36%
BBBB：40%^4 = 2.56%
如果硬币至少三次落在 A 上，玩家就能选对门。如果硬币两次落在 A 上，两次落在 B 上，玩家将不会获得任何有用的信息，并且选门的概率是 50%。如果硬币至少三次落在 B 上，玩家就会选错门。
因此，在四次翻转的情况下，玩家选择正确门的概率为 12.96% + 34.56% + 34.56%*(1/2) = 64.80%。
[剧透]前四种情况的逻辑适用于所有情况。记住，从 y 项中选择 x 的方法数是 y!/(x! * (yx)!)。
我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。
为了庆祝感恩节，你和19位数学家围坐在一张圆桌旁。餐桌上的每个人都想吃一份蔓越莓酱，而现在，蔓越莓酱就摆在你面前。
首先，你先自己取。然后，你不再围成一圈传递酱汁，而是随机地把它传给你左边或右边的座位。然后，他们也照做，随机地把它传给他们左边或右边的座位。如此反复，直到每个人都拿到了蔓越莓酱。
圈子里的 20 个人中，谁最有可能最后收到蔓越莓酱？
让我们将其中一位数学家命名为 G。为了使 G 成为最后一位，必须发生两件事：
- 蔓越莓必须首先到达 G 的邻居。
- 蔓越莓必须向相反方向移动 19 个位置，而不能到达 G。
蔓越莓要想成为最后一个，最终必须到达相邻的蔓越莓之一。因此，这种情况发生的概率是 100%。
那么，无论第二部分的概率是多少，对每个人来说都是相同的。因此，每个人排在最后的概率是相等的。
如果这个解释还不够清楚，Gialmere 是从 fivethirtyeight.com 找到这个问题的。他们在这里解释了答案。向下滚动到“上周 Riddler Classic 的答案”部分。
[剧透]我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。
向高斯曲线随机投掷一支飞镖。设飞镖的位置为 (x,y)。x 的绝对值的期望值是多少？
[剧透=答案]sqrt(2/π) =~ 0.797884560802865355879892119868 76373695171726232986931533185165 93413158517986036770025046678146 13872860605117725270365371021983 90911167448599242546125101541269 05411654409986351290326916150611 94507285464167339186956543405998 37283812691206561786677721340931.
这是我的解决方案（PDF）。
要计算小数点后几位，请使用我的Wiz 计算器。
当随机要求一个人说出一副 52 张牌中的任意一张牌时，他们最有可能选出哪张牌？
目前为止，黑桃A是最佳选择。根据《魔术心理学》的统计，黑桃A的出牌概率为24.59%。以下是排名前五的牌：
- 黑桃A：24.59%
- 红心皇后：13.71%
- 红桃 A：6.15%
- 红桃K：5.91%
- 黑桃J：4.26%
在他们表面上的 417 个样本中，从未选出的是方块 5、梅花 6、梅花 5、黑桃 6 和黑桃 4。